Ukeoppgaver, uke 34 og 35, i Matematikk 0, Funksjoner og grenser. Høgskolen i Gjøvik Avdeling for ingeniørfag Matematikk 0 Ukeoppgaver uke 34 og 35 Funksjoner (kapittel ) Oppgave Figuren til øyre viser grafen til eksponentialfunksjonen e 6 pådetområdet som ligger mellom = og =. Eksponentialfunksjonen betegnes også y 4 ep(). - - a) Hva er eksakt verdi av e 0? Hva er tilnærmet verdi av ep(), ep() og ep( )? Svar uten bruk av kalkulator. b) Lag en åndtegnet skisse av grafen til e. Hint: Tegn på figurenpåoppgavearket, bruk symmetri. Oppgave Noen av følgende liketer stammer fra omformingsregler for eksponentialfunksjonen, og gjelder for alle tall og y, mens andre formler er (vanlige) feil. Hvilke er riktige? a) e = e b) e =/e c) e +y = e + e y d) e +y = e e y e) (e ) y = e y f) (e ) y = e y g) e = e / ) e = e Oppgave 3 Figuren viser utsnittet av grafene til sinusfunksjonen sin() og cosinusfunksjonen cos() på området 0 π (Skalaen på y aksen er ikke oppgitt, men det er ikke en til en skala). y,57 3,4 4,7 6,8 a ) Hvilken av grafene er sinus, og vilken er cosinus? b) Hva er eksakt verdi av skjæringspunktene mellom sin() og aksen? Samme spørsmål for cos().
Ukeoppgaver, uke 34 og 35, i Matematikk 0, Funksjoner og grenser. c) Hva er koordinatene ( verdi og y verdi) til maksimums- og minimumspunktene til sin() på utsnittet? Samme spørsmål for cos(). d) Lag en enkel, åndetegnet skisse av grafen til sin() for 4π 4π. Oppgave 4 Noen av følgende liketer stammer fra omformingsregler for sinus og cosinus, og gjelder for alle tall og y. Andre er mer eller mindre vanlige feil. Hvilke er riktige? a) sin( ) = sin() b) sin( ) =sin() c) cos( ) = cos() d) cos( ) =cos() e) sin ()+cos () = f) sin ( +)+cos ( +)= g) sin() =sin() ) sin() =sin()cos() i) cos() =cos() j) cos() =cos()sin() k) sin( + y) =sin()+sin(y) l) sin(+y) =sin()cos(y)+sin(y)cos() m) cos(+y) =cos()cos(y) sin()sin(y) n) cos( y) =cos() cos(y) o) cos( y) =cos()cos(y) sin()sin(y) p) cos( y) =cos()cos(y)+sin()sin(y) Noe mer repetisjon av elementær trigonometri er lagt ut som oppgaven Repetisjon av trigonometri, mens vanskeligere oppgaver med anvendt tilsnitt finnes i E&P, oppgave.4 4 49. Oppgave 5 La f() = 3 +ogg() = 3 a) Er + eller 3 3 + korrekt funksjonsuttrykk for sammensetningen f(g())? b) Er + eller 3 3 + korrekt funksjonsuttrykk for sammensetningen g(f())? Grenser og kontinuitet (kapittel ) Oppgave 6 I denne oppgaven er f gitt ved f() = 3 og a =, slik at f(a) =f() = 3 =8. a) Vis vi endrer medenverdi, fraa til a +, endres funksjonsverdien til f(a + ). Dermed er f(a + ) f(a) endring i funksjonsverdi, og dermed (f(a + ) f(a))/ gjennomsnittlig endring i funksjonsverdi per enet på aksen når endres fra a til a +. På grafen kan dette tolkes som stigningskoeffisienten for korden, det vi si den rette linja gjennom punktene med koordinater (a, f()) og (a +, f(a + )). Se læreboka kap.. for nærmere forklaring og illustrasjoner. Regn ut f(a + ) f(a) for =, =0. og =0.0 og = 0.0 med kalkulator. Hva skjer vis du prøver å regne det ut for =0?
Ukeoppgaver, uke 34 og 35, i Matematikk 0, Funksjoner og grenser. 3 b ) c ) Hva ser det ut som, fra a oppgaven, at stigningskoeffisienten til tangentlinja er? Stigningskoeffisienten m til tangentlinja er parametern m i linja gitt ved y = m + bsom er tangent til grafen i punktet med koordinater (a, f(a) =(, 8). Når er liten er det nesten ikkke forskjell på tangenten og korden. Bruk anslaget fra forrige deloppgave og finn tangentlikningen. Det vil si bestem m og b i likninga y = m + b for denne. Sjekk at svaret ser rimelig ut ved å plotte de to grafene (på kalkulatoren, f.eks). Det det ser ut som gjelder også eksakt. Men vi trenger begrepetgrense for å uttrykke dette presist og å regne ut denne og tilsvarende stigninger eksakt. Som du kanskje allerede vet får vi da den deriverte. Oppgave 7 La f() =sin()/, med gitt i radianer. a ) b ) Bruk kalkulator til å regne ut f(0.5), f(0.) og f(0.0). Hva skjer vis du prøver å regne ut dette funksjonsuttrykket med kalkulatoren ved å sett inn =0? Hva ser det, fra utregningene i a oppgaven, ut som f() er? Oppgave 8 Fra forrige deloppgave ser det ut som sin() og dette er også tilfellet og kalles den trigonometriske grensen. Et bevis for denne finnes påside84ilæreboka. Bruk den trigonometriske grensen og generelle regler for grenser til å finne følgende grenser. Forsøk å uttrykke vilke regler du ar brukt. = a) sin() +3 + b) ( ) sin() c ) ln d) e ) sin(3) Hint: Sett u =3 Oppgave 9 Er funksjonen f gitt ved funksjonsuttrykket +e f() = + sin () sin() definert og kontinuerlig for alle R. Gi en kort og uformell begrunnelse..08.08, Hans Petter Hornæs
Ukeoppgaver, uke 34 og 35, i Matematikk 0, Funksjoner og grenser. 4 Fasit, Funksjoner og grenser. Oppgave a) e 0 =. ep() = e = e, oge.78888, til daglig er det vel greit åuskee =.7. b ) ep() = e.7 =7.39. ep( ) = e =/e /.7 = 0.368. Som overslag (regning uten kalkulator) er det vel greit åsiatep()erlittstørreenn7ogep( ) er ca. 0.4. Generelt er grafen til f( ) grafentilf() speilet om y aksen. 6 y 4 - - Oppgave e =/e,så b er riktig og dermed a feil. e +y = e e y,så d er riktig og dermed c feil. e er riktig, vi tar potens oppøyd i potens ved å multiplisere eksponentene. Dermed f feil. Siden a = a / gir bruk av formelen (e ) y = e y med y =/ at g er riktig og dermed feil. Oppgave 3 a ) Den tykkeste kurven er cosinus. b) sin() =0for =0, = π og =π. cos() =0for = π og = 3 π. c) sin() ar maksimumsverdi y =for = π og minimumsverdi y = for = 3 π (de samme som nullpunktene til cosinus). d ) cos() ar maksimumsverdi y =for =0og =π, og minimumsverdi y = for = π (de samme som nullpunktene til sinus). Sinus (og cosinus) er periodiske med periode π. Det betyr at mønsteret mellom 0 og π gjentar seg (i det uendelige, og spesielt over de 4 periodene er). En grei måte å raskt lage en røff åndtegning påeråavmerke nullpunktene og ekstremalpunktene (maks og min), som kommer vekslende ver gang endres med en kvart periode. Sno så sinuskurven mellom disse, og resultatet blir god nok til mange formål. -,56-9,4-6,8-3,4 3,4 6,8 9,4,56 -
Ukeoppgaver, uke 34 og 35, i Matematikk 0, Funksjoner og grenser. 5 Oppgave 4 Minus går utenfor sinus, så a er riktig og dermed b feil. Dette er forøvrig det samme som at sinuskurven er symmetrisk om origo. Minus forsvinner i cosinus, så d er riktig og dermed c feil. Dette er forøvrig det samme som at cosinuskurven er symmetrisk om y aksen. Formel e kalles den trigonometriske identiteten, så den gjelder. Formel f er også korrekt, det er samme formel med erstattet med +. Så lenge det er samme argument på sinusogcosinus gjelder den trigonometriske identiteten. Minner om at sin () erenskrivemåte for (sin()) =sin()sin(), tilsvarende for cos (). Korrekt formel for sin() er,så den vanlige feilen i g er ikke korrekt. Hverken i eller j er riktig for cos(). Tre riktige varianter er cos() =cos () sin (), cos() = cos () ogcos() = sin (). Den riktige summeformelen for sinus er l, den vanlige feilen med forenklinga i k er feil. Riktig summeformel for cosinus er m, differensformelen er p. Merk at pluss og minus er omvendt i disse formlene. nogoerdermedfeil. Oppgave 5 a) I f(g()) brukes 3.roten g først, siden 3. rot og 3. potens oppever verandre. b) I g(f()) brukes polynomet først, f ( 3 ) = ( 3 ) 3 += +, g( 3 +)= 3 3 +. Oppgave 6 I denne oppgaven er f gitt ved f() = 3 og a =, slik at f(a) =f() = 3 =8. a) f(a + ) f(a) m() = = ( + )3 8 i dette tilfellet. Hvis du for eksempel taster inn dette direkte på kalkulatoren finner du m(0.5) = 5.5, m(0.) =.6, m(0.0)) =.06. Det ser ut som det kryper mot når blir nær 0. For et punkt like i næreten på venstresiden får vi styrket denne mistanken: m( 0.0) =.94. Innsetting av = 0 gir divisjon med 0, og dermed bare en feilmelding på kalkulatoren. b) Det ser altså ut som om m = c) Linja er påformeny = m + b som du nå vet ery = + b. Forå bestemme b kan du bruke at tangentlinja skal gå gjennom tangeringspunktet, med kooordinater (, 8), og sette inn disse verdiene for og y: 8= +b 8=4+b b =8 4 b = 6 så y = 6 Kommentar: Følgende regnestykke viser tydeligere vorfor m = : m() = ( + )3 8 = 3 + +6 + 3 8 = +6 + 3 Siden er felles faktor i telleren kan vi forkorte med og få omformet uttrykket til m() =+6+. Nå er probelmverdien i nevneren, = 0, og direkte innsetting av =0girm(0) =.
Ukeoppgaver, uke 34 og 35, i Matematikk 0, Funksjoner og grenser. 6 Oppgave 7 La f() =sin()/, med gitt i radianer. a) f(0.5) = 0.9589, f(0.) = 0.9983 og f(0.0) = 0.99998. Får du andre svar er den mest sannsynlige årsaken at kalkultatoren din er innstil på grader istedenfor radianer. b) sin(0)/0 gir feilmedling siden vi forsøker å dividere med 0. Det ser ut som verdiene blir veldig nær for små. Detr vil si det ser ut som f() =. Oppgave 8 a ) b) sin() = + 3 + = +3 0+=4 sin () = ( sin() ) = ( ) sin() = = Vi kunne ta.-potensen utenfor siden er en kontinuerlig funksjon. ( ) sin() c) =ln =ln()=0 ln går utenfor siden ln er en kontinuerlig funksjon for =. sin() d ) = =/ =/ = siden / er kontinuerlig for =. sin()/ e) Hvis u =3 er = u/3. Vi får også atom 0 vil også u 0: sin(3) sin(u) = u 0 u/3 = 3sin(u) sin(u) = 3 =3 =3. u 0 u u 0 u Oppgave 9 Siden 0er+ > 0, så nevneren er aldri 0. Siden e > 0er+e > 0, så det inni rottegnet er aldri negativt. For elementære funksjoner er det nok å passe på slike farlige områder, og da disse ikke skapte problemer er funksjonen definert og kontinuerlig for alle R. Hans Petter Hornæs