Seksjonene 10.2-3: Vektorer Andreas Leopold Knutsen 22. mars 2010
Vektorer i R 3 Vektor = objekt med både størrelse (lengde) og retning. Lengden til en vektor v betegnes med v Nullvektoren 0 er vektoren med lengde null. Eks. fra fysikk: fart, akselerasjon, kraft.
Vektorer i R 3 Vektor = objekt med både størrelse (lengde) og retning. Lengden til en vektor v betegnes med v Nullvektoren 0 er vektoren med lengde null. Eks. fra fysikk: fart, akselerasjon, kraft.
Vektorer i R 3 Vektor = objekt med både størrelse (lengde) og retning. Lengden til en vektor v betegnes med v Nullvektoren 0 er vektoren med lengde null. Eks. fra fysikk: fart, akselerasjon, kraft.
Vektorer i R 3 Vektor = objekt med både størrelse (lengde) og retning. Lengden til en vektor v betegnes med v Nullvektoren 0 er vektoren med lengde null. Eks. fra fysikk: fart, akselerasjon, kraft.
Kan beskrives geometrisk med pil mellom startpunkt og endepunkt. To vektorer er like de har samme lengde og retning. (som f.eks. a, b, c over) Konsekvens: startpunkt spiller ingen rolle, vi kan legge startpunkt i ethvert ønsket punkt, f.eks. origo.
Kan beskrives geometrisk med pil mellom startpunkt og endepunkt. To vektorer er like de har samme lengde og retning. (som f.eks. a, b, c over) Konsekvens: startpunkt spiller ingen rolle, vi kan legge startpunkt i ethvert ønsket punkt, f.eks. origo.
Kan beskrives geometrisk med pil mellom startpunkt og endepunkt. To vektorer er like de har samme lengde og retning. (som f.eks. a, b, c over) Konsekvens: startpunkt spiller ingen rolle, vi kan legge startpunkt i ethvert ønsket punkt, f.eks. origo.
Kan beskrives geometrisk med pil mellom startpunkt og endepunkt. To vektorer er like de har samme lengde og retning. (som f.eks. a, b, c over) Konsekvens: startpunkt spiller ingen rolle, vi kan legge startpunkt i ethvert ønsket punkt, f.eks. origo.
Operasjon: vektoraddisjon Addisjon av vektorer u + v.
Operasjon: vektoraddisjon Addisjon av vektorer u + v.
Operasjon: Skalarmultiplikasjon Multiplikasjon av vektor v med skalar(=reellt tall) c : cv er vektoren med lengde c v,med samme retning som v om c > 0, og i motsatt retning om c < 0. F.eks. har vektoren ( 1)u samme lengde som u men motsatt retning. Vi skriver gjerne u og kaller vektoren den motsatte vektoren til u.
Operasjon: Skalarmultiplikasjon Multiplikasjon av vektor v med skalar(=reellt tall) c : cv er vektoren med lengde c v,med samme retning som v om c > 0, og i motsatt retning om c < 0. F.eks. har vektoren ( 1)u samme lengde som u men motsatt retning. Vi skriver gjerne u og kaller vektoren den motsatte vektoren til u.
Operasjon: Skalarmultiplikasjon Multiplikasjon av vektor v med skalar(=reellt tall) c : cv er vektoren med lengde c v,med samme retning som v om c > 0, og i motsatt retning om c < 0. F.eks. har vektoren ( 1)u samme lengde som u men motsatt retning. Vi skriver gjerne u og kaller vektoren den motsatte vektoren til u.
Operasjon: Skalarmultiplikasjon Multiplikasjon av vektor v med skalar(=reellt tall) c : cv er vektoren med lengde c v,med samme retning som v om c > 0, og i motsatt retning om c < 0. F.eks. har vektoren ( 1)u samme lengde som u men motsatt retning. Vi skriver gjerne u og kaller vektoren den motsatte vektoren til u.
Egenskaper til vektoraddisjon og skalarmultiplikasjon Kan vise at operasjonene oppfyller (u, v vektorer, k, l skalarer): u + v = v + u (kommutativitet) (u + v) + w = u + (v + w) (assosiativitet) 0 + u = u + 0 (eksistens av nullvektor) u + ( u) = 0 (eksistens av negativ vektor) 1 u = u (eksistens av multiplikativ identitet) k(u + v) = ku + kv (distributive lover) (k + l)u = ku + lu k(lu) = (kl)u
Aksiomatisk definisjon (MAT121) Egenskapene fra forrige side kan brukes som utgangspunkt for en aksiomatisk definisjon av vektorer: Et vektorrom er en mengde objekter, kalt vektorer, sammen med to operasjoner + mellom vektorer, som gir ny vektor som resultat; og mellom vektor og skalar, som også gir ny vektor som resultat og som oppfyller egenskapene over. Skalarene kan være elementer fra R, C, Q o.l., og vi snakker da om vektorrom over R, C, Q osv.
Aksiomatisk definisjon (MAT121) Egenskapene fra forrige side kan brukes som utgangspunkt for en aksiomatisk definisjon av vektorer: Et vektorrom er en mengde objekter, kalt vektorer, sammen med to operasjoner + mellom vektorer, som gir ny vektor som resultat; og mellom vektor og skalar, som også gir ny vektor som resultat og som oppfyller egenskapene over. Skalarene kan være elementer fra R, C, Q o.l., og vi snakker da om vektorrom over R, C, Q osv.
Aksiomatisk definisjon (MAT121) Egenskapene fra forrige side kan brukes som utgangspunkt for en aksiomatisk definisjon av vektorer: Et vektorrom er en mengde objekter, kalt vektorer, sammen med to operasjoner + mellom vektorer, som gir ny vektor som resultat; og mellom vektor og skalar, som også gir ny vektor som resultat og som oppfyller egenskapene over. Skalarene kan være elementer fra R, C, Q o.l., og vi snakker da om vektorrom over R, C, Q osv.
Aksiomatisk definisjon (MAT121) Egenskapene fra forrige side kan brukes som utgangspunkt for en aksiomatisk definisjon av vektorer: Et vektorrom er en mengde objekter, kalt vektorer, sammen med to operasjoner + mellom vektorer, som gir ny vektor som resultat; og mellom vektor og skalar, som også gir ny vektor som resultat og som oppfyller egenskapene over. Skalarene kan være elementer fra R, C, Q o.l., og vi snakker da om vektorrom over R, C, Q osv.
Aksiomatisk definisjon (MAT121) Egenskapene fra forrige side kan brukes som utgangspunkt for en aksiomatisk definisjon av vektorer: Et vektorrom er en mengde objekter, kalt vektorer, sammen med to operasjoner + mellom vektorer, som gir ny vektor som resultat; og mellom vektor og skalar, som også gir ny vektor som resultat og som oppfyller egenskapene over. Skalarene kan være elementer fra R, C, Q o.l., og vi snakker da om vektorrom over R, C, Q osv.
Aksiomatisk definisjon (MAT121) Egenskapene fra forrige side kan brukes som utgangspunkt for en aksiomatisk definisjon av vektorer: Et vektorrom er en mengde objekter, kalt vektorer, sammen med to operasjoner + mellom vektorer, som gir ny vektor som resultat; og mellom vektor og skalar, som også gir ny vektor som resultat og som oppfyller egenskapene over. Skalarene kan være elementer fra R, C, Q o.l., og vi snakker da om vektorrom over R, C, Q osv.
Posisjonsvektor til punkt i R 3 (a x, a y, a z ) Et punkt (a x, a y, a z ) definerer en vektor fra origo til punktet, som vi kaller posisjonsvektoren, og betegnes med a = a x, a y, a z. Lengden er a = ax 2 + ay 2 + az. 2 Kan skrive a = a x 1, 0, 0 + a y 0, 1, 0 + a z 0, 0, 1 = a x i + a y j + a z k
Posisjonsvektor til punkt i R 3 (a x, a y, a z ) Et punkt (a x, a y, a z ) definerer en vektor fra origo til punktet, som vi kaller posisjonsvektoren, og betegnes med a = a x, a y, a z. Lengden er a = ax 2 + ay 2 + az. 2 Kan skrive a = a x 1, 0, 0 + a y 0, 1, 0 + a z 0, 0, 1 = a x i + a y j + a z k
Posisjonsvektor til punkt i R 3 (a x, a y, a z ) Et punkt (a x, a y, a z ) definerer en vektor fra origo til punktet, som vi kaller posisjonsvektoren, og betegnes med a = a x, a y, a z. Lengden er a = ax 2 + ay 2 + az. 2 Kan skrive a = a x 1, 0, 0 + a y 0, 1, 0 + a z 0, 0, 1 = a x i + a y j + a z k
Standardbasisvektorene Vektorene i = 1, 0, 0 j = 0, 1, 0 k = 0, 0, 1 kalles standardbasisvektorene til R 3. Alle vektorer i R 3 kan uttrykkes som lineær kombinasjon av disse.
Standardbasisvektorene Vektorene i = 1, 0, 0 j = 0, 1, 0 k = 0, 0, 1 kalles standardbasisvektorene til R 3. Alle vektorer i R 3 kan uttrykkes som lineær kombinasjon av disse.
Hvordan representere vektorer i R 3? Vektoren P 1 P 2 fra P 1 (x 1, y 1, z 1 ) til P 2 (x 2, y 2, z 2 ) er gitt ved at OP 1 + P 1 P 2 = OP 2, dvs. P 1 P 2 = OP 2 OP 1 = x 2 x 1, y 2 y 1, z 2 z 1. Lengden er P 1 P 2 = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 + (z 2 z 1 ) 2
Hvordan representere vektorer i R 3? Vektoren P 1 P 2 fra P 1 (x 1, y 1, z 1 ) til P 2 (x 2, y 2, z 2 ) er gitt ved at OP 1 + P 1 P 2 = OP 2, dvs. P 1 P 2 = OP 2 OP 1 = x 2 x 1, y 2 y 1, z 2 z 1. Lengden er P 1 P 2 = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 + (z 2 z 1 ) 2
Hvordan representere vektorer i R 3? Vektoren P 1 P 2 fra P 1 (x 1, y 1, z 1 ) til P 2 (x 2, y 2, z 2 ) er gitt ved at OP 1 + P 1 P 2 = OP 2, dvs. P 1 P 2 = OP 2 OP 1 = x 2 x 1, y 2 y 1, z 2 z 1. Lengden er P 1 P 2 = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 + (z 2 z 1 ) 2
Vektoroperasjoner i R 3 Regel: alt skjer komponentvis. Hvis u = u 1, u 2, u 3 og v = v 1, v 2, v 3 er vektorer og c R er skalar, da er u + v = u 1, u 2, u 3 + v 1, v 2, v 3 = u 1 + v 1, u 2 + v 2, u 3 + v 3 ; u v = u 1, u 2, u 3 v 1, v 2, v 3 = u 1 v 1, u 2 v 2, u 3 v 3 ; cu = cu 1, cu 2, cu 3.
Skalarprodukt Skalarproduktet mellom u = u 1, u 2, u 3 og v = v 1, v 2, v 3 er u v = u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3 R. Teorem 10.2.1: u v = u v cos θ. Spesielt: u v u v = 0.
Skalarprodukt Skalarproduktet mellom u = u 1, u 2, u 3 og v = v 1, v 2, v 3 er u v = u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3 R. Teorem 10.2.1: u v = u v cos θ. Spesielt: u v u v = 0.
Skalarprodukt Skalarproduktet mellom u = u 1, u 2, u 3 og v = v 1, v 2, v 3 er u v = u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3 R. Teorem 10.2.1: u v = u v cos θ. Spesielt: u v u v = 0.
Egenskaper til skalarprodukt Kan vise at skalarprodukt oppfyller følgende: u v = v u (kommutativitet) u (v + w) = u v + u w (distributiv lov) u u = u 2.
Eks: Arbeid i fysikk Når kraft og forflytning skjer i samme retning er Arbeid = kraft forflytning. Generelt: Kraft F og forflytning d er vektorer og Arbeid = F d = F d cos θ. Merk: F cos θ er lengden til projeksjonen av F langs d.
Eks: Arbeid i fysikk Når kraft og forflytning skjer i samme retning er Arbeid = kraft forflytning. Generelt: Kraft F og forflytning d er vektorer og Arbeid = F d = F d cos θ. Merk: F cos θ er lengden til projeksjonen av F langs d.
Eks: Arbeid i fysikk Når kraft og forflytning skjer i samme retning er Arbeid = kraft forflytning. Generelt: Kraft F og forflytning d er vektorer og Arbeid = F d = F d cos θ. Merk: F cos θ er lengden til projeksjonen av F langs d.
Skalarprojeksjon Skalarprojeksjonen til u langs v er scal v u = u cos θ = u v v
Vektorprojeksjon Vektorprojeksjonen til u langs v er vektoren med lengde scal v u i retning v, dvs. proj v u = u v = scal v u v v = u v v v v = u v v 2 v Merk: v v er vektor med lengde 1 langs v.
Vektorprojeksjon Vektorprojeksjonen til u langs v er vektoren med lengde scal v u i retning v, dvs. proj v u = u v = scal v u v v = u v v v v = u v v 2 v Merk: v v er vektor med lengde 1 langs v.
Vektorprojeksjon Vektorprojeksjonen til u langs v er vektoren med lengde scal v u i retning v, dvs. proj v u = u v = scal v u v v = u v v v v = u v v 2 v Merk: v v er vektor med lengde 1 langs v.
Vektorprojeksjon Vektorprojeksjonen til u langs v er vektoren med lengde scal v u i retning v, dvs. proj v u = u v = scal v u v v = u v v v v = u v v 2 v Merk: v v er vektor med lengde 1 langs v.
Vektorprojeksjon Vektorprojeksjonen til u langs v er vektoren med lengde scal v u i retning v, dvs. proj v u = u v = scal v u v v = u v v v v = u v v 2 v Merk: v v er vektor med lengde 1 langs v.
Vektorer i R n Alt vi har sagt hittil har sine naturlige generaliseringer til vektorer i R n, og til og med til vektorer i vilkårlige vektorrom. Men det som kommer nå (kryssprodukt) er kun definert i R 3.
Motivasjon: dreiemoment=torque τ. Dreiekraften τ avhenger av størrelsen på kraften F som vi virker med; lengden r ; vinkelen θ mellom F og r. Resultat: τ står normalt på både F og r, i retningen slik at r, F og τ danner et høyrehåndssystem og har lengde τ = F r sin θ.
Motivasjon: dreiemoment=torque τ. Dreiekraften τ avhenger av størrelsen på kraften F som vi virker med; lengden r ; vinkelen θ mellom F og r. Resultat: τ står normalt på både F og r, i retningen slik at r, F og τ danner et høyrehåndssystem og har lengde τ = F r sin θ.
Motivasjon: dreiemoment=torque τ. Dreiekraften τ avhenger av størrelsen på kraften F som vi virker med; lengden r ; vinkelen θ mellom F og r. Resultat: τ står normalt på både F og r, i retningen slik at r, F og τ danner et høyrehåndssystem og har lengde τ = F r sin θ.
Motivasjon: dreiemoment=torque τ. Dreiekraften τ avhenger av størrelsen på kraften F som vi virker med; lengden r ; vinkelen θ mellom F og r. Resultat: τ står normalt på både F og r, i retningen slik at r, F og τ danner et høyrehåndssystem og har lengde τ = F r sin θ.
Motivasjon: dreiemoment=torque τ. Dreiekraften τ avhenger av størrelsen på kraften F som vi virker med; lengden r ; vinkelen θ mellom F og r. Resultat: τ står normalt på både F og r, i retningen slik at r, F og τ danner et høyrehåndssystem og har lengde τ = F r sin θ.
Kryssprodukt i R 3 (kun i R 3!!) Kryssproduktet u v er den entydige vektoren slik at u v står normalt på både u og v, dvs. (u v) u = (u v) v = 0; u, v, u v danner høyrehåndssystem; u v = u v sin θ. Spesielt: u v u v = 0.
Kryssprodukt i R 3 (kun i R 3!!) Kryssproduktet u v er den entydige vektoren slik at u v står normalt på både u og v, dvs. (u v) u = (u v) v = 0; u, v, u v danner høyrehåndssystem; u v = u v sin θ. Spesielt: u v u v = 0.
Kryssprodukt i R 3 (kun i R 3!!) Kryssproduktet u v er den entydige vektoren slik at u v står normalt på både u og v, dvs. (u v) u = (u v) v = 0; u, v, u v danner høyrehåndssystem; u v = u v sin θ. Spesielt: u v u v = 0.
Kryssprodukt i R 3 (kun i R 3!!) Kryssproduktet u v er den entydige vektoren slik at u v står normalt på både u og v, dvs. (u v) u = (u v) v = 0; u, v, u v danner høyrehåndssystem; u v = u v sin θ. Spesielt: u v u v = 0.
Kryssprodukt i R 3 (kun i R 3!!) Kryssproduktet u v er den entydige vektoren slik at u v står normalt på både u og v, dvs. (u v) u = (u v) v = 0; u, v, u v danner høyrehåndssystem; u v = u v sin θ. Spesielt: u v u v = 0.
Utregning av kryssprodukt i R 3 Teorem 10.3.2 u v = u 1, u 2, u 3 v 1, v 2, v 3 = u 2 v 3 u 3 v 2, u 3 v 1 u 1 v 3, u 1 v 2 u 2 v 1 = i j k u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 for de som kjenner til determinanter (MAT121).
Utregning av kryssprodukt i R 3 Teorem 10.3.2 u v = u 1, u 2, u 3 v 1, v 2, v 3 = u 2 v 3 u 3 v 2, u 3 v 1 u 1 v 3, u 1 v 2 u 2 v 1 = i j k u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 for de som kjenner til determinanter (MAT121).
Egenskaper til kryssprodukt Kan vise at kryssprodukt oppfyller følgende: u v = v u (antikommutativitet) u (v + w) = u v + u w (distributiv lov) (u + v) w = u w + v w (distributiv lov) (cu) v = u (cv) = c(u v)