4.1 Vektorrom og underrom Vektorrom er en abstraksjon av R n. De kan brukes til å utlede egenskaper, resultater og metoder for tilsynelatende svært ulike klasser av objekter : n-tupler, følger, funksjoner, polynomer, matriser,... Vektorrom inneholder mange interessante underrom, som selv er vektorrom. 1 / 14
Vektorrom Definisjon. Et (reelt) vektorrom er en mengde V, der elementene kalles vektorer, som er utstyrt med to operasjoner: addisjon og multiplikasjon med skalar. Med en skalar menes her et reelt tall. Det kreves at følgende ti egenskaper (ofte kalt aksiomer) holder for alle u, v, w V og c, d R: 1. u + v V (dvs. V er lukket under addisjon). 2. u + v = v + u. 3. (u + v) + w = u + (v + w). 4. Det fins en nullvektor 0 slik at u + 0 = u. 5. For hver u V fins en vektor u V slik at u + ( u) = 0. fortsetter neste side! 2 / 14
Vektorrom (fortsettelse av definisjon) 6. Skalart multippel av u med c betegnes med c u og ligger i V (dvs. V er lukket under multiplikasjon med skalar). 7. c (u + v) = c u + c v. 8. (c + d) u = c u + d u. 9. c (d u) = (cd) u. 10. 1 u = u. Merk: Det er opplagt at R n med sine vanlige operasjoner er et (reelt) vektorrom. Notasjon. Egenskap 3 gir at vi ikke trenger å bruke paranteser når det gjelder summer med flere vektorer. Vi skriver f.eks. ( ((v1 ) ) v 1 + v 2 + v 3 + v 4 i stedet for + v 2 ) + v 3 + v4. 3 / 14
Noen eksempler på vektorrom. Mengden F som består av alle reelle følger av typen utstyrt med operasjonene er et vektorrom. x = {x j } j=1 = (x 1, x 2, x 3,...), x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2, x 3 + y 3,...), c x = (c x 1, c x 2, c x 3,...) Har da 0 = (0, 0, 0,...) og x = ( x 1, x 2, x 3,...) (Vi sjekker f.eks. egenskapene 2 og 9 på tavla). Tilsvarende kan man betrakte signalrommet S som består av alle reelle følger av typen s = {s j } j= = (..., s 2, s 1, s 0, s 1, s 2,...) 4 / 14
Eksempler på vektorrom (fortsettelse). La D være en mengde og la V = F(D, R) bestå av alle reelle funksjoner definert på D, dvs av typen f : D R. Med operasjonene f + g og c f definert ved (f +g)(t) = f (t)+g(t), (c f )(t) = c (f (t)), for alle t D, blir V et vektorrom. Nullvektoren O er da gitt ved O(t) = 0 for alle t D. For f V er f gitt ved ( f )(t) = f (t), t D. (Egenskapene 4 og 7 sjekkes på tavla) 5 / 14
Eksempler på vektorrom (fortsettelse). ( ) Som et spesielt tilfelle kan vi betrakte V = F [0, 2π], R. La f (t) = t 2 + 1, g(t) = cos t, t [0, 2π]. Da er f, g V. Funksjonen f + 3 g, som er gitt ved (f + 3 g)(t) = t 2 + 1 + 3 cos t, t [0, 2π], er en vektor i vektorrommet V. Mengden M m n som består av alle m n (reelle) matriser er et vektorrom når den betraktes med sine vanlige operasjoner A + B og c A. Noen skriver R m n eller M m n (R) i stedet for M m n. Vi skriver ofte M n (eller M n (R)) i stedet for M n n. 6 / 14
Merk: Man kan også definere komplekse vektorrom, dvs. vektorrom der skalarene er komplekse tall i stedet for reelle tall. Kommer tilbake til dette i avsn. 5.5. La nå V være et vektorrom. Fra egenskapene 1 10 kan man utlede andre egenskaper. F.eks. gjelder: Nullvektoren 0 i V er entydig bestemt. Hvis u V, er u entydig bestemt. Videre gjelder: 0 u = 0 c 0 = 0 c u = 0 c = 0 eller u = 0 u = ( 1) u (Viser en av disse på tavla). 7 / 14
Underrom La V være et vektorrom. Visse delmengder av V er av spesiell interesse: Definisjon. En delmengde H av V kalles et underrom dersom: a) Nullvektoren 0 i V ligger i H, b) H er lukket under addisjon (dvs. u, v H u + v H), c) H er lukket under multiplikasjon med skalar (dvs. u H, c R c u H). Merk: H blir da selv et vektorrom når det utstyres med operasjonene som den arver fra V : Egenskapene 1 og 6 holder for H p.g.a. b) og c). Egenskap 4 holder for H på grunn av a). Alle de andre egenskapene holder da for vektorer i H siden de holder for alle vektorer i V. 8 / 14
Noen eksempler på underrom. (Sjekker på tavla at a), b) og c) holder for noen av disse eksemplene). {0} og V er alltid underrom av V. Et plan eller en linje i R 3 som går gjennom origo er et underrom av R 3. (Illustreres geometriskt). H = { (x 1, x 2,...) F x 1 = 0 } er et underrom av følgerommet F. La P være mengden av alle reelle polynomer i en reell variabel t. Da er P et underrom av F(R, R). La D n bestå av alle n n diagonale matriser. Da er D n et underrom av M n. 9 / 14
Noen eksempler på mengder som ikke er underrom. I hvert tilfelle er det nemlig slik at minst ett av kravene a), b) og c) ikke holder. 1) Et plan eller en linje i R 3 som ikke går gjennom origo er ikke et underrom av R 3. 2) K = {x R 2 x 1 0 } er ikke et underrom av R 2. 3) La L = {f F([0, 1], R) f (0) f (1) = 0 }. Da er L ikke et underrom av F([0, 1], R). 4) La Q n bestå av alle n n matriser som har determinant lik 0. Da er Q n ikke et underrom av M n. 10 / 14
Underrom utspent av en mengde En enkel måte å konstruere et underrom er å starte med noen vektorer i et vektorrom V og føye til alle de andre vektorene som må til for å få et underrom. Definisjon. La v 1, v 2,..., v p være vektorer i V og λ 1, λ 2,..., λ p R. Vektoren v = p λ j v j = λ 1 v 1 + + λ p v p j=1 kalles en lineær kombinasjon av v 1, v 2,..., v p. Vi lar Span{v 1, v 2,..., v p } betegne mengden som består av alle lineære kombinasjoner av v 1, v 2,..., v p. Dette betyr at { } Span{v 1, v 2,..., v p } = λ 1 v 1 + + λ p v p λ 1, λ 2,..., λ p R. 11 / 14
Teorem 1. La v 1, v 2,..., v p V. Da er Span{v 1, v 2,..., v p } et underrom av V. W = Span{v 1, v 2,..., v p } kalles derfor underrommet utspent (eller generert) av v 1, v 2,..., v p. Disse vektorene utgjør da en spennmengde (eller generatormengde ) for W. (Beviset for Teorem 1 skisseres). 12 / 14
Eksempel 1. La n være et naturlig tall eller 0. Definer { } P n = p P polynomet p er av grad høyst n. Da er P n et underrom av P. Vi kan nemlig la p 0, p 1,..., p n P være definert ved p 0 (t) = 1, p 1 (t) = t,..., p n (t) = t n, t R. Da er (sjekkes på tavla). P n = Span{p 0, p 1,..., p n } Så påstanden følger av Teorem 1. (Den kan også sjekkes direkte). 13 / 14
Eksempel 2. La H = { x R 4 x 1 2x 2 + x 3 x 4 = 0 }. Siden H er løsningsmengden til et homogent lineært system (med en likning), så kan H angies på parameterform. Utregning gir at 2 1 1 { H = Span 1 0, 0 1, 0 } 0. 0 0 1 Teorem 1 sier da at H er et underrom av R 4. Dette kunne vi lett ha sjekket direkte; men nå har vi i tillegg funnet en spennmengde for H. 14 / 14