KANDIDATNUMMER: EKSAMEN FAGNAVN: Matematikk FAGNUMMER: F74A EKSAMENSDATO: 6. desember 24 SENSURFRIST: 6. januar 25 Ingeniørstudenter som tar opp igjen eksa- KLASSE: men 6stp.). TID: kl. 9. 4.. FAGLÆRER: Hans Petter Hornæs ANTALL SIDER UTLEVERT: innkl. forside) TILLATTE HJELPEMIDLER: John Haugan: Formler og tabeller. Rottmanns formelsamling tillatt som overgangsordning) INNFØRING MED PENN, evt. trykkblyant som gir gjennomslag. Ved innlevering skilles hvit og gul besvarelse og legges i hvert sitt omslag. Oppgavetekst, kladd og blå kopi beholder kandidaten. Husk kandidatnummer på alle ark.
Eksamen i Matematikk 6. desember 24 Hvert bokstavpunkt teller likt ved bedømmelsen, oppgaver uten bokstavpunkter teller som et bokstavpunkt. Oppgave a) Finn grensen lim x e x sinx). Deriver funksjonen f gitt ved fx) = arctan/x). Svaret skal forenkles så mye som mulig spesielt ikke inneholde brudden brøk). Oppgave 2 En funksjon f er definert for alle x R ved funksjonsuttrykket fx) =sin2πx π/4). Finn alle x verdier der fx) =. Oppgave Regn ut det ubestemte integralet cos2πt) dt. Regn ut det bestemte integralet x 2 x +dx. Oppgave 4 En funksjon f er definert for 2 x ved funksjonsuttrykket fx) =+x)2 x). Finn skjæringspunktene mellom grafen til f og koordinataksene. Finn også koordinatene til maksimumspunktet på grafen. Skisser grafen til f på hele definisjonsområdet. b) Grafen til f og x aksen avgrenser et område F i xy planet. Regn ut arealet av dette området. c ) Finn volumet av det omdreiningslegemet som framkommer når flatestykket F roterer om den vertikale aksen gitt ved likningen x =.
Eksamen i Matematikk 6. desember 24 2 Oppgave 5 Regn ut følgende produkt av komplekse tall: 4j) 7 + j), der j er den imaginære enheten. Svaret skal skrives på normalform og på polarform. Trigonometrisk- eller eksponentialform godtas også i svaret som polarform). b) Et komplekst tall z er gitt på trigonometrisk form som z = 7 π π 2 cos + j sin 2) 2)) Regn ut z 28. Svaret skal skrives på normalform. Oppgave 6 La funksjonen f være definert for x > ved funksjonsuttrykket fx) =x lnx) x>). Avgjør for hvilke verdier av x funksjonen er voksende. b) Pådetområdet f er voksende har den en omvendt voksende funksjon y = f x) som er definert implisitt ved y lny) =x Lineariser funksjonen y rundt det punktet x = a der y = f a) =, og bruk resultatet til å finne en tilnærmingsverdi for f 2). Oppgave 7 En ballong blåses opp, og vi antar den hele tiden har kulefasong. Ved et tidspunkt t er ballongens radius cm og luften blåses da inn med en hastighet på cm /s. Hvor fort øker ballongens radius ved tidspunktet t? Lykke til.
Løsning, eksamen i Matematikk 6. desember 24 Oppgave a) lim x e x sinx) = ) L Hopital = lim x e x cosx) = e cos) = = Kjerneregelen med kjerne u =/x = x,ogu = x 2 = /x 2 : Oppgave 2 f x) = +u 2 u = +/x) 2 ) x 2 = x 2 + Vi har at sinu) =når u = n π, dern er et vilkårlig heltall. Ved å sette u =2πx π/4 får vi likningene nπ + π/4 2πx π/4 =nπ x = = n 2π 2 + 8. Med mengdenotasjon kan svaret skrives L = { n 2 + 8 n Z} Oppgave Substitusjon med u =2πt gir du/dt =2π du =2πdt: cos2πt) dt = cosu) du = 2π 2π sinu)+c = 2π sin2πt)+c Substitusjon med u = x +girdu/dx =x 2 du = x2 dx. Øvre grense er u =2 + = 9 og nedre grense u = +. x 2 x +dx = 9 u /2 du = [ ] 2 9 u/2 = 2 [ ] 9 u u 9 = 2 9 9 9 ) = 52 9 Oppgave 4 a) Grafen skjærer x aksen der fx) =,dvs.for+x)2 x) = x = ogx =2. Funksjonsuttrykket kan regnes sammen til fx) = 2+ x)+x 2+x x) =2+x x 2, og da ser vi at f) = 2, som er skjæring med y aksen. f x) = 2x =forx =/2. Siden f x) = 2 < gir dette et maksimumspunkt. y koordinaten er f/2) = 2 + ) 2 2 = 8 2 4 + 2 4 4 = 9 4
Løsning, eksamen i Matematikk 6. desember 24 2 2-2 - x 2 - -2 - -4 b) Området er avgrenset av x = ogx = 2, og mellom disse punktene er grafen over x aksen, så arealet er + x)2 x) dx = 4+2 8 ) 2+x x 2 dx = 2+ 2 + [ 2x + 2 x2 x ] 2 = ) =8 9 2 = 9 2 c ) Den horisontale avstanden fra et punkt med koordinater x til aksen er x ) = x +. Dette blir radien i sylinderskallet, mens tverrsnittarealet er fx) dx, slik at volumet er 2πx +)fx) dx =2π x + )2 + x x 2 ) dx =2π 2+x x dx = [ 2π 2x + 2 x2 ] 2 4 x4 =2π 4 + 6 4) 2+ 2 4 ) 2 ) =2π 4 6 4 + ) = 27 4 2 π Oppgave 5 a) 4j) 7 + j) = 7 4) ) + + 4) 7)j =25 25j Modulen absoluttverdien) til dette tallet er 25 2 +25 2 =25 2.
Løsning, eksamen i Matematikk 6. desember 24 Argumentet θ finner vi lett fra en tegning av tallet vektoren) i det komplekse tallplan: I θ = π/4 25 R 25j Dermed er 25 25j = polar 25 2, π ) 4 som også kanskrives25 2cos π/4) + j sin π/4)) eller 25 2e jπ/4. Ved DeMoivres formel er z 28 = 2 /7) 28 cos 28 π ) + j sin 28 π )) =2 4 cos 2 2 ) 7π + j sin )) 7π Siden 7π/ =2π + π/ ercos7π/) = cosπ/) = /2 ogsin7π/) = sinπ/) = /2, så ) z 28 =6 2 + j =8+8 j. 2 Oppgave 6 Funksjonen deriveres ved produktregelen for derivasjon: f x) = lnx)+x x =lnx)+ Den er voksende der f x), og finner først hvor f x) =; lnx)+= lnx) = e lnx) = e x = e Siden lnx), og dermed f x), er voksende er f x) forx e. Innsetting av y =girx = ln) = siden ln) = ). Punktet vi skal linearisere rundt har altså koordinater, ). Finner så den deriverte av y ved implisitt derivasjon. Kjerneregelen måbrukessideny er en funksjon av x, ellers er derivasjonen som i a oppgaven: lny) + ) y = y = y= = lny)+ ln) + = Lineariserer ved formelen P x) =ya)+y a)x a), med a =: P x) =+ x ) P x) = x + Vi har at P x) f x) forx a = Hva som menes med x i denne sammenheng er ikke pensum i Matematikk, men skal oppgaveteksten gi mening må deregåutfraat2 i denne situasjonen.) Dermed er f 2) P 2) = 2+=.2 Kommentar: Maplekommandoen > fsolvey*lny)=2,y) gir verdien.842646.
Løsning, eksamen i Matematikk 6. desember 24 4 Oppgave 7 Volum V av en kule uttrykt ved radien r er V r) = 4 πr. Opplysningen i oppgaveteksten betyr at ved tidspunktet t er dv/dt = og rt ) =, mens det spørres etter dr/dt. Vi deriverer den sammensatte funksjonen V rt)) = 4 πrt) ved kjerneregelen: dv dt = dv dr dr dt dv dt =4πr2 dr dt Ved innsetting av r =ogdv/dt = får vi en likning til å finne dr/dt: = 4π 2 dr dt dr dt = 4π = 4π Det vil si at radien øker med 4π cm/s.8cm/s