Total rullelegde i løpet av ett sekud: L Total rullelegde i løpet av to sekud: 4 L Total rullelegde i løpet av tre sekud: 9 L Total rullelegde i løpet av fire sekud: 6 L SYSTEM HER? Kulas posisjo etter 0,,, 3 og 4 sekud Sekud 0 3 Meter 0 4 9 Hvilke astiget ar kula etter et gitt atall sekud?
Det første triet Hastiget det første sekudet: meter sekud meter / sekud m/s Det adre triet Hastiget det adre sekudet: 3 meter sekud 3 meter / sekud 3 m/s Det tredje triet Hastiget det tredje sekudet: 5 meter sekud 5 meter / sekud 5 m/s
Total rullelegde i løpet av ett sekud: Total rullelegde i løpet av to sekud: Total rullelegde i løpet av tre sekud: Total rullelegde i løpet av fire sekud: m 4 m 9 m 6 m SYSTEM HER? Rullelegde i meter (rulletid i sekud) y x
y x y (a b) a ab b
y x Triøyde er [ (a ab b ) (a )] meter ( a ( ab b) meter b (a b) meter ab b a ) meter Trilegde er [(a b) (a)] sekud (a b a) sekud b sekud. Rullelegde b(a b) meter Gjeomsi ttsastiget (a b) m/s Tidsitervall b sekud b 0 (a b) m/s (a 0) m/s a m/s
b 0 (a b) m/s (a 0) m/s a m/s Vi ar å, ved jelp av et algebraisk resoemet, fuet det Newto ville vite: Etter a sekud ar kula e astiget på a m/s. Det betyr for eksempel at kula etter,34 sekud ar e astiget på (,34) m/s,468 m/s. Når kula ruller, øker (vokser) avstade til kula. På tidspuktet a sekud etter at kula ble sluppet, er astigete a m/s. Alterativt ka vi si at avstade ar e vekstastiget på a m/s. På tidspuktet a sekud etter at kula ble sluppet, vokser avstade til kula med a m/s. Etter for eksempel 3 sekud ar avstade til kula e mometa vekstastiget på 3 m/s 6 m/s. Mometa betyr det som gjelder i øyeblikket. E mometa vekstastiget på 6 m/s betyr at dersom avstadsøkige ele tide adde vært 6 m/s, så ville avstade til kula a økt (vokst) med 6 meter vert sekud.
Formulerige y f(x) y Et uttrykk der tallet x igår. Uttrykket kaller vi f(x). y f(x) Fordi y f(x), ka vi agi et vilkårlig pukt (x, y) slik: (x, f(x) ) (a, f(a) ) (3, f(3) ) (a b, f(a b)) Hvis flere fuksjoer skal diskuteres samtidig, er det valig å bruke f(x), g(x), (x) osv. Vi ka bruke adre bokstaver dersom e eller ae praktisk sammeeg tilsier det, for eksempel k(x) dersom vi arbeider med e kostadsfuksjo i bedriftsøkoomi.
E geerell metode for å berege astiget Gjeomsittsastiget: f(x ) f(x)
Et objekt forflytter seg y meter f(x) meter i løpet av x sekud. Hastigete til objektet etter x sekud er f(x ) f(x) lim 0 m/s
For å få astigete på et gitt tidspukt må tidsitervallet krympes til et tidspukt, må settes lik 0. Me det ser i utgagspuktet åpløst ut. Hvis settes lik 0, så får vi e brøk med 0 i evere, og det går jo ikke! Dette problemet ar de fraske matematikere Augusti Caucy (789 857) løst for oss. Fordi ikke ka settes lik 0, abefalte a å udersøke vilke verdi brøke f(x)-f(x) går mot år vi bereger de med stadig midre -verdier. Det er de verdie vi er ute etter. Verdie kaller vi greseverdie til brøke f(x)-f(x) år går mot 0 og skriver de slik: f (x ) f (x) lim 0 lim er e kortform av det latiske ordet LIMES, som betyr grese. Uttale av lim er derfor "limes" slik du på orsk vil lese ordet limes. Vi tillater oss et lite istorisk sidesprag og forteller deg at romere, i tillegg til å bruke ordet LIMES i betydige grese, også lot det være avet på e bestemt grese, emlig de mellom Romerriket og Germaia (Tysklad). Vi prøver metode til Augusti Caucy på fuksjoe y f(x) graf: x som ar slik
f (x ) f (x) lim 0 ved å berege brøke med stadig midre -verdier. X kapittel XII VEKSTHASTIGHET sidee til 3 Gjeosittsastiget: x x m/s 4 4 x x 4 5 5 4 9 5 3 5 5 5,0000000 0,0000000 4,0000000 0,070678 3,0000000 0,55043,0000000 0,474487,0000000 0,3606797 0,000000 0,4845673 0,000000 0,4984394 0,000000 0,4998437 0,000000 0,4999843 0,000000 0,4999984 0,000000 0,4999998 0,000000 0,4999999 4 4 4 4 0,5 år 0 lim 0 0, 5 Dersom et objekt fjerer seg x meter i løpet av x sekud, er astigete etter 4 sekud 0,5 m/s
f (x ) f (x) Å berege brøke for stadig midre -verdier for et gitt f(x)-uttrykk og e gitt x-verdi, tar tid. Det slipper vi eldigvis. f (x ) f (x) a(x ) ax f(x) ax lim lim ax 0 0 Formele gjelder for alle a- og -verdier, ikke bare eltallige. Vi prøver formele på kula til Galilei: Avstade til kula etter x sekud er x meter, y x, f(x) x f (x ) f (x) a(x ) ax f(x) ax lim lim ax 0 0 I fuksjoe f(x) x x er a og. (x ) lim 0 x x x x Hastigete til kula etter x sekud er x m/s. Dette stemmer med beregigee fora.
f (x ) f (x) a(x ) ax f(x) ax lim lim ax 0 0 Avstade til et objekt etter x sekud er 4x meter, y f(x) 4x I fuksjoe f(x) 4x 4 x er a 4 og. 4 (x ) lim 0 4 x 4 x 4x 0 4 4 Hastigete til objektet etter x sekud er 4 m/s. Avstade til et objekt etter x sekud er 8 meter, y f(x) 8 For å få et uttrykk som passer til regele, ka vi bruke potesregele a 0, slik: 8 8 8 x 0 8x 0 I fuksjoe 0 f(x) 8x er a 8 og 0. 8 (x ) lim 0 0 8 x 0 8 0 x 0 0x 0 Dersom e faktor i e multiplikasjo er 0, så blir produktet også 0. 0 x 0, og vi fikk det resultatet vi forvetet: Hastigete til objektet etter x sekud er 0 m/s.
Nå skal vi se på et par spesielle situasjoer. I de første teker vi oss at et objekt beveger seg med de samme astigete ele tide, for eksempel 4 m/s. Da må det etter x sekud a flyttet seg 4 x meter, dvs. 4x m. Fuksjoe som forteller oss posisjoe etter x sekud, må da se slik ut: y f(x) 4x Vi kotrollerer at regele f (x ) f (x) a(x ) ax f(x) ax lim lim ax 0 0 også er gir oss rett astiget, dvs. 4 m/s. Avstade til objektet etter x sekud er 4x meter, y f(x) 4x I fuksjoe f(x) 4x 4 x er a 4 og. 4 (x ) 4 x lim 0 0 4 x 4x 4 4 Hastigete til objektet etter x sekud er 4 m/s.
I det adre spesialtilfellet teker vi oss at et objekt står stille. Hastigete er 0 m/s. For å kotrollere om regele også er gir rett astiget, ka vi teke oss at objektet står stille for eksempel 8 meter fra oss. Fuksjoe som forteller posisjoe til objektet etter x sekud, må da bli slik: y f(x) 8 Vi kotrollerer om regele gir oss rett astiget, dvs. 0 m/s. f (x ) f (x) a(x ) ax f(x) ax lim lim ax 0 0 y f(x) 8 For å få et uttrykk som passer til regele, ka vi bruke potesregele a 0, slik: 8 8 8 x 0 8x 0 I fuksjoe 0 f(x) 8x er a 8 og 0. 0 0 8 (x ) 8 x lim 0 0 8 0 x 0x 0 Dersom e faktor i e multiplikasjo er 0, så blir produktet også 0. 0 x 0, og vi fikk det resultatet vi forvetet: Hastigete til objektet etter x sekud er 0 m/s.
y f(x) a y f(x) ax y f(x) 0 a(x ) ax ax lim 0 0 ax a(x ) lim 0 0 ax 0 a a(x ) ax ax lim ax 0 Dersom et objekt står stille a meter borte, er astigete etter x sekud 0 m/s. Dersom et objekt i løpet av x sekud beveger seg ax meter, er astigete etter x sekud a m/s. Dersom et objekt i løpet av x sekud beveger seg ax meter, er astig-ete etter x sekud ax m/s. De siste formele gjelder for alle a- og -verdier, ikke bare eltallige.
Derivasjo Vi ar brukt regele Hvis f (x) ax så er f (x ) f (x) lim a x 0 - Hvis vi teker på yf(x)ax og yf(x)ax som to fuksjoer, så ar vi altså fra e fuksjo avledet e ae. De avledede fuksjoe er det valig å kalle de deriverte fuksjoe eller bare de deriverte. Operasjoe kaller vi derivasjo. Ordet kommer fra det egelske derivatio, som betyr avledig. Med utgagspukt i é fuksjo ka vi avlede mage slags ye fuksjoer, me i matematikke er det bare fuksjoer som er avledet med f (x ) f (x) greseverdibrøke som kalles deriverte fuksjoer. lim 0 Vi ka altså defiere de deriverte fuksjoe til e fuksjo y f(x) slik: Hovedfuksjo: y f(x) y De deriverte: f (x ) f (x) lim 0 For å skille ovedfuksjoe og de deriverte fuksjoe bruker vi apostrof slik: Hovedfuksjo: y f(x) De deriverte: y f (x) Med dee skrivemåte ka vi defiere ovedfuksjoe yf(x)ax og de avledete fuksjoe dvs. de deriverte til yf(x)ax, slik: y f(x) y f (x) - a x
Derivasjo Hvis f (x) ax så er lim 0 f (x ) f (x) a x Hovedfuksjo: y f(x) De deriverte: y lim 0 f (x ) f (x) Hovedfuksjo: y f(x) De deriverte: y f (x) y f(x) a y' f '(x) 0 y f(x) ax y' f '(x) a y f(x) ax y' f '(x) a x
De este derivasjosregele ser slik ut: y f(x) u(x) v(x) y' f '(x) u'(x) v'(x) Med ord ka de formuleres slik: Hvis e ovedfuksjo ka skrives som summe av flere delfuksjoer, ka vi derivere ver delfuksjo for seg. De deriverte av ovedfuksjoe er lik summe av de delderiverte. Eksempel: y f(x) 3x 4 x 3 u(x) 3x 4 v(x) x 3 y f(x) u(x) v(x) u'(x) 3 4 x 4 x 3 v'(x) 3 x 3 6x y' f'(x) u'(x) v'(x) y' x 3 6x Dersom et objekt i løpet av x sekud tilbakelegger (3x 4 x 3 ) meter, så er astigete etter x sekud (x 3 6x ) m/s.
De este derivasjosregele kaller vi gjere produktregele. De er slik: y f(x) u(x) v(x) y' f '(x) u'(x) v(x) u(x) v'(x) y f u v y' f ' u' v u v' f er u gager v. f derivert er u derivert gager v pluss u gager v derivert. La oss prøve regele på fuksjoe f(x) (3x 3)(x 4) f(x) (3x 3)(x 4) u(x) 3x 3 v(x) x 4 f(x) u(x) v(x) f '(x) u'(x) v(x) u(x) v'(x) u'(x) 3 0 3 v'(x) 0 f '(x) 3(x 4) (3x 3) 3x 3x 3 f '(x) 6x 5
Fuksjoe i det forrige eksemplet y f(x) (3x 3)(x 4) ka vi alterativt derivere slik: f(x) (3x 3)(x 4) f(x) (3x 3)(x 4) 3x x 3x f(x) 3x 5x u(x) 3x u'(x) 3 x 6x 6x v(x) 5x v'(x) 5 w(x) w'(x) 0 f(x) u(x) v(x) w(x) f '(x) u'(x) v'(x) w'(x) 6x 5 0 f(x) 3x 5x f '(x) (3x )' (5x)' ()' 6x 5 0 f '(x) 6x 5 Dersom et objekt i løpet av x sekud tilbakelegger (3x 3)(x 4) meter (3x 5x ) meter, så er astigete etter x sekud (6x 5) m/s. Adre fuksjoer ar ikke slike alterativer. Da er produktregele grei å a.
De siste derivasjosregele vi tar med i dee boka, ka vi kalle brøkregele. De er slik: u(x) f (x) v(x) u'(x) v(x) u(x) v'(x) '(x) f [ v(x) ] u u' v u f f ' v v v' De deriverte av e brøkfuksjo u delt på v er lik u derivert gager v mius u gager v derivert delt på v i adre. Legg merke til at dersom det adde stått (pluss) i stedet for (mius) i tellere, så adde tellere vært idetisk med produktregele; det gjør det kaskje lettere å uske begge reglee.
Et merkelig objekt y Vårt objekt beveger seg slik at avstade til objektet etter x sekud er meter. x x Dette er et merkelig objekt. Det starter ikke fra oe sted. Vi ka ikke berege posisjoe "etter" 0 sekud (x 0 gir 0 i evere). Me så sart klokka begyer å gå, dukker objektet opp, me da er det uedelig lagt borte ( dividert på et uedelig lite tall, gir et uedelig stort tall). Når det ar gått e uedeliget av tid, er evere uedelig stor og verdie av brøke uedelig lite, me ikke 0. Objektet stopper aldri, me det år eller aldri elt fram til oss. La oss å vurdere astigete til objektet. Muliges ar det stor astiget år det dukker opp uedelig lagt borte. Mer sikkert er det at astigete på slutte må avta, objektet år jo aldri fram til oss. La oss derivere for å få vite sikkert: y f (x) x Vi ka derivere med brøkregele. Alterativt ka vi bruke potesregele først omskrive slik: a a og f (x) x Nå ka vi derivere f(x) med regele f(x) ax f '(x) a x. f(x) x f '(x) ( ) x x x '(x) x f Objektet dukker opp uedelig lagt borte og ar da uedelig stor astiget. Etter vert som x blir større, etter vert som tide går, blir verdie av brøke på x midre, astigete avtar. Etter e uedeliget av tid er evere uedelig stor og verdie av brøke uedelig lite, me ikke 0. Objektet kommer altså mot oss med stadig midre astiget. På slutte, år objektet er uedelig ær oss, er astigete uedelig lite. De matematiske utfordrige ligger i å fie ut va som vil skje i fiale. Ifølge Zeo vil objektet aldri å elt fram til oss. Me Zeo ar tatt feil (med vilje) før. Vi ar omtalt dette objektet som et fatasiobjekt. Me ligede feome dukker opp i oe av de teoriee som forsøker å forklare vorda uiverset oppstod, og vorda det utvikler seg. Her tregs det bedre forklariger e dem vi ar i dag, kaskje ka du med tide gjøre oe med det.
Derivasjosreglee y f(x) a y' f '(x) 0 y f(x) ax y' f '(x) a y f(x) ax y' f '(x) a x Kortform y f(x) u(x) v(x)... y' f '(x) u'(x) v'(x)... y f u v y f(x) u(x) v(x) y' f '(x) u'(x) v(x) u(x) v'(x) y f u v u v u(x) y f (x) v(x) y' f '(x) u' (x) v(x) u(x) v' (x) [ v(x) ] u' v u v' y' f ' v yx Hastigete er 6 m/s etter 3 sekud og stigigstallet til grafe ser ut til å være 6 år x 3. Nå skal vi vise at de deriverte ka gi oss stigigstallet til grafe eller vekstastigete til fuksjoe. Me for å bli med på de resoemetee vi skal gjøre, må vi a klart for oss va vi meer med begrepet stigig, og vi må vite va e sekat og va e taget er. Det er temaee i det este avsittet.
Stigig Måltall for matematisk stigig oppover bortover Rette lijer og stigigstall ar vi arbeidet med før. I kapitlet om fuksjoer fat vi at de geerelle ligige for e rett lije eller e lieær fuksjo kue skrives slik: y ax b For å berege stigigstallet følger vi lije mot øyre. Det matematiske stigigstallet er oppoverkompoete dividert på bortover-kompoete. La oss som eksempel se på følgede lijer: Når vi klatrer lags lije mot øyre, beveger vi oss på skrå oppover. Når vi ar avasert e gitt legde bortover, ar vi samtidig avasert dobbelt så lagt oppover. Oppover-kompoete er dobbelt så lag som bortoverkompoete. Stigige eller stigigstallet er derfor. De egative tallee brukes også for å agi stigig. Vi sier at stigige er egativ vis bevegelse går edover mot øyre. "Oppover" agis da med et egativt tall og markerer dermed e bevegelse "edover". Lije til vestre ar stigigstall.
Takemodeller ka ofte jelpe oss til å føle at vi forstår et begrep. La oss derfor teke oss at vi ar et edig måleapparat som vi ka kalle "brattmeter", og at det er motert på styret på e sykkel der forjulet og bakjulet er like stort. Brattmeteret viser ele tide stigigstallet til e tekt rett lije som går gjeom avet på bakjulet og avet på forjulet. Bli med på et resoemet som starter med at sykkele står på to pukt på grafe. Bakjulet står på puktet (x,f(x)) og forjulet på puktet (x,f(x )). Situasjoe er slik (vi velger e vilkårlig graf og viser bare sykkele): Brattmeteret viser stigigstallet til de tekte lije gjeom avee på sykkeljulee. De er parallell med e ae tekt lije, de gjeom puktee (x,f(x)) og (x,f(x )). Stigigstallet til de siste lije ka bereges slik: f (x )-f (x) De to lijee er parallelle. Det betyr at vi ar fuet de formele som brattmeteret bruker for å berege stigige. Nå lar vi gå mot 0. Puktet (x,f(x )) ærmer seg da puktet (x,f(x)). I take følger vi med. Bakjulet står i ro på puktet (x,f(x)). Forjulet står på puktet (x,f(x )) og følger det på veie mot puktet (x,f(x)). Det betyr at vi og sykkele blir midre og midre. Med de grafe vi ar valgt i dette resoemetet, vil vi å føle at sykkele bikker forover. Forjulet sekes, og de tekte lije gjeom avee (og de parallelle gjeom puktee) foradrer retig.
Vi "kipser" tre stadier i dee utviklige: De siste skisse er iteressat. Tallet er å meget lite. For å kue se oe ar vi forstørret situasjoe. Puktee (x,f(x)) og (x,f(x )) er å så ære at grafbite mellom dem tilærmet ar mistet de krumme forme. Grafbite følger tilærmet de rette lije gjeom puktee.
Nå skal vi, fra dette "tegeserie-resoemetet", utlede e matematisk formel som ka gi oss stigige i et vilkårlig pukt (x,f(x)) på e vilkårlig graf. Resoemetet startet med at vi plasserte sykkele på to vilkårlige pukt (x,f(x)) og (x,f(x )) på grafe. Brattmeteret viste stigige som det bereget med formele f (x )-f (x) For å få stigige i puktet (x,f(x)) lot vi gå mot 0. Etter vert som sykkele krympet og foradret retig på gru av de ye (x,f(x ))-puktee, registrerte brattmeteret de ye - og f(x )-verdiee og viste fortløpede ajourførte stigigstall ved jelp av formele f (x )-f (x) Disse stigigstallee ærmet seg mer og mer stigige til grafe i puktet (x,f(x)). Greseverdie for prosesse måtte derfor være stigige til grafe i puktet (x,f(x)). Med greseverdiotasjo ka vi agi dee greseverdie slik: f (x ) f (x) lim 0 Dette er de formele vi er ute etter, me de ar vi sett før. Vi gjekjeer de som defiisjoe på de deriverte fuksjoe til f(x): f '(x) f (x ) f (x) lim 0 Dette betyr at vi, år vi er ree matematikere, ka tolke de deriverte slik: f '(a) er stigigstallet til det puktet på grafe som ar x-koordiat a, dvs. stigige til grafe i puktet (a,f(a)).
La oss tree på dee ret matematiske tolkige ved å se på de grafiske framstilligee av y x og y' x. Lijee markerer følgede avlesiger: Pukt på grafe Stigig i puktet ( 3,9) 6 (,4) 4 (,) ( 0,0) 0 (,) (,4) 4 ( 3,9) 6 Vi ka alterativt komprimere skisse fora til ett koordiatsystem slik:
Vi parkereri sykkele. Nå skal vi kjøre bil. Tek deg at du skal følge e bestemt rute på e flat glattkjørigsbae. Du starter, øker farte og føler at du ar kotroll. Me dersom bile på et gitt tidspukt elt mister veigrepet, vil de fortsette rett fram i de retige de adde i det øyeblikket (på det tidspuktet) de mistet kotakte med veibae: Skisse uder viser et "flyfoto" av situasjoe: Vi plasserer skisse i et koordiatsystem og teker på kjørerute som grafe til e fuksjo f(x): Dersom vi forleger lije mot vestre, får vi e rett lije som går gjeom ett pukt på grafe (som ar ett pukt felles med grafe), og ar de samme stigige som grafe i puktet. Stigigstallet er lik de verdie vi får vis vi setter x-koordiate til puktet i i de deriverte fuksjoe. E slik lije kaller vi e taget. Puktet kaller vi tagerigspuktet. Tageter kommer vi tilbake til i det este kapitlet. E rett lije som går gjeom pukt på e graf, kaller vi e sekat. Stigigstallet til sekate til øyre er f (x )-f (x)
Sykkeleksemplet e gag til Stigigstallet til ver sekat bereger vi ved å dividere øyde i de aktuelle rettviklete trekate på legde. Med de -verdie som gjelder for trekate, blir beregige slik: Stigig sekat f(x ) f(x)
Dersom vi i take reduserer -verdie ytterligere, iser vi at sekate vil ærme seg mer og mer tagete i puktet (x, f(x)). Stigig sekat f (x ) f (x) Stigig taget lim 0 f (x ) f (x)
f (x ) f (x) a(x ) ax f(x) ax lim lim ax 0 0 Gitt e vilkårlig fuksjo på forme y f (x) ax. Stigige (vekstastigete) til grafe i et vilkårlig pukt (x,f(x)) (x, ax ) er ax.
f (x ) f (x) a(x ) ax f(x) ax lim lim ax 0 0 Grafe til fuksjoe y f (x) x 3 3x 4x 5 går slik: f (x ) f (x) lim 0 bereger vi slik: 3 x 3 3x 4 0 6x 6x 4 Stigige (vekstastigete) i puktet (,4) er 6( ) 6( ) 4 8 Stigige i puktet (,) er 6 6 4 8
Derivasjo i økoomifaget k(x) 0,00x 0x 0000 i(x) 4x o(x) i(x) k(x) (4x) (0,00x 0x 0000) 4x 0,00x 0x 0000 o(x) 0,00x 4x 0000 o(x) 0,00x 4x 0000 o'(x) ( 0,00x )' (4x)' (0000)' 0,00 x 4 0 0,004x 4 o'(x) 0,004x 4 I toppuktet er stigige (de deriverte) 0. 0,004x 4 0 0,004x 4 : ( 0,004) 0,004x 4 0,004 0,004 x 3500 Viigsoptimal produksjosmegde er 3500 stk. o(3500) 4500
o(x) 0,00x 4x 0000 o'(x) ( 0,00x )' (4x)' (0000)' 0,00 x 4 0 0,004x 4 o'(x) 0,004x 4 I toppuktet er stigige (de deriverte) lik 0 ull. Ved å teke motsatt og sette de deriverte lik 0 og løse de ligige vi da får, får vi vite x-koordiate til toppuktet, dvs. de produksjosmegde som gir det største overskuddet, dvs. viigsoptimal produksjosmegde. 0,004x 4 0 0,004x 4 : ( 0,004) 0,004x 4 0,004 0,004 x 3500 Viigsoptimal produksjosmegde er 3500 stk. Det er selvfølgelig også iteressat å vite størrelse på det optimale overskuddet. For å få vite det må vi sette x 3500 i overskuddsfuksjoe: o(x) 0,00x 4x 0000 o(3500) 0,00 3500 4 3500 0000 0,00 50 000 49000 0000 4500 49000 0000 4500 4500 kroer virker ikke overveldede, me vis resoemetet er dreier seg om optimal dagsproduksjo, så blir det kaskje brukbart likevel. Det optimale overskuddet er 4500 kroer.
Derivasjo i økoomifaget k(x) 0,00x 0x 0000 De deriverte forteller oss vor bratt grafe er. k(x) 0,00x 0x 0000 k'(x) (0,00x )' (0x)' (0000) 0,00 x 0 0 k'(x) 0,004x 0 Produktet ka selges for 4 kroer per stk. 0,004x 0 4 x 3500 Viigsoptimal produksjosmegde er 3500 stk.
Derivasjo i økoomifaget Kostadsfuksjo k(x) Itektsfuksjo i(x) Overskuddsfuksjo o(x) i(x) k(x) Viigsoptimal produksjosmegde o'(x) 0 Gresekostad k'(x) Viigsoptimal produksjosmegde k'(x) salgspris Gresekostad k'(x) Greseitekt i'(x) Viigsoptimal produksjosmegde k'(x) i'(x)
Derivasjo i økoomifaget k(x) 0,03x 0x 5000 i(x) 50x 0,0x k'(x) i'(x) k'(x) (0,03x )' (0x)' (5000)' 0,03 x 0 0,06x 0 i'(x) (50x)' (0,0x )' 50 0,0 x 50 0,0x 0,06x 0 50 0,0x 0,06x 0,0x 50 0 0,08x 40 : 0,08 0,08x 40 x 500 0,08 0,08 De viigsoptimale produksjosmegde er på 500 stk. (De viigsoptimale produksjosmegde ka også bereges ved å sette de deriverte av overskuddsfuksjoe lik 0) Vi bereger det optimale overskuddet: o(x) 0,04x 40x 5000 o(500) 0,04 500 40 500 5000 0,04 50000 0000 5000 0000 0000 5000 o(500) 5000 Det optimale overskuddet er 5000 kroer.
Slik ble derivasjosregle y f (x) ax y ' f ' (x) a x utledet Først skal vi utlede regele for a, dvs.: y f (x) x y ' f ' (x) x Greseverdiformele forteller at vi ka derivere y f(x) slik: y' f '(x) f (x lim 0 ) f (x) f(x) x Vi treger f(x ) og bereger de slik: f( ) ( ) Dette gir de to økkelverdiee f(x ) (x ) f(x) x f(x ) (x ) og at de deriverte fuksjoe er greseverdie f ' (x) lim 0 (x ) x
0... 3. 3 3 4. 4 6 4 5. 5 0 0 5 osv. Hver lije i trekate begyer og slutter med. Hvert av de adre tallee er summe av tallet til vestre og tallet til øyre i lije over. De este lije i trekate, dvs. lije r. 6, blir derfor slik: 6 5 0 5 6 Tallee fra Pascals trekat fier vi igje som koeffisietee i paretespotesee uder. Ekspoete i e paretespotes forteller vilke lije i trekate vi skal bruke. 0. (a b) 0. (a b) a b. (a b) a ab b 3. (a b) 3 a 3 3a b 3ab b 3 4. (a b) 4 a 4 4a 3 b 6a b 4ab 3 b 4 5. (a b) 5 a 5 5a 4 b 0a 3 b 0a b 3 5ab 4 b 5 osv.
(a b) 6 6 5 0 5 6 a 6 b 0 6a 5 b 5a 4 b 0a 3 b 3 5a b 4 6a b 5 a 0 b 6 Ekspoete i a-potesee begyer på 6 og reduseres med for vert ledd. Ekspoete i b-potesee begyer på 0 og økes med for vert ledd. Koeffisiete først i det adre leddet er lik ekspoete i paretespotese. Vi sløyfer koeffisiete i det første og i det siste leddet. Vi sløyfer også a 0 og b 0. Alle tall oppøyd i 0 er lik. Vi sløyfer ekspoete i a og b. a 6 6a 5 b 5a 4 b 0a 3 b 3 5a b 4 6ab 5 b 6 (a b) 6
y f(x) ax f(x ) a(x ) a(x x... ) ax a x ledd med i adre, tredje osv. f(x ) f(x) a(x ) ax ax a x... ax a x... a x ledd med i første, adre osv. Vi lar gå mot 0 og uttrykket går mot y' f '(x) a x y f(x) a x y' f '(x) a x
(x ) Det første leddet blir x. Koeffisiete først i det adre leddet blir. De multipliseres med x. Det tredje blir e koeffisiet multiplisert med x osv. x x ledd med oppøyd i adre, tredje, osv. til og med oppøyd i -te. (x ) x (x x ) (x ) x x x ledd med oppøyd i adre, tredje, fjerde osv. ( x ledd med oppøyd i første, adre, tredje osv.) x ledd med oppøyd i første, adre, tredje osv. (x ) lim 0 x x Resultatet gir oss regele: y f(x) x y' f '(x) x
y f(x) u(x) v(x) f( ) u( ) v( ) f(x ) u(x ) v(x ) f ' (x) f(x ) f(x) lim 0 [ u(x ) v(x )] [u(x) v(x)] u(x ) v(x ) u(x) v(x) u(x ) u(x) v(x ) v(x) u(x ) u(x) v(x ) v(x) f '(x) u(x ) u(x) lim 0 v(x ) v(x) f ' (x) u(x ) u(x) v(x ) v(x) lim lim 0 0 u'(x) v'(x) y f (x) u(x) v(x) y' f '(x) u'(x) v'(x)
Produktregele ka vi utlede slik: f (x) u(x) v(x) f (x ) u(x ) v(x ) f '(x) f (x ) f (x) lim 0 f '(x) u(x ) v(x ) u(x) v(x) lim 0 Det er ikke så lett å komme på det, me vi ka omskrive brøke slik: [ u(x ) u(x)] v(x ) u(x) [v(x ) v(x)] og fortsette slik: u(x ) u(x) v(x ) v(x ) v(x) u(x) Dersom vi lar gå mot 0, vil uttrykket gå mot u'(x) v(x) u(x) v'(x), og vi ar produktregele: f(x) u(x) v(x) f u v f '(x) u'(x) v(x) u(x) v'(x) f ' u' v u v'
Derivasjosregele for brøkfuksjoer (brøkregele) ka vi utlede slik: v(x) u(x) (x) f ) v(x ) u(x ) f (x v(x) u(x) ) v(x ) u(x f (x) ) f (x ) v(x v(x) ) v(x u(x) v(x) ) v(x v(x) ) u(x ) v(x v(x) ) v(x u(x) v(x) ) v(x v(x) ) u(x v(x) ) v(x ) v(x u(x) v(x) ) u(x v(x) ) v(x ) v(x u(x) v(x) ) u(x ) v(x v(x) v(x)] ) [v(x u(x) v(x) u(x)] ) [u(x ) v(x v(x) u(x) v(x) ) v(x v(x) u(x) ) u(x [v(x)] u(x)] (x) v' v(x) (x) u' [ v(x) u(x) (x) f [v(x)] u(x) (x) v' v(x) (x) u' (x) ' f v u f v u v' v u' ' f
I Galileis kuleeksperimet, som vi iledet kapitlet med, rullet kula slik: Sekud Rullelegde Total rullelegde 3 4 5 osv. 3 5 7 9 4 9 6 5 Dette ka få oss til å tro at Summe av de første oddetallee er. Er det slik?
Uder ser vi toppe av Pascals trekat: 3 3 4 6 4 5 0 0 5 6 5 0 5 6 7 35 35 7 Hvis vi summerer tallee i ver av de åtte lijee, får vi følgede tallfølge: 4 8 6 3 64 8 Dette ka få oss til å tro at Summe av tallee i lije r. i Pascals trekat, er dobbelt så stor som summe av tallee i lije fora, dvs. lije r. ( ). Er det slik?