4.1 Vektorrom og underrom

4.1 Vektorrom og underrom Vektorrom er en abstraksjon av R n. Kan brukes til å utlede egenskaper, resultater og metoder for tilsynelatende svært ulike klasser av objekter : n-tupler, følger, funksjoner, polynomer, matriser,... Vektorrom inneholder mange interessante underrom, som selv er vektorrom. 1 / 15

Vektorrom Definisjon. Et (reelt) vektorrom er en mengde V, der elementene kalles vektorer, som er utstyrt med to operasjoner: addisjon og multiplikasjon med skalar. Med en skalar menes her et reelt tall. Det kreves at følgende ti egenskaper (ofte kalt aksiomer) holder for alle u, v, w V og c, d R: 1. u + v V (dvs. V er lukket under addisjon). 2. u + v = v + u. 3. (u + v)+w = u +(v + w). 4. Det fins en nullvektor 0 slik at u + 0 = u. 5. For hver u V fins en vektor u V slik at u +( u) =0. fortsetter neste side! 2 / 15

Vektorrom (fortsettelse av definisjon) 6. Skalart multippel av u med c betegnes med c u og ligger i V (dvs. V er lukket under multiplikasjon med skalar). 7. c (u + v) =c u + c v. 8. (c + d) u = c u + d u. 9. c (d u) =(cd) u. 10. 1 u = u. Merk: Det er opplagt at R n med sine vanlige operasjoner er et (reelt) vektorrom. Notasjon. Egenskap 3 gir at vi ikke trenger å bruke paranteser når det gjelder summer med flere vektorer. Vi skriver f.eks. ( ((v1 ) ) v 1 + v 2 + v 3 + v 4 i stedet for + v 2 )+v 3 + v4. 3 / 15

Eksempler på vektorrom. Mengden F som består av alle reelle følger av typen x = {x j } j=1 =(x 1, x 2, x 3,...), med operasjoner definert ved x + y =(x 1 + y 1, x 2 + y 2, x 3 + y 3,...), c x =(cx 1, cx 2, cx 3,...) Har da 0 = (0, 0, 0,...) og x =( x 1, x 2, x 3,...) (Vi sjekker f.eks. egenskapene 2. og 9. på tavla). Tilsvarende (se s. 234) kan man betrakte signalrommet S som består av alle reelle følger av typen s = {s j } j= =(..., s 2, s 1, s 0, s 1, s 2,...) 4 / 15

Eksempler på vektorrom (fortsettelse). Mengden V = F(D, R) som består av alle funksjoner av typen f : D R der D er en gitt mengde, med operasjonene f + g og c f definert ved for alle t D. (f + g)(t) =f(t)+g(t), (c f)(t) =c (f(t)) Nullvektoren 0 er da gitt ved 0(t) = 0 for alle t D, mens ( f)(t) = f(t), t D. (Egenskapene 4. og 7. sjekkes på tavla) 5 / 15

Eksempler på vektorrom (fortsettelse). La f(t) =t 2 + 1, g(t) = cos t, t [0, 2π]. Da er f, g F([0, 2π], R) og gir en vektor i F([0, 2π], R). (f +3g)(t) =t 2 + 1 + 3 cos t Mengden M m n som består av alle m n (reelle) matriser med sine vanlige operasjoner A + B og ca. Noen skriver R m n eller M m n (R) i stedet for M m n. Vi skriver ofte M n i stedet for M n n. 6 / 15

Merk: Man kan også definere komplekse vektorrom, dvs. vektorrom der skalarene er komplekse tall i stedet for reelle tall. Vi komme tilbake til dette i Avsn. 5.5. La nå V være et vektorrom. Fra egenskapene 1. 10. kan man utlede andre egenskaper. F.eks. Nullvektoren 0 i V er entydig bestemt. Hvis u V, er u entydig bestemt. Videre gjelder: 0 u = 0 c 0 = 0 c u = 0 c = 0 eller u = 0 u =( 1) u (Viser en av disse på tavla). 7 / 15

Underrom La V være et vektorrom. Visse delmengder av V er av spesiell interesse, nemlig de delmengdene som selv fungerer som et vektorrom. Definisjon. En delmengde H av V kalles et underrom dersom: a) Nullvektoren 0 i V ligger i H, b) H er lukket under addisjon (dvs. u, v H u + v H), c) H er lukket under multiplikasjon med skalar (dvs. u H, c R c u H). Merk at da er H selv et vektorrom med hensyn på operasjonene den arver fra V : Egenskapene 1. og 6. holder for H ved b) og c). Egenskap 4. holder for H pågrunn av a). Alle de andre egenskapene holder da også for H siden de holder for V.(Tenk gjennom dette!). 8 / 15

Noen eksempler på underrom. (Sjekker på tavla at a), b) og c) holder for noen av disse eksemplene). {0} og V er alltid underrom av V. Et plan eller en linje i R 3 som går gjennom origo er et underrom av R 3.(Illustreres geometriskt). H = { (x 1, x 2,...) F x 1 =0} er et underrom av følgerommet F. La P være mengden av alle reelle polynomer i en reell variabel t. Da er P et underrom av F(R, R). La D n bestå av alle n n diagonale matriser. Da er D n et underrom av M n. 9 / 15

Noen eksempler på mengder som ikke er underrom. 1) Et plan eller en linje i R 3 som ikke går gjennom origo er ikke et underrom av R 3. 2) K = {x R 2 x 1 0 } er ikke et underrom av R 2. 3) La K = {f F(R, R) f(0)f(1) = 0 }. Da er K ikke et underrom av F(R, R). 4) La K bestå av alle n n matriser som har determinant lik 0. Da er K ikke et underrom av M n. I hvert tilfelle kan vi angi de kravene blandt a), b) og c) som ikke holder. 10 / 15

Underrom utspent av en mengde Den enkleste (kanskje) måten å konstruere et underrom er å starte med visse vektorer i et vektorrom V og føye til alle de andre vektorene som må til for å få et underrom. Definisjon. La v 1, v 2,..., v p være vektorer i V og λ 1,λ 2,..., λ p R. Vektoren v = p λ j v j = λ 1 v 1 + + λ p v p j=1 kalles en lineær kombinasjon av v 1, v 2,..., v p. Vi lar Span {v 1, v 2,..., v p } betegne mengden som som består av alle lineære kombinasjoner av v 1, v 2,..., v p. Dette betyr at { } Span {v 1, v 2,..., v p } = λ 1 v 1 + +λ p v p λ 1,λ 2,..., λ p R. 11 / 15

Teorem 1. La v 1, v 2,..., v p V. Da er Span {v 1, v 2,..., v p } et underrom av V. W = Span {v 1, v 2,..., v p } kalles derfor underrommet utspent (eller generert) av v 1, v 2,..., v p. Disse vektorene kalles en generatormengde (eller spennmengde) for W. (Beviset for Teorem 1 skisseres). 12 / 15

Eksempel 1. La n være et naturlig tall eller 0. Definer { } P n = p P polynomet p er av grad høyst n. Da er P n et underrom av P. Vi kan nemlig la p 0, p 1,..., p n P være definert ved p 0 (t) =1, p 1 (t) =t,..., p n (t) =t n, t R. Da er (sjekkes på tavla). P n = Span {p 0, p 1,..., p n } Så påstanden følger av Teorem 1. (Den kan også sjekkes direkte). 13 / 15

Eksempel 2. La H = { x R 4 x 1 2x 2 + x 3 x 4 =0 }. H er løsningsmengden til et homogent lineært system, så H kan angies på parameterform. Utregning (på tavla) gir at H = Span 2 1 1 { 1 0, 0 1, 0 0 0 0 1 Teorem 1 sier da at H er et underrom av R 4. Dette kunne vi ha sjekket direkte; nå har vi i tillegg funnet en generatormengde for H. }. 14 / 15

Oppsummering rundt følgende spørsmål: Hvordan vise at en gitt mengde (med operasjoner) er et vektorrom? Hvordan vise at en gitt delmengde av et vektorrom er et underrom? Hvordan sjekke om en gitt vektor v er en lineær kombinasjon av gitte vektorer v 1, v 2,..., v p? Hva hvis V = R n? Og hva med Matlab da? 15 / 15