R - Algebra - 9.09.14 Løsningsskisser Oppgave 1 Gitt 5 tallfølger: 1 1) 1,, 1, 1,... ) 7, 49, 343, 401,... 3 4 3 3) 1, 3, 7, 11,... 4) 1,, 5, 7,... 4 9 16 5) 1, 3, 6, 10, 15, 1,... Skriv opp det eksplisitte uttrykket for n te ledd, a n, for følgene over. Finn summen av 100 ledd, S 100, for følgen i ). Finn en rekursiv formel for tallfølgene i 5). 1) a n 1 n ) Geometrisk: a n a 1 k n 1 7 7 n 1 7 n 3) Aritmetisk: a n a 1 d n 1 1 4 n 1 4n 5 4) a n n 1 n (Ulike tall i teller, kvadrattall i nevner.) 5) a n n n 1 (Vi gjenkjenner trekanttallene.) Geometrisk: a 1 7, k 7 k S n a n 1 1 7 7n 1 7 k 1 7 1 6 7n 1 S 100 7 6 7100 1 3. 77 10 84 (Kontroll med GGB: Sum( 7 ^n,n,1,100) gir 37735... eller 3.77 10 84 ) Differanser:, 3, 4, 5, 6,... altså d n n 1 a 1 1, a n 1 a n n 1 Oppgave Vi har en aritmetisk tallfølge der a 4 11 og a 9 36. Finn det eksplisitte uttrykket for n te ledd i tallfølgen (a n ). Finn summen, S 100, av 100 ledd i tallfølgen a n. Finn en generell formel for summen av n ledd, S n i tallfølgen a n. H-P Ulven 1 av 5 r_90914_ls.te
d) Skriv opp hva du ville skrevet i GeoGebra CAS for å finne svarene på og, forutsatt at formelen for n te ledd allerede var definert og lagt inn i funksjonen a n. a 9 a 1 d8 og a 4 a 1 d3 a 9 a 4 5d d a 9 a 4 36 11 5 5 5 a 1 a 4 3d 11 3 5 4 ): a n a 1 d n 1 4 5 n 1 5n 9 (Kontroll med GGB: Følge[ 5 n-9, n,1,10] gir {-4, 1, 6, 11, 16,1,6, 36, 41} ) S 100 a 1 a n n 4 5n 9 n 4 5 100 9 100 4 350 S n a 1 a n n 4 5n 9 n 5n 13 n 5 n 13 d) Lagt inn: a(n): 5 n-9 Skriver inn: S_100: Sum( a(i), i, 1, 100) gir S 100 : 4350 ( ) S(n): Sum( a(i), i, 1, n) gir S(n): 5 n 13 ( ) Oppgave 3 Tallfølgen 1,, 3, 4,... er definert av den eksplisitte formelen a 4 8 16 n n. n n n Det kan vises at summen av n ledd kan skrives slik: S n i 1 n n Bevis at denne formelen er riktig med induksjonsbevis. Hva blir summen av den uendelige rekken 1 4 3 8 4 16...? n 1 : Følge: S 1 a 1 1 Formel: S 1 1 1 3 1 OK! Induksjonstrinnet t t 1: Forutsetter: S t t t Må vise: S t 1 t 1 T 1 t 3 t 1 S t 1 S t a t 1 t t 1 t t 1 t t 1 t 4 t 1 t 3 OK! t 1 t 1 1 4 3 8 4 16... lim n n n ( n i nevner vokser mye fortere enn n i teller!) t 1 n. Oppgave 4 H-P Ulven av 5 r_90914_ls.te
Figuren under viser sekskanttallene s n : Skriv opp hva du tror s 5 og s 6 blir. Finn de 5 første differansene d n s n 1 s n og bruk det du ser til å finne den rekursive formelen for sekskanttallene s n. Bruk figuren til å begrunne hvorfor s n T n 1 1 3... n 3 T n 1 n 1, der T n er trekanttallene. d) Bruk til å finne et eksplisitt uttrykk for sekskanttallet s n. e) Vi har formelen s n s 1 n 1 i 1 d i. Finn et uttrykk for differansene d n i og skriv opp hva du ville skrevet for å finne et generelt uttrykk for s n i GeoGebra CAS. Ser på differanser: d n : 5, 9, 13,... som igjen har differansen 4, så vi antar at fortsettelsen blir: d n : 5, 9, 13, 17, 1, 5,... og får da sekskanttallene: s 5 s 4 d 4 8 17 45 og: s 6 s 5 d 5 45 1 66 Differansene i gitt ved: d n d 1 d n 1 5 4 n 1 4n 1 Rekursiv formel blir da: s n 1 s n d n s n 4n 1 ): s 1 1, s n 1 s n 4n 1 Figuren viser at vi har delt opp i to sektorer med trekanttall, hvor første leddet, 1, er tatt med en gang for mye og må trekkes fra, og en sektor med summen av de n 1 te ulike tallene som vi bør vite er kvadrattallet n 1. H-P Ulven 3 av 5 r_90914_ls.te
d) s n T n 1 n 1 n n 1 1 n n 1 n n n n 1 e) Se : d n 4n 1 Vi skriver: d(n): 4 n 1 S(n): 1 Sum( d(i), i, 1, n-1) gir n -n (Skulle vi regne det ut manuelt, ville vi gjøre slik: s n 1 d 1 d n 1 n 1 (Formel summen av aritmetisk følge.) 1 5 4 n 1 1 n 1 1 4n n 1 1 n 1 n 1 1 n n 1 n n n n 1 Som er det samme svaret vi fikk i d)! ) Oppgave 5 Du skal tilbakebetale et lån på 1.500.000,- til banken, med faste beløp i slutten av hvert år i n 5 år. Banken bruker årlig rente r 3. 5%. Hva blir det årlige beløpet? Tabellarisk: Nåverdi: n: 1 3... 5 1.035 1.035 1.035 3...... 1.035 5 Nåverdien av alle innbetalingene er summen av geometrisk rekke: a 1, k 1, n 5 1.035 1.035 1 1.035 Så vi har nåverdien: 5 1 1.035 1 16. 48 1.035 1 Nåverdien av alle innbetalingene skal være lik lånet, så vi får det årlige beløpet : 1500000 16. 48 1500000 91008 [kr] 16.48 Oppgave 6 I den lille byen Renvik har familiene Rikerud og Grisk nettopp startet en kjemisk fabrikk, Splu AS, som produserer innsektmidlet KillAll. All produksjon eksporteres til fattige utviklingsland, da innsektmidlet har visse bivirkninger også for mennesker. Splu AS vil hver dag slippe ut u 4 kg gift i den tilliggende idylliske innsjøen Renviksvannet, da de ikke er interessert i unødige utgifter på sikker destruering av produksjonsavfall. Volumet av Renviksvannet er V 000000 m 3 og gjennomstrømmingen er hvert døgn s 4000 m 3 /døgn. Vi skal lage en modell for giftmengden g n i sjøen i starten av døgnet, hvert døgn etter at utslippene startet: Hvis vi regner som om giften blir sluppet ut i starten av hvert døgn og at det H-P Ulven 4 av 5 r_90914_ls.te
resten av døgnet renner ut gn s kg gift (konsentrasjon gjennomstrømming), V får vi den rekursive formelen g n 1 g n u s g V n, eller omformet: g 1 u, g n 1 1 s g V n u Finn mengden gift i Renviksvannet de første fem dagene etter utslippet. Sett opp en tabell, omtrent som sparing med faste beløp, og vis at g n har det eksplisitte uttrykket g n 000 1 0. 998 n. Hva vil giftmengden i Renviksvannet stabilisere seg på i det lange løp? Rekursjonsformelen blir med oppgitte tall: g 1 4, g n 1 1 4000 g 000000 n 4 g 1 4, g n 1 0. 998g n 4 Innsetting gir: g 1 4 g 0. 998 4 4 7. 99 [kg] g 3 0. 998 7. 99 4 11. 976 [kg] g 4 0. 998 11. 976 4 15. 95 [kg] g 5 0. 998 15. 95 4 19. 9 [kg] n: 1 3... n 4 4 0. 998 4 0. 998... 4 0. 998 n 1 4 4 0. 998... 4 0. 998 n......... 4 0. 998 4 Summen av siste kolonne (n) er geometrisk med g 1 4, k 0. 998: g n 4 0.998n 1 4 0. 0.998 1 0.00 998n 1 000 1 0. 998 n QED I det lange løp: lim n g n lim n 000 1 0. 998 n 000 [kg] (Eksempelvis vil 10 år gi: 000 1 0. 998 10 365 1998. 7 ) H-P Ulven 5 av 5 r_90914_ls.te