Kap. 4+5 Rotasjon a stie legeme Vi skal se på: Vinkelhastighet, inkelakseleasjon (ask ekap) Sentipetalakseleasjon, baneakseleasjon (ask ekap) Rotasjonsenegi E k Teghetsmoment I Rulling Kaftmoment τ Spinn (deieimpuls): L Spinnsatsen (Newton 2 fo otasjon): τ = dl/dt Stie legeme: L = I, τ = I d/dt Eksemple: gyoskop, m.m.m Vinkle måles i adiane: θ= s/ ds. s = θ Vinkelhastighet: = dθ/dt = x Vinkelhastighet: = dθ/dt e lik fo hele legemet Banefat = ds/dt = (9.13) øke med adien a c = x 1
Viktige støelse (otasjon) Vinkelpos. θ = s/ Vinkelfat = dθ/dt = / Vektostøelse: langs akseetning Peiode T = tid/omd = 1/f Fekens f = 1/T Vinkelfekens = inkelfat = = 2πf Vinkelaksel. α = d/dt = d 2 θ /d 2 t Banefat = = ds/dt = Vektostøelse: = x Baneaksel. a t = α Sent.aksel. a c = 2 / = 2 Vektostøelse: a c = x = x ( x ) Total aksel = a= a + a θ c t θ s Tanslasjon: E k = ½ m 2 Massens plasseing ingen betydning fo E k Rotasjon: E k = ½ I 2 de I = 2 dm E k øke med (massens astand) 2 fa aksen Samme, samme E k Samme, men ulik E k E k = ½ I 2 i Rotasjonshjul som enegilage I = Σ i2 m i m i Stålskie 10 cm tykk, 1,0 m diamete: He må i integee: dm Poblem: Tung! (600 kg) Defomees: I peifeien e Banefat ==1000 m/s Sentipetalaksel 2 = 220000xg) I = 2 dm Enegi ed 20000 RPM (omd. pe min): E k = ½ I 2 = 170 MJ Fobenningsenegi i bensintank på 40 lite, ed utnyttelse 33%: ca 530 MJ 2
Kap. 4+5 Rotasjon a stie legeme Vi skal se på: Vinkelhastighet, inkelakseleasjon (ep) Sentipetalakseleasjon, baneakseleasjon (ep) Rotasjonsenegi E k Teghetsmoment I Kaftmoment τ (N2-ot) stie legeme: τ = I d/dt Spinn (deieimpuls): L (N2-ot) alle legeme: τ = dl/dt Kaftmoment = am x kaft x sinφ Matematisk: τ = x F Φ F Stie legeme: L = I, τ = I d/dt Rulling Eksemple: gyoskop, m.m.m τ = x F Høyehåndsegelen: τ peke langs tommelen Vektokysspodukt: Y&F Kap. 1.10 τ plassees gjene langs otasjonsaksen Husk også ekto : Buke sjelden komponentfom: i j k A B= [ A, A, A ] [ B, B, B ] = A A A x y z x y z x y z B B B x y z 3
Enhe kaft på ethet legeme ha kaftmoment om en algt akse. Altså τ ikke bae ed otasjon, men mest nyttig ed otasjon. Tanslasjon: F = m d/dt = m a Rotasjon: τ = I d/dt = I α τ = x F τ = F sinφ τ og τ F Ingen anskelige anendelse Atwoods (fall)maskin Øing 5 Rulling (uten å glippe) Tinsa med teghetsmoment I skal akseleees i tillegg til akseleasjon a m 2 og m 1 Tanslasjon cm + otasjon = ulling cm = 4
Teghetsmoment ulike skapninge: Oppgae Rullbae: I = c m R 2 c=1/2 c=1 c=2/5 c=2/3 uendet =0 edusee øke F f Yte kaft (mg sinα) ende gi moment til otasjonen Hilken ulle fotest: Massi kule massi sylinde, elle hul sylinde? Den med minst c i tegh.momentet I = c m 2 1. Kule 2. Massi sylinde 3. Hul sylinde = ing Uahengig a støelsen (nå ulleadius = legemets adius) Rått egg - kokt egg. Hilket ulle fotest? http://fy.chalmes.se/~peolof/fyslek/ (Leksake Mekanik Äggkapplöpning ) 5
Alle 6 mulighete fo kombinasjon på skåplan Rulle / skli / slue på flatt undelag > Mest anlig fo bil Rulle Skli Slue Rutsje ned > Rutsje oppoe Slue nedoe < Slue oppoe < Gli nedoe, fosøke komme opp Gli oppoe, fosøke komme nedoe = =0 his konst mot enste his øke ( øke ) mot høye his minke ( edusee ) mot høye his øke (akseleee, øke) mot enste his minke (bemse, minke) F > < edusee (og øke ) øke (og edus. ) His yte kaft F åsak til ending i His bilmoto/hjulotasjon åsak til ending i Teghetsmoment (om en gitt akse): I = Σ i2 m i 2 dm Alle I om massesentum (cm): Ring om sentum: I = M R 2 Ring om diamete: I = ½ M R 2 Sylinde elle skie om sentum: I = ½ M R 2 Kule om diamete: I = (2/5) M R 2 Kuleskall om diamete: I = (2/3) M R 2 Rullende legeme: I = c mr 2 (c=1, ½, 2/5 etc.) Lang, tynn sta om midtpunkt: I = (1/12) M L 2 Rektangulæ plate om midtpunkt: I = (1/12) M (a 2 + b 2 ) Om annen paallell akse i astand d ( Steines sats): I = I cm + M d 2 Se også Table 9.2 i Young & Feedman. Kap. 4+5. Rotasjon a stie legeme Vi ha sett på: Vinkelhastighet = dθ/dt, inkelakseleasjon α= d /dt Sentipetalaks. a c = - 2 = - = - 2 / Vektoe: = Baneakseleasjon a t = α ac = = ( ) Rotasjonsenegi E k = ½ I 2 Teghetsmoment I = Σ i2 m i = 2 dm (om en gitt akse) Ring om sentum: I = M R 2 Skie om sentum: I = ½ M R 2 Lang, tynn sta om midtpunkt: I = (1/12) M L 2 (Alle disse gjennom massefellespunktet = cm ) Steines sats (paallellakseteoemet): Teghetsmoment om annen paallell akse i astand d: I = I 0 + M d 2 ds. I 0 e alltid det minste mulige teg.moment http://en.wikipedia.og/wiki/paallel_axes_ule 6