Formelsamling i matematikk vg1 Tillatt hjelpemiddel under tentamen del 2 Bleiker vgs. 2008/2009 Hossein Rostamzadeh 6. mai 2009
2
Kapittel 1 Algebra 1.1 Brøkregler 1.1.1 Addisjon av brøker a b + c d = a d b d + c b ad + bc = d b bd Eksempel: 1 5 + 3 4 = 1 4 5 4 + 3 5 4 5 = 4 + 15 = 19 20 20 1.1.2 Subtraksjon av brøker a b c d = a d b d c b ad bc = d b bd Eksempel: 2 3 5 9 = 2 3 3 3 5 1 9 1 = 6 5 = 1 9 9 1.1.3 Multiplikasjon av brøker a b c d = a c b d = ac bd 3
4 KAPITTEL 1. ALGEBRA Eksempel: 2 7 3 5 = 2 3 7 5 = 6 35 1.1.4 Devisjon av brøker a b : c d = a b d c = a d b c = ad bc Eksempel: 1 8 : 3 4 = 1 8 4 3 = 1 4 8 3 = 4 24 = 1 6 Alternativt kan vi skrive eksempel ovenfor som en brudden brøk: 1 8 3 4 = 1 8 : 3 4 = 1 8 4 3 = 1 4 8 3 = 4 24 = 1 6 1.1.5 Fra blandet tall til brøk a b c = a c + b c Eksempel: 2 3 5 = 2 5 + 3 5 = 13 5 1.2 Potensregler a m er et potensuttrykk og leses som a opphøyd i m a er grunntallet og m er eksponenten m viser hvor mange ganger a må ganges med seg selv.
1.3. REGNING MED POTENSER 5 1.2.1 Basis potensregel Fromel: a m = a a a } {{ } m-stykker Eksempel 1: 2 5 = 2 2 2 2 2 = 32 Eksempel 2: ( 2) 5 = ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) = 32 1.2.2 Negativ potens a m = 1 a m Eksempel: 2 5 = 1 2 5 = 1 32 1.2.3 Nullpotens a 0 = 1, hvor a 0 Eksempel 1: 3 0 = 1 Eksempel 2: ( 500) 0 = 1 1.2.4 Standardform a = ±k 10 n, hvor 1 k < 10 og n er et helt tall Eksempel 1: 2500 = 2, 5 10 3 Eksempel 2: 0, 098 = 9, 8 10 2 1.3 Regning med potenser 1.3.1 Multiplikasjon av potenser med like grunntall a m a n = a m+n Eksempel 1: 2 2 2 4 = 2 2+4 = 2 6 = 64 Eksempel 2: ( 2) 2 ( 2) 4 = ( 2) 2+4 = ( 2) 6 = 64 1.3.2 Divisjon av potenser med like grunntall am a n = a m n Eksempel 1: 53 5 2 = 5 3 2 = 5 1 = 5
6 KAPITTEL 1. ALGEBRA Eksempel 2: 52 5 3 = 5 2 3 = 5 1 = 1 5 1.3.3 Potens av potens (a m ) n = a m n Eksempel: (4 3 ) 2 = 4 3 2 = 4 6 1.3.4 Felles eksponent ved multiplikasjon (a b) m = a m b m Eksempel: (3 4) 2 = 3 2 4 2 1.3.5 Felles eksponent ved divisjon ( a b )m = am b m Eksempel: ( 3 4 )2 = 32 4 2 1.3.6 Brøk som eksponent a m n = n a m Eksempel: 8 1 3 = 3 8 1 = 3 8 = 2 1.4 Kvardattrøt og n-te rot Formelen: n a m = a m n viser at n-te rotuttrykk og potensuttrykk er identiske. Dette medfører at vi som et alternativ kan bruke alle potensreglene for å regne ut n-te rot uttrykker ved behov. Eksempel: 8 1 3 = 3 8 1 = 3 8 = 2 1.4.1 Kvadratrot av en multiplikasjon Fromel: a b = a b Eksempel: 5 7 = 5 7
1.5. KVARDATSETNINGENE OG KONJUGATSETNINGEN 7 1.4.2 Kvadratrot av en divisjon Fromel: a b = a b Eksempel: 5 7 = 5 7 1.4.3 n-te rot av en multiplikasjon Fromel: n a b = n a n b Eksempel: 3 5 7 = 3 5 3 7 1.4.4 n-te rot av en divisjon Fromel: n a b = n a n b 3 Eksempel: 5 7 = 3 5 3 7 1.5 Kvardatsetningene og konjugatsetningen 1.5.1 Første kvadratsetning (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 1.5.2 Andre kvadratsetning (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 1.5.3 Konjugatsetningen a 2 b 2 = (a b)(a + b) 1.6 Førstegrads likning ax + b = c = x = c b a Eksempel: 4x + 2 = 6 = x = 6 2 4 = x = 4 4 = x = 1
8 KAPITTEL 1. ALGEBRA 1.7 Andregrads likning ax 2 + bx + c = 0 = x = b± b 2 4ac 2a 1.8 Potenslikning med oddetall i eksponent ax n = c = x = n c a Forutsatt at b er et oddetall 1.9 Potenslikning med parttall i eksponent ax n = c = x = ± n c a Forutsatt at b er et partall 1.10 Exponensial likning ab x = c = x = log( c a ) logb 1.11 Logaritmisk likning logx = c = x = 10 c Eksempel: logx = 3 = x = 10 3 = 1000 1.12 Regning med logaritme 1.12.1 Logaritme av et produkt log(x y) = log x + log y 1.12.2 Logaritme av en brøk log x y = log x log y 1.12.3 Logaritme av potensuttrykk log x n = n log x
1.13. RETTLINJE 9 1.13 Rettlinje En rett linje som går gjennom to punkter P 1 (x 1, y 1 ) og P 2 (x 2, y 2 ) er gitt ved formelen: y = ax + b hvor a = y 2 y 1 x 2 x 1 som er stigningstallet til linjen og b = y 1 a x 1 som er skjæringspunktet mellom linjen og y-aksen. Eksempel: Finn likningen til den rette linjen som går gjennom punktene P 1 (1, 1) og P 2 (2, 3) steg 1) Finn a: steg 2) Finn b: a = y 2 y 1 = 3 ( 1) = 3 + 1 = 4 x 2 x 1 2 1 1 1 = 4 b = y 1 a x 1 = 1 4 1 = 1 4 = 5 Steg 3) y = ax + b y = 4x + ( 5) y = 4x 5 Alternativt kan man bruke formelen: y y 1 = a(x x 1 ) Steg 1: Finn a: a = y 2 y 1 x 2 x 1 Steg 2: y y 1 = a(x x 1 ) = y ( 1) = 4(x 1) y + 1 = 4x 4 y = 4x 4 1 y = 4x 5 1.14 Prefikser Metriske prefikser er flgende: = 3 ( 1) 2 1 = 3+1 1 = 4 1 = 4
10 KAPITTEL 1. ALGEBRA Prefiks Symbol Tallverdi Prefiks Symbol Tallverdi deka da 10 1 desi d 10 1 hekto h 10 2 centi h 10 2 kilo k 10 3 milli m 10 3 mega M 10 6 mikro µ 10 6 giga G 10 9 nano n 10 9 tera T 10 12 pico p 10 12 peta P 10 15 femto f 10 15 exa E 10 18 atto e 10 18 zeta Z 10 21 zepto z 10 21 yotta Y 10 24 yocto y 10 24 Eksempel 1:Hvor mange meter er 0,25 km? Vi bruker likningsmetoden for å løse oppgaven og finner x fra likningen 0, 25 km = x m fjern m fra begge sider 0, 25 k = x sett inn tallverdien til prefiksen k = 1000 0, 25 1000 = x x = 250 som betyr at: 0, 25 km = 250 m Eksempel 2: Hvor mange cm 2 er 0,5 m 2? Vi bruker likningsmetoden for å løse oppgaven og finner x fra likningen 0, 5 m 2 = x (cm) 2 0, 5 m 2 = x c 2 m 2 Del begge sider med c 2 m 2 og sett inn tallverdien til prefiksen c = 0, 01 0,5 c 2 = x 0,5 0,01 2 = x x = 5000 som betyr at: 0, 5 m 2 = 5000 cm 2 Eksempel 3: Hvor mange mm 3 er 3,5 cm 3? Vi bruker likningsmetoden for å løse oppgaven og finner x fra likningen 3, 5 (cm) 3 = x (mm) 3 3, 5 c 3 m 3 = x m 3 m 3 del begge sider av likningen med m 3 m 3 og sett inn tallverdiene til prefiksene c = 0, 01 og m = 0, 001 3,5 c 3 m 3 = x x = 3500 som betyr at: 3, 5 cm 3 = 3500 mm 3
Kapittel 2 Økonomi 2.1 Prosent av et tall P % av T = P T 100 Eksempel: 5% av 200 = 5 200 100 = 10 2.2 Prosentvis endring P = N G G 100 hvor P = prosentvis endring i noe, N = ny verdi av noe og G = gammel verdi av noe Eksempel: Oprinnelig prisen av en vare = 5000 kr. Salgsprisen av varen = 4100 Kr. Prosentvis endring i prisen =? P = 4100 5000 5000 100 = 18% Minusfortegn i svaret betyr at prisen har gtt ned. 2.3 Vekstfaktor: V V = 1 ± P 100 hvor + velges når verdien av noe øker, og - velges når verdien av noe synker Eksempel 1 : Prisen på en vare øker med 25 %. Hva er vekstfaktoren? V = 1 + 25 100 = 1, 25 Eksempel 2 : Prisen på en vare synker med 15 %. Hva er vekstfaktoren? V = 1 15 100 = 0, 85 11
12 KAPITTEL 2. ØKONOMI 2.4 Vekstfaktor(V), gammel verdi(g) og ny verdi(n) N = G V og tilsvarende G = N V Legg merke til at vi kan bruke formel 2.2 istedenfor disse to formlene. 2.5 Gjentatte prosentvis endring N = G(1 ± P 100 )n hvor P = prosentvis endring i noe, N = ny verdi av noe, G = gammel verdi av noe, n = antall gjentakelse Vi + velger når verdien øker, og - når verdien synker. Eksempel: Vi setter 20 000 kr på en konto med en årlig fast rente på 2,5 %. Hvor mye er på kontoen etter 5 år? N = 20000(1 + 2,5 100 )5 = 22628 Kr. 2.6 Konsumprisindeks: I P 1 I 1 = P 2 I 2 2.7 Kroneverdi Kroneverdi = I 100 2.8 Reallønn: R og nominell Lønn: L R = 100 L I L = R I 100
Kapittel 3 Geometri 3.1 Målestokk: M M = L k L v hvor L k er lengden på kart og L v lengden i virkelighet. Tisvarende formler for lengde i virkelighet og lengde på kart: L v = L k M L k = M L v Eksempel: Bredden til en elv er 19 mm på et kart med målestokk på 1:1000. Hva er den egentlige bredden til elven? Legg merke til at M = 1 : 1000 = 0, 001 L v = L k M = 19mm 0,001 = 19000mm = 19m 3.2 Vinkelen i regulære mangekanter < V = 180 (n 2) n hvor < V er vinkelen i mangekanten, n er antall kanter Eksempel: Finn vinkelen i en regulær sekskant. < V = 180 (6 2) 6 = 120 o 13
14 KAPITTEL 3. GEOMETRI 3.3 Fylle planet med regulære mangekanter Formel/regel: Vi kan fylle planet med regulære mangekanter hvis og bare hvis 360 V = helttall Eksempel: Hvilke av regulære femkanter eller sekskanter kan fylle planet? Regulære femkanter fyller ikke planet siden: < V = 180 (5 2) 5 = 108 o 360 108 = 3, 33333 Regulære sekskanter fyller planet siden: < V = 180 (6 2) 6 = 120 o 360 120 = 3 Alternativ formel/regel: For å kunne fylle et plan med regulære mangekanter må summen av vinklene i hvert punkt der mangekantene møtes være 360 o 3.4 Pytagoras setning ABCcab Pytagoras setning: a 2 + b 2 = c 2
3.5. FORMLIKHET 15 3.5 Formlikhet ABCcabDEFfde Tilsvaende vinkler er like: < A =< D < B =< E < C =< F a d = b e = c f
16 KAPITTEL 3. GEOMETRI
Kapittel 4 Sannsynlighet 17