Stvt legemes dnamkk 03.04.017 snubleguppen må avlses mogen, 4.apl. v plane flee snubleguppe / eksamensvekstede ette Påske YS-MEK 1110 03.04.017 1
tanslasjon otasjon tanslasjon otasjon possjon (t) (t) vnkel hastghet v( t) d ( t) d vnkelhastghet akseleasjon a( t) dv d ( t) d d vnkelakseleasjon 1 tanslatosk eneg Kt mv K 1 otasjonell eneg masse m dm teghetsmoment kaft ma bevegelsesmengde p mv O M l p z kaftmoment spnn YS-MEK 1110 03.04.017
kaftmoment (engelsk: toque) T tangensal kaft T avstand fa aksen kaftmoment = kaft kaftam T T kaftmoment e åsak tl vnkelakseleasjon angepspunkt fo kaften: kaftmoment om O: O uˆ T kˆ z kˆ O Tuˆ T uˆ NL fo otasjone: z z YS-MEK 1110 03.04.017 3
http://pngo.upb.de/ access numbe: 45786 Mens staven otee fa den hosontale tl den vetkale possjonen bl vnkelakseleasjonen 1. støe. mnde 3. fobl den samme τ = α = τ = αk τ = sn θ α = τ bl mnde YS-MEK 1110 03.04.017 4
Abed: Gjø dsse bana abed? s s 1 0 T ds 1 0 d T 1 d 0 z en kaftmoment som vke på et stvt legeme gjø abed. s 0 abed-eneg teoem: T s 1 dθ = 1 zω 1 1 zω 0 YS-MEK 1110 03.04.017 5
YS-MEK 1110 03.04.017 6 G meg et fast punkt, og jeg skal fltte joden. Akmedes: netto kaftmoment om O: N N net N j j j ˆ 0 ˆ) ( ˆ ˆ) ( ˆ ˆ) (ˆ ˆ) ˆ ( j j k ˆ ) ( fo å få et negatvt kaftmoment om z aksen (med klokken): fast punkt: O
Eksempel En konstant kaft vke tangensal på et hjul (homogen slnde). nn vnkel som funksjon av tden. kefte: gavtasjon: G Mg ˆj konstant kaft: ˆ nomalkaft fa aksen på hjulet: N massesenteet bevege seg kke et G N 0 N G ˆ Mg ˆj kaftmomente: G G G 0( Mg ˆ) j 0 N N N 0( ˆ Mg ˆ) j 0 ˆj ( ˆ) kˆ NL: z 1 z M M ( t) (0) z t 0 t M ( t) (0) ( t) t 0 ( t) t M z M t 0 t YS-MEK 1110 03.04.017 7
http://pngo.upb.de/ access numbe: 45786 Et lodd med masse m henge fa en stkk som e festet på en tnse med masse M og adus. Tnsen otee uten fksjon nå massen falle ned. Støelsen tl kaftmomentet på tnsen e: M A. støe enn mg B. mnde enn mg C. lk mg m T mg mg T = ma akseleasjon nedove: T< mg T kaftmoment: τ = T < mg YS-MEK 1110 03.04.017 8
Eksempel: Tnse T mg T kaftmoment: τ = Tj = Tk = z α snoen skl kke: v = ω a = α mg T = ma mg 1 Ma = ma a T = z = 1 a M a = mg 1 M + m T = 1 Ma hvs M m: a g, T 0 hvs M m: a 0, T mg YS-MEK 1110 03.04.017 9
http://pngo.upb.de/ access numbe: 45786 Kloss m 1 gl fksjonsftt og e festet tl lodd m med en masseløs sno som otee hjulet (M, ) uten å gl. Hva e elasjon mellom snodagene det klossen slppes? A. m g = T = T 1 B. m g > T = T 1 C. m g > T > T 1 T 1 D. m g = T > T 1 E. ngen av altenatvene ove T m g loddet akselee nedove: m g > T hjulet få vnkelakseleasjon (med klokken) netto-kaftmoment med klokken T > T 1 T YS-MEK 1110 03.04.017 10
Poblemløsnng dentfse sstem og omgvelse defne et koodnatsstem fnn massesente, otasjonsakse og teghetsmoment f N cm G fnn ntalbetngelse: possjon, hastghet, vnkel, vnkelhastghet fnn keftene og angepspunktene fnn kaftmomentene fo hve kaft buk Newtons ande lov fo å fnne akseleasjonen tl massesenteet buk Newtons ande lov fo otasjone fo å fnne vnkelakseleasjonen buk knematske betngelse fo å elatee tanslasjon og otasjon løs bevegelseslgnnge fo tanslasjon og otasjon kontolle og analse bevegelsen MA O, z YS-MEK 1110 03.04.017 11
Eksempel Et legeme av masse M, adus og teghetsmoment ulle ned et skåplan. koodnatsstem med aksen langs planet ogo massesenteet nomalkaft: N N ˆj N ˆj N N N ˆj 0 NL fo tanslasjon: etnng: Mg sn f et MA N f G MA fksjon: f f f f ˆ f ˆj ( f ˆ) f kˆ etnng: N Mg cos MA 0 N Mg cos gavtasjon: G Mg(sn )ˆ Mg(cos G 0G 0 G G ) ˆj NL fo otasjon: cm f z, lgnnge 3 ukjente: A,, f cm YS-MEK 1110 03.04.017 1
Mg sn f MA (1) f, z cm () v anta at legemet ulle: ullebetngelse: () (1) d c M V A V cm cm f Mg sn g sn cm cm ( 0) d A cm 1 M A A MA A g sn 1 c fksjon: g sn c Mg sn 1 c 1 c YS-MEK 1110 03.04.017 13 f cm fksjon øke med stgnng betngelse fo at legemet kke skl: c Mg sn 1 c 1 c tan s c kule slnde slndeskall 5 Mg cos z, cm M 1 M M s c 5 1 1 f N s tan ma 7 s 3 s s
Mg sn f MA (1) f, z cm () sto stgnng: legemet skl denne tlfelle kjenne v fksjon: dnamsk fksjon: f N d Mg cos d legemet vl fotsatt ulle: (1) Mg sn Mg cos d MA () f z, cm d Mg cos cm A g(sn cos ) d jo støe jo mnde legemet ulle og skl samtdg YS-MEK 1110 03.04.017 14