04.01.2017 MATEMATIKK (MAT1005) Potenser / Prosenter / Tabeller / Diagrammer / Sentralmål / Spredningsmål DEL 1 (UTEN HJELPEMIDLER) 2 timer DEL 2 (MED HJELPEMIDLER) 3 timer (Del 1 må leveres inn før hjelpemidlene kan benyttes) Alt arbeid i regneark (Excel) og GeoGebra skal limes inn i et tekstdokument med filnavn lik elevens navn. Filen leveres på Itslearning. Total poengsum: 74 poeng Karakter 2: 19p Karakter 3: 31p Karakter 4: 43p Karakter 5: 55p Karakter 6: 67p Læreplanmål Regne med potenser og tall på standardform med positive og negative eksponenter og bruke dette i praktiske sammenhenger Regne med prosent og vekstfaktor, gjøre suksessive renteberegninger og regne praktiske oppgaver med eksponentiell vekst Gjøre målinger i praktiske forsøk og formulere matematiske modeller på grunnlag av observerte data Analysere praktiske problemstillinger knyttet til dagligliv, økonomi, statistikk og geometri, finne mønster og struktur i ulike situasjoner og beskrive sammenhenger mellom størrelser ved hjelp av matematiske modeller Planlegge, gjennomføre og vurdere statistiske undersøkelser Beregne og gjøre rede for kumulativ og relativ frekvens, presentere data i tabeller og diagrammer og drøfte ulike datafremstillinger og hvilke inntrykk de kan gi Bruke regneark i statistiske beregninger og presentasjoner Planlegge, gjennomføre og vurdere statistiske undersøkelser Beregne og drøfte sentralmål og spredningsmål Gruppere data og beregne sentralmål for et gruppert datamateriale Bruke regneark i statistiske beregninger og presentasjoner
KJENNETEGN PÅ GRAD AV MÅLOPPNÅELSE Lav grad Karakter 2 Middels grad Karakter 3/4 Høy grad Karakter 5/6 Begreper, forståelse og ferdigheter: Eleven forstår en del grunnleggende begreper. Eleven behersker en del enkle, standardiserte framgangsmåter. Eleven forstår de fleste grunnleggende begreper og viser eksempler på forståelse av sammenhenger i faget. Eleven behersker de fleste enkle, standardiserte framgangsmåter, har middels god regneteknikk og bruk av matematisk formspråk, viser eksempler på logiske resonnementer og bruk av ulike matematiske representasjoner. Eleven forstår alle grunnleggende begreper, kombinerer begreper fra ulike områder med sikkerhet og har god forståelse av dypere sammenhenger i faget. Eleven viser sikkerhet i regneteknikk, logiske resonnementer, bruk av matematisk formspråk og bruk av ulike matematiske representasjoner. Problemløsning: Eleven viser eksempler på å kunne løse enkle problemstillinger med utgangspunkt i tekster, figurer og praktiske og enkle situasjoner. Eleven klarer iblant å planlegge enkle løsningsmetoder eller utsnitt av mer kompliserte metoder. Eleven løser de fleste enkle og en del middels kompliserte problemstillinger med utgangspunkt i tekster, figurer og praktiske situasjoner, og viser eksempler på bruk av fagkunnskap i nye situasjoner. Eleven klarer delvis å planlegge løsningsmetoder i flere steg og å gjøre fornuftige antakelser. Eleven utforsker problemstillinger, stiller opp matematiske modeller og løser oppgaver med utgangspunkt i tekster, figurer og nye og komplekse situasjoner. Eleven viser sikkerhet i planlegging av løsningsmetoder i flere steg og formulering av antakelser knyttet til løsningen, viser kreativitet og originalitet. Eleven kan avgjøre om svar er rimelige i en del enkle situasjoner. Eleven viser eksempler på bruk av hjelpemidler knyttet til enkle problemstillinger. Eleven kan ofte vurdere om svar er rimelige. Eleven bruker hjelpemidler på en hensiktsmessig måte i en del ulike sammenhenger. Eleven viser sikkerhet i vurdering av svar, kan reflektere over om metoder er hensiktsmessige. Eleven viser sikkerhet i vurdering av hjelpemidlenes muligheter og begrensninger, og i valg mellom hjelpemidler. Eleven kan bruke hjelpemidler til å se en del enkle mønstre. Eleven klarer delvis å bruke digitale verktøy til å finne matematiske sammenhenger. Eleven kan bruke digitale verktøy til å finne matematiske sammenhenger, og kan sette opp hypoteser ut fra dette. Kommunikasjon: Eleven presenterer løsninger på en enkel måte, for det meste med uformelle uttrykksformer. Eleven presenterer løsninger på en forholdsvis sammenhengende måte med forklarende tekst i et delvis matematisk formspråk. Eleven presenterer løsninger på en oversiktlig, systematisk og overbevisende måte med forklarende tekst i matematisk formspråk. Karakteren 1 uttrykker svært lav kompetanse i faget.
DEL 1 (UTEN HJELPEMIDLER) 2 timer Oppgave 1 (6 poeng) a) Regn ut og skriv svaret på standardform. 1) 3 10 4 2 10 1 3 2 10 4+( 1) = 6 10 3 2) 3 102 5 10 4 1,5 10 2 3 5 1,5 102+( 4) 2 = 10 10 4 = 1 10 3 b) Regn ut. Skriv svaret som et helt tall eller en brøk. 1) 0,005 200 8 3 2 1 2 2) 32 3 3 0 3 + 3 9 3 1 3 + 3 = 6 3 + 3 = 2 + 3 = 5 c) Skriv så enkelt som mulig. 1) 2) (x) + (x) 2x x (2a) 2 b 1 2a b 1 4 2x 2x 2 = x x 2 = 1 x 2a 2a b1 2a b1 ( 1) 2a b2 = = = a b 2 2a b 1 2 2 2 Oppgave 2 (10 poeng) Et bilverksted utfører PKK (periodisk kjøretøykontroll). En dag ble det notert hvor mange feil hver bil som ble kontrollert hadde: 1, 1, 3, 5, 3, 0, 0, 1, 2, 2, 3, 4, 0, 1, 4, 3, 1 a) Bestem typetallet, medianen og gjennomsnittet for dette datamaterialet. Typetallet: Det tallet som forekommer flest ganger. 1 forekommer 5 ganger. Typetallet er 1. Median: Vi ordner tallene. 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 5. Medianen ligger midt i tallmaterialet, her vist med rødt. Median er 2. Gjennomsnitt: Vi summerer alle tallene og deler på antall observasjoner. 34 17 = 2 b) Finn variasjonsbredden og kvartilbredden. Variasjonsbredden: Største obeservasjonsverdi Minste observasjonsverdi = 5 0 = 5 Kvartilbredden: NEDRE HALVDEL ØVRE HALVDEL 0 0 0 1 1 1 1 1 2 2 3 3 3 3 4 4 5 Nedre kvartil Øvre kvartil Kvartilbredden = Øvre kvartil Nedre kvartil = 3 1 = 2
c) Lag en tabell som viser både frekvens og kumulativ frekvens for hvor mange feil det var på bilene. Antall feil Frekvens Kumulativ frekvens 0 3 3 1 5 8 2 2 10 3 4 14 4 2 16 5 1 17 d) Hva er den relative frekvensen for en feil? Hva forteller svaret? Lager en tabell for Relativ frekvens. Antall feil Frekvens 0 3 1 5 2 2 3 4 4 2 5 1 Sum = 17 Relativ frekvens 3 17 5 17 2 17 4 17 2 17 1 17 Ser at relativ frekvens for en feil er 5 17. Det betyr at 5 av 17 biler har en feil. e) Hva er den kumulative frekvensen for fire feil, og hva betyr dette? Fra tabellen i oppgave c) ser vi at den kumulative frekvensen for fire feil er 16. Antall feil Frekvens Kumulativ frekvens 0 3 3 1 5 8 2 2 10 3 4 14 4 2 16 5 1 17 Det betyr at 16 av bilene har til og med (høyst) 4 feil.
Oppgave 3 (4 poeng) To butikker A og B er konkurrenter og følger nøye med på prisen til hverandre. En dag er prisen for en vare 22 kroner. A setter opp prisen med 10% om morgenen for deretter å sette prisen ned igjen med 10% senere på dagen. B gjør dette omvendt. De setter ned prisen med 10% om morgenen og øker prisen med 10% senere på dagen. a) Sett opp et uttrykk som viser vareprisen på slutten av dagen for de to butikkene. Vekstfaktoren for en økning på 10% er 1,10. Vekstfaktoren for en reduksjon på 10% er 0,90. Butikk A : 22 kroner 1,10 0,90 Butikk B : 22 kroner 0,90 1,10 b) Hvor er varen billigst på slutten av dagen? Grunngi svaret. Vi ser at faktorene (tallene) er de samme og prisen vil da være den samme i de to butikken på slutten av dagen. Oppgave 4 (4 poeng) I en bedrift har 5% av de ansatte (A) blitt oppsagt hvert år de 4 siste årene. I dag er 120 personer ansatt i bedriften. Hvilket av disse uttrykkene kan vi bruke for å regne ut hvor mange som var ansatt i bedriften for 4 år siden? Grunngi svaret. 1) A = 120 0,95 4 2) A = 120 1,05 4 3) A = 120 0,05 4 4) A = 120 0,95 4 5) A = 120 1,05 4 6) A = 120 0,05 4 Vekstfaktoren til en reduksjon på 5% er 0,95. 4 år tilbake i tid er 4. 1) A = 120 0,95 4 er det korrekte uttrykket.
Oppgave 5 (4 poeng) Geir skriver ned hvor mange varer hver kunde kjøper i butikken. Antall varer Antall personer [00, 10 1 [10, 20 4 [20, 30 3 [30, 40 2 Bestem hvor mange varer som gjennomsnittlig ble kjøpt av kundene i butikken. Lager en tabell med Midtpunkt, Frekvens og Sum. Antall varer Midtpunkt Frekvens Sum x m f f x m [00, 10 5 1 5 [10, 20 15 4 60 [20, 30 25 3 75 [30, 40 35 2 70 N = 10 S = 210 Gjennomnittet = S N = 210 10 = 21 Oppgave 6 (6 poeng) Vi skal nå se på noen figurtall. Her er de tre minste figurtallene. K 1 = 5 K 2 = 9 K 3 = 13 a) Finn figurtallene K 4 og K 5. Vi ser at hver av figurens fire «armer» øker med en for hver ny figur. K 4 vil da ha fire røde firkanter i hver «arm» og en rød firkant i midten. 4 + 4 + 4 + 4 + 1 = 17 K 5 vil da ha fem røde firkanter i hver «arm» og en rød firkant i midten. 5 + 5 + 5 + 5 + 1 = 21 b) Forklar at K n = 4n + 1. Figuren har fire «armer» derav tallet 4. En rød firkant i midten er felles for alle figurene derav tallet +1. n er figurens nummer i rekken av figurer. c) Tallet 89 er et figurtall. Hvilket nummer har figurtallet? Vi har: K n = 4n + 1. Setter inn K n = 89 og får da 89 = 4n + 1 n = 89 1 4 = 22
DEL 2 (MED HJELPEMIDLER) 3 timer Oppgave 7 (4 poeng) Tabellen viser hvor mange omsetningsdager det gikk i gjennomsnitt fra en bolig i et borettslag i Oslo og Akershus og Hele landet ble annonsert til det ble skrevet kjøpekontrakt. Måned Des. 2015 Jan. Feb. Mars Apr. Mai Juni Juli Aug. Sep. Okt. Oslo og Akershus 24 16 15 14 19 14 16 23 22 13 15 18 Hele landet 47 37 35 32 36 36 39 43 48 40 36 38 Kilde: garanti.no Nov. a) Lag et regneark og finn gjennomsnitt og standardavvik for antall omsetningsdager i Oslo og Akershus og for antall omsetningsdager i Hele landet. Vis formler. b) Hva forteller svarene i oppgave a) om antall omsetningsdager i Oslo og Akershus sammenliknet med antall omsetningsdager for Hele landet? Gjennomsnittet forteller oss at det i gjennomsnitt tar 21,5 dager (38,92 17,42) kortere tid å selge en bolig i Oslo og Akershus enn for hele landet. Standardavviket forteller oss at det var større spredning i antall omsetningsdager for Hele landet enn for Oslo og Akershus.
Oppgave 8 (12 poeng) Geir skal pusse opp, og vurderer to tilbud, X og Y, på et hjørneskap. Tilbud X: 5000 kr, men Geir får 15% rabatt. Fraktfri tilkjøring. Tilbud Y: 4500 kr, men Geir får 10% rabatt. Tillegg for frakt er 200 kr. Geir ønsker å få hjørneskapet tilkjørt. a) Hvilket tilbud bør Geir velge? Vekstfaktoren til 15% rabatt er 0,85 og vekstfaktoren til 10% rabatt er 0,90. Tilbud X: 5000 kr 0,85 = 4250 kr Tilbud Y: (4500 kr 0,90) + 200 kr = 4250 kr Tilbudene er like, Geir kan velge fritt. b) En stol kostet opprinnelig 4300 kroner, men koster nå 3440 kroner. Hvor mange prosent avslag er det på stolen? Setter opp et forhold: 4300 kr 100% = 3440 kr x% x = 3440 kr 100% 4300 kr = 80% 3440 kroner tilsvarer 80%. Det betyr at avslag er på 20 %. c) En lagerhylle er satt ned med 30% og koster nå 400 kroner. Hvor mye sparer Geir ved å kjøpe lagerhyllen på salg. Setter opp et forhold: 400 kr 70% = x kr 100% x = 400 kr 100% 70% = 571,43kr 400 kroner tilsvarer 70%. Geir sparer: 571,43 kr 400 kr = 171, 43 kr d) Flisene til vaskerommet koster 10 000 kr. Geir ønsker å betale flisene med kredittkort. Renten er 1,3% per måned. Hvor mye skylder Geir om et år? En rente på 1,3% per måned gir en årlig vekstfaktor på: 1,013 12 1,1677 10 000 kr 1,1677 = 11 677 kr. Geir skylder 11 677 kr om et år. e) Hvor stor blir den årlige renten i prosent på et lån med 1,3% rente per måned? Vekstfaktoren = 1,013 12 1,1677 som er 16,77 % rente i året. f) Geir ser et oppslag der det står: Bli med i trekningen av et gavekort til 1234,56 kr. Skriv tallene i stigende rekkefølge: 2 10 5 0,2 10 6 0,0002 Løs oppgaven. 2 0,2 100 100 0,00042 Gjør om til desimaltall: 0,00002 0,0000002 0,0002 0,02 0,002 0,00000016 Stigende rekkefølge: 0,0004 2 0,2 10 6 2 10 5 0,0002 0,2 100 2 100
Oppgave 9 (10 poeng) Tabellene nedenfor viser hvor mange nye lærlinger det ble registrert i 2015 og i 2005 for Sørlandet og Midt-Norge. Sørlandet Midt-Norge År Vest-Agder Aust-Agder År Nord-Trøndelag Sør-Trøndelag 2015 913 546 2015 841 1357 2005 807 446 2005 651 1028 Kilde: ssb.no Kilde: ssb.no a) Hvor mange nye lærlinger ble registrert i de fire fylkene til sammen i 2015? Legger sammen verdiene for 2015: 913 + 546 + 841 + 1357 = 3657 lærlinger b) Hvor stor var økningen i prosent fra 2005 til 2015 for de fire fylkene til sammen? Legger først sammen verdiene for 2005: 807 + 446 + 651 + 1028 = 2932 lærlinger Setter opp et forhold: 2932 lærlinger 100% = 3657 lærlinger x% x = 3657 lærlinger 100% 2932 lærlinger 124,73% Økningen var på: 124,73% 100% = 24, 73% c) Lag to diagrammer som illustrerer opplysningene i de to tabellene, en for Sørlandet og en for Midt-Norge. Velger å bruke Excel: Har endret verdiene på de vertikale aksene ( ) Navn på diagrammet: Klikk på diagrammet (Diagramverktøy) Utforming
d) Av tabellene ser vi at det i 2015 ble registrert flere nye lærlinger i Midt-Norge sammenlignet med Sørlandet. Du skal lage to diagrammer et for Midt-Norge og et for Sørlandet der det ser ut som det er flere nye lærlinger på Sørlandet enn i Midt-Norge. Velger å bruke Excel: Har endret verdiene på de vertikale aksene til de to diagrammene: Navn på diagrammet: Klikk på diagrammet (Diagramverktøy) Utforming e) Lag et sektordiagram som presentere datamaterialet for 2005 for alle de fire fylkene. Velger å bruke Excel: To andre alternativer...
Oppgave 10 (14 poeng) Tabellene gjelder for videregående skoler i Akershus fylke skoleåret 2014 2015. KILDE: akershus.no Asker og Bærum Elever Lærere Andre ansatte Utdanningsprogrammer Asker 687 71 19 2 Bleiker 456 93 30 8 Dønski 428 66 16 2 Eikeli 423 44 6 3 Holmen 74 35 4 4 Nadderud 514 50 10 2 Nesbru 757 108 20 5 Rosenvilde 770 89 17 6 Rud 705 179 33 7 Sandvika 820 100 23 3 Stabekk 425 56 5 2 Valler 487 47 5 1 Follo Elever Lærere Andre ansatte Utdanningsprogrammer Drømtorp 556 81 33 4 Frogn 638 83 14 4 Nesodden 620 82 24 5 Roald Amundsen 560 64 11 4 Ski 622 99 12 3 Vestby 601 112 29 6 Ås 1081 157 36 8 Romerike Elever Lærere Andre ansatte Utdanningsprogrammer Bjertnes 592 73 16 6 Bjørkelangen 542 73 19 8 Eidsvoll 688 97 35 8 Hvam 358 67 46 4 Jessheim 1185 192 33 10 Kjelle 147 31 47 2 Lillestrøm 880 107 20 3 Lørenskog 810 107 20 6 Mailand 818 100 34 5 Nannestad 746 94 16 7 Nes 503 74 18 7 Rælingen 632 78 18 3 Skedsmo 1044 183 44 6 Strømmen 550 110 21 5 Sørumsand 530 96 26 7 a) Akershus fylke er inndelt i tre regioner: Asker og Bærum, Follo og Romerike. Hvor mange Elever var det i de tre regionene til sammen? Legger sammen antall Elever fra de tre regionene: Asker og Bærum: Follo: Romerike: 6546 elever 4678 elever 10025 elever Til sammen: 6546 + 4678 + 10 025 = 21 249
b) 1) Finn gjennomsnittet for antall Elever på en videregående skole i Akershus fylke. b) 2) Hvor mange skoler har under gjennomsnittet antall elever. 1) Det er 21 249 elever og 34 videregående skoler: 21 249 34 625 elever 2) Vi teller opp fra tabellen og finner at det er 19 skoler med færre enn 625 elever. c) Sett opp en tabell og finn ut i hvilken region det var flest elever i gjennomsnitt per skole. Finner antall elever og antall skoler for de tre regionene og lager en tabell: Antall elever Antall skoler Elever per skole Asker og Bærum 6546 12 545,50 Follo 4678 7 668,28 Romerike 10 025 15 668,33 Romerike har flest elever per skole. d) Hvor stor prosentdel elever er det i hver av regionene? Presenter dataene i et sektordiagram. Velger å bruke Excel: Asker og Bærum: 31% Follo: 22% Romerike: 47% e) Lag en frekvenstabell for antall Andre ansatte i de videregående skolene med disse intervallene: [00, 10 [10, 20 [20, 30 [30, 40 [40, 50] Andre ansatte Frekvens [00, 10 4 [10, 20 12 [20, 30 8 [30, 40 7 [40, 50] 3
f) Med utgangspunkt i oppgave e), lag et histogram. Velger å bruke GeoGebra. Lager først en tabell: Andre ansatte Frekvens Intervallbredde Søylehøyde a, b f b a f b a [00, 10 4 10 0,4 [10, 20 12 10 1,2 [20, 30 8 10 0,8 [30, 40 7 10 0,7 [40, 50] 3 10 0,3 Bruker Regneark i GeoGebra: Merker området (A1 til A6), høyreklikker og velger Lag Liste Merker området (B1 til B5), høyreklikker og velger Lag Liste Nede i Inntastningsfelt skriver vi inn: Histogram[Liste1, Liste2] Det ferdige histogrammet:
g) Finn antall elever per lærer i hver av de tre regionene? Presenter dataene i et søylediagram. Velger å bruke Excel: