TMA4240 Statistikk H2010 2.3: Kombinatorikk 2.4: Sannsynlighet, og Monte Carlo simulering. Mette Langaas Foreleses onsdag 25. august 2010 2 Sist - Kap 0 Hva er statistikk, og hvorfor skal du lære det? Faginfo Forelesinger, øvinger, tavleøving, eksamen, pensum, hjelpemiddel, spørreundersøkelse, WWW-side, Tma4240h2010 FB, quiz. Kap 1 Deskriptiv statistikk: representativt utvalg, diskret/kontinuerlige målinger, senter og variasjon av målinger. Kap 2.1-2.2 Utfallsrom, hendelser, komplement, union, snitt, sammensatte hendelser.
3 Hva er de fargelagte områdene? 1... 2... 3... 4... 5... 6... 7... 8... 9... 4 Kombinatorikk [2.3] MÅL: telle opp antall utfall i et utfallsrom eller for en hendelse. Hvor mange ulike norske bilskilt er det mulig å lage? Fra en klasse på 100 studenter trenger man en person til referansegruppen til fire fag. Hvor mange mulige måter kan man få til dette på? Hvor mange mulige svar på en flervalgsoppgave (MCQ) med 10 spørsmål og fem svaralternativ? Hvor mange mulige vinnerrekker i lotto finnes det? Ti personer har møtt opp til dugnad på Abakus-kjelleren. Tre trengs til maling, fire til snekring og tre til å steke vafler. Hvor mange måter kan de ti personene fordeles på disse tre arbeidslagene?
5 Produktregel for valgprosess [2.3] TEO 2.1 Produktregel: Hvis en operasjon kan utføres på n 1 måter, og for hver av disse en annen operasjon kan utføres på n 2 måter, så kan de to operasjonene utføres på n 1 n 2 måter. TEO 2.2 Den generaliserte produktregel: En valgprosess har k trinn. I det første trinnet er det n 1 valgmuligheter, i det andre trinnet er det n 2 muligheter,..., i det siste trinnet er et n k muligheter. Da er det tilsammen n 1 n 2... n k valgmuligheter. 6 Ordnede utvalg MED tilbakelegging: Fra en mengde med n elementer kan vi lage n n n = n r ordnede utvalg på r elementer når utvelgingen skjer med tilbakelegging. UTEN tilbakelegging, TEO 2.4: Fra en mengde med n elementer kan vi lage n (n 1) (n 2) (n r + 1) n P r ordnede utvalg på r elementer når utvelgingen skjer uten tilbakelegging.
7 Permutasjoner DEF 2.7 Permutasjon: En permutasjon er en ordning av alle, eller en delmengde av alle elementer. TEO 2.3: n elementer kan ordnes i rekkefølge på n! = n (n 1) 2 1 måter. TEO 2.5: n elementer kan ordnes i rekkefølge i en sirkel på (n 1)! = (n 1) 2 1 måter. 8 Ikke-ordnede utvalg TEO 2.8 Uordnet utvalg uten tilbakelegging: Fra en mengde med n elementer kan vi lage ( n ) r = n (n 1) (n 2) (n r+1) r! = n! r!(n r)! = n C r uordnede utvalg på r elementer når utvelgingen skjer uten tilbakelegging.
9 Binomisk koeffisient og Pascals trekant Binomisk koeffisient: ( ) n r = n! r!(n r)!. ( n r ) finnes i rad n på plass r. 10 Oppsummering kombinatorikk På hvor mange måter kan man trekke r elementer fra n når trekningen skjer med/uten tilbakelegging når ordningen betyr/ikke betyr noe? ordnet ikke-ordnet med tilbakelegg. n r ikke pensum n! uten tilbakelegg. (n r)! = ( n P n ) r r = n! r!(n r)! = n C r
11 Ikke-ordnede utvalg: Alternativ utledning Fra de n ulike elementene a 1, a 2,..., a n skal vi lage to grupper med hhv. r og n r medlemmer. Hvor mange måter, K, kan det gjøres hvis vi ikke tar hensyn til ordningen innen de to gruppene? anta at vi har EN slik gruppering som gir r a-er (n r) a-er Det er r! mulige måter å ordne de r a-ene på venstre side på og (n r)! mulige måter å ordne de (n r) a-ene på høyre side på. Dvs. totalt r!(n r)! måter. Vi gjør dette med alle K grupperinger, og det er det samme som å permutere de n opprinnelige elementene, dvs K r!(n r)! = n! Dermed K = n! r!(n r)! 12 Ikke-ordnede utvalg i r celler Generalisering av ikke-ordnede utvalg i 2 celler (de r vi har valgt og de (n r) vi ikke har valgt). TEO 2.7: Vi kan dele en mengde med n elementer inn i r celler med n 1 elementer i første celle, n 2 elemeter i andre celle, (..., ) og n r elementer i rte celle, på n n 1,n 2,...,n r = n! n 1!n 2! n r! måter, der n = n 1 + n 2 + + n r. TEO 2.6: Antall ordninger av n objekter, der n 1 er av type 1, n 2 n! er av type 2,... og n k er av type k, er n 1!n 2! n k!. (Sier det samme som TEO 2.7). Multinomisk koeffisient: ( n n 1,n 2,...,n r )
13 2.4 Sannsynlighet for hendelse Kast to terninger Første terning 1 2 3 4 5 6 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 Andre 3 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 terning 4 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6 5 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6 6 6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6 Merk av i tabellen over og finn sannsynligheten for følgende hendelser: 1. A: samme antall øyne for begge terninger 2. B: sum antall øyne 10 3. C: minst en sekser 14 Sannsynlighet for hendelse [2.4] DEF 2.8 (modifisert) Et sannsynlighetsmål, P, på et utfallsrom, S, er en reell funksjon definert på hendelser i S, slik at 0 P(A) 1, A S P(S) = 1 P( ) = 0 DEF 2.9 Hvis resultatet av et eksperiment er ett av N like sannsynlige utfall (uniform sannsynlighetsmodell), og hvis nøyaktig n av disse gir hendelsen A, så er sannsynligheten til A P(A) = n N = antall gunstige utfall for A antall mulige utfall
Figur fra Xeni Dimakos, Norsk Regnesentral 16 Alternativt om sannsynlighet Sannsynlighet kan være en subjektiv betraktning. Sannsynligheten for at Odd Grenland vinner serien i 2010. Sannsynligheten for at du får A på eksamen i TMA4240. Relativ frekvens konvergerer mot sannsynlighet Chevalier de Mere s problem: er det mer sannsynlig å få 1. minst en sekser i fire kast med en terning, eller 2. minst en dobbel-sekser i 24 kast med to terninger? de Mere mente (fra empiriske data) at 1) var større enn 2). Hvordan kom han frem til det?
17 Monte Carlo simulering: P(minst en sekser i fire kast med en terning) La antallet simuleringer N være f.eks. 1000, og kall antallet suksesser for n. n = 0 For (i = 1, 2,..., N) Kast en terning fire ganger. Fikk du minst en sekser så la n = n + 1 Anslå sannsynligheten for minst en sekser på fire kast med en terning til n N. Jo større N er desto bedre blir anslaget - husk at relativ frekvens går mot sannsynlighet. Mer om dette i statistisk inferens -delen av kurset (kapittel 8-10). 18 demere: relativ frekvens minst en sekser i fire kast med en terning minst en dobbel-sekser i 24 kast med to terninger
19 demere: relativ frekvens minst en sekser i fire kast med en terning minst en dobbel-sekser i 24 kast med to terninger 20 demere: ulike startpunkt