1.8 Binære tal Når vi reknar, bruker vi titalssystemet. Korleis det verkar, finn vi ut ved å sjå på til dømes talet 2347. 2347 = 2 1000 + 3 100 + 4 10 + 7 Dersom vi bruker potensar, får vi 2347 = 2 10 3 + 3 10 2 + 4 10 + 7 Det siste sifferet er einarar, det nest siste er tiarar, det tredje siste hundrarar, osb. Dette talsystemet har ti talsymbol (0, 1, 2,, 9). I ein datamaskin eller lommereknar kan vi tenkje oss at alle tal blir lagra ved at ein brytar er av eller på. Då har vi berre to moglege talsymbol: 0 når brytaren er av, og 1 når han er på. Derfor må vi bruke eit talsystem med berre to symbol, 0 og 1. Det talsystemet kallar vi totalssystemet eller det binære talsystemet. Alle tal i dette systemet består dermed berre av nullar og einarar. Talet 1010 er eit døme på eit binært tal. Det er ikkje det same som tusen og ti. Når vi skal finne ut kva for eit tal det er, gjer vi slik: 1010 = 1 2 3 + 0 2 2 + 1 2 + 0 = 1 8 + 0 4 + 1 2 + 0 = 10 Det binære talet 1010 er det same som talet ti. Vi ser at det binære talsystemet verkar på same måten som titalssystemet. Skilnaden er at for binære tal bruker vi potensar av to i staden for potensar av ti. Alle datamaskinar og lommereknarar bruker totalssystemet til all rekning utan at vi oppdagar det. Når du skriv eit reknestykke ved hjelp av tastaturet, blir tala automatisk omsette til totalssystemet. Alle utrekningane blir så gjorde i totalssystemet. Svaret blir deretter omsett til titalssystemet før det blir skrive ut på skjermen. Vi skal no lære å omsetje tal mellom totalssystemet og titalssystemet. Rekn om frå binære tal til vanlege tal. a) 101 b) 1101 c) 10011 a) 101 = 1 2 2 + 0 2 + 1 = 4 + 0 + 1 = 5 b) 1101 = 1 2 3 + 1 2 2 + 0 2 + 1 = 8 + 4+ 0 + 1 = 13 c) 10011 = 1 2 4 + 0 2 3 + 0 2 2 + 1 2 + 1 = 16 + 0 + 0 + 2 + 1 = 19 31
Oppgåve 1.80 Rekn om frå binære tal til vanlege tal. a) 110 b) 1110 c) 10110 d) 111001 Oppgåve 1.81 Fyll ut tabellen. Binærtal 0 1 10 11 100 101 110 111 1000 1001 1010 Vanlege tal Korleis skal vi omsetje frå vanlege tal til binære tal Vi tek då utgangspunkt i denne tabellen med potensar av 2. 2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 2 7 2 8 2 9 2 10 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 Vi skal no skrive talet 23 som eit binært tal. Vi leitar oss fram til den største toarpotensen som er mindre enn 23. Det er 16. Vidare er 23 = 16 + 7. No finn vi den største toarpotensen som er mindre enn 7. Det er 4. Ettersom 7 = 4 + 3, får vi Dermed er 23 = 16 + 4 + 3 = 16 + 4 + 2 + 1 23 = 1 16 + 0 8 + 1 4 + 1 2 + 1 Talet 23 er dermed det same som det binære talet 10111. Skriv 37 som eit binært tal. 37 = 32 + 5 = 32 + 4 + 1 37 = 1 32 + 0 16 + 0 8 + 1 4 + 0 2 + 1 = 100101 Oppgåve 1.82 Skriv tala som binærtal. a) 13 b) 23 c) 42 d) 70 32 32 Sinus 1DH/1MK > Tal og einingar
Oppgåve 1.83 Skriv talet 241 som binærtal. Dei binære tala har mange siffer. Når vi skriv talet 211 som eit binærtal, blir det 11010011. Det er fort gjort å gjere feil når vi skal skrive eit slikt tal, eller når vi skal seie dette talet til ein annan person. Det blir lettare når vi les fire og fire siffer om gongen. I tillegg bruker vi denne tabellen: Binært tal Vanleg tal Symbol 0000 0 0 0001 1 1 0010 2 2 0011 3 3 0100 4 4 0101 5 5 0110 6 6 0111 7 7 Binært tal Vanleg tal Symbol 1000 8 8 1001 9 9 1010 10 A 1011 11 B 1100 12 C 1101 13 D 1110 14 E 1111 15 F Talet 11010011 deler vi opp i to delar og les det på denne måten: 1101 0011 = D3 D 3 Når vi så skal ha tilbake binærtalet, bruker vi tabellen og skiftar ut D med 1101 og 3 med 0011. Då får vi tilbake talet 11010011. Når vi skal finne ut kva for eit tal D3 er, kan vi gjere slik: I tabellen ser vi at D er talet 13. Då er D3 det same som 13 16 + 3 = 211 Talet 10111001001 har elleve siffer. Når vi skal lese dette talet, set vi ein 0 først slik at det blir tolv siffer. 010111001001 = 5C9 5 C 9 Vi les talet som 5C9. Kva for eit tal er så det Vi skriv det ved hjelp av potensar av 16. Hugs at C er det same som 12. 5C9 = 5 16 2 + 12 16 + 9 = 5 256 + 12 16 + 9 = 1481 Talet 5C9 er skrive i 16-talssystemet (det heksadesimale talsystemet). 33
a) Skriv det binære talet 1011011001 i det heksadesimale tal - systemet. b) Skriv talet i det vanlege talsystemet. a) 1011011001 = 001011011001 = 2D9 2 D 9 b) Ettersom D er talet 13, blir dette 2D9 = 2 16 2 + 13 16 + 9 = 2 256 + 13 16 + 9 = 729 Oppgåve 1.84 a) Skriv det binære talet 11100101 i det heksadesimale talsystemet. b) Kva for eit tal er det Oppgåve 1.85 a) Skriv det binære talet 1111010100 i det heksadesimale talsystemet. b) Kva for eit tal er det Oppgåve 1.86 a) Skriv talet 812 i det binære talsystemet. b) Skriv svaret i oppgåve a i det heksadesimale talsystemet. c) Kontroller om svaret i oppgåve b gir talet 812. 1.9 Nokre digitale einingar Datamaskinar gjer om alle tal til binære tal. Grunnen er at maskinen har mange elektriske «brytarar» som kan vere av eller på. Ein slik «brytar» kallar vi ein bit. Ein bit kan dermed vere anten 0 eller 1. Alle andre teikn og symbol blir òg skrivne ved hjelp av 0 og 1. Bokstaven A blir gjord om til 01000001 og a til 01100001. Kvart teikn og kvar bokstav har sin eigen kode som er samansett av åtte 0 eller 1. Koden inneheld altså åtte bitar. Vi kallar det ein byte. Ein byte er dermed lagerplass for eitt teikn. 1 byte = 8 bitar 34 34 Sinus 1DH/1MK > Tal og einingar
a) Kor mange byte er det i teksten «Lykke til!» b) Kor mange bitar blir det a) Teksten vår har ti teikn. Mellomrommet er òg eit teikn. Det er 10 byte i teksten. b) Vi veit at 1 byte består av 8 bitar. Dermed er 10 byte = 10 8 bitar = 80 bitar Til saman må vi bruke åtti 0 og 1 for å lagre teksten «Lykke til!» Oppgåve 1.90 a) Kor mange bitar er det i 12 byte b) Ein tekst er skriven med 248 bitar. Kor mange teikn er det i denne teksten Oppgåve 1.91 a) Kor mange byte er det i teksten «Alt vel. Send meir pengar.» b) Kor mange 0 og 1 må vi bruke for å lagre denne teksten digitalt I talsystemet vårt (titalssystemet) har vi faste namn på nokre spesielle tal. 10 2 = 100 hundre 10 3 = 1000 tusen 10 6 = 1 000 000 million 10 9 = 1 000 000 000 milliard Vi ser at det er nokre potensar av ti som har eigne namn. Når vi bruker totalssystemet, har vi sett namn på nokre potensar av to. 2 10 = 1024 kilo (k) 2 20 = 1 048 576 mega (M) 2 30 = 1 073 741 824 giga (G) Til vanleg er kilo = 1000. Men i den digitale verda er altså kilo = 1024. På tilsvarande måte er mega = 1 000 000, men når det gjeld datateknikk, er mega = 1 048 576. Vi bruker forkortinga B for byte og forkortinga b for bitar. Med denne skrivemåten er 1 kb = 1024 byte 1 kb = 1024 bitar 1 MB = 1 048 576 byte 1 Mb = 1 048 576 bitar 35
Vidare er 1 MB = 1024 kb 1 Mb = 1024 kb 1 GB = 1024 MB 1 Gb = 1024 Mb Til dagleg rundar vi ofte av og seier at 1 kb er 1000 byte, at 1 MB er 1000 kb, og at 1 GB er 1000 MB. Eit tekstdokument er på 2,7 kb. a) Kor mange teikn er det i dette dokumentet b) Kor mange 0 og 1 blir det a) 1 kb er 1024 byte, og éin byte er eitt teikn. Talet på teikn er 2,7 1024 = 2765 Vi gjer ikkje nokon stor feil om vi seier at det er 2700 teikn. b) Ettersom kvar byte (kvart teikn) har åtte bitar (0 eller 1), er talet på 0 og 1 8 2765 = 22 120 Oppgåve 1.92 Ein tekst er på 32 kb. a) Kor mange teikn er det b) Kor mange bitar blir det Oppgåve 1.93 Eit digitalt bilete blir òg lagra ved hjelp av berre 0 og 1. Eit bestemt bilete er på 1,2 MB. a) Kor mange kilobyte (kb) er det b) Kor mange byte blir det c) Kor mange 0 og 1 må vi bruke for å lagre dette biletet Når vi sender digitale tekstar, bilete eller musikk over telenettet, varierer farten veldig. Med ei vanleg analog (ikkje digital) telefonlinje kan vi sende 40 50 kb per sekund. Det er altså ca. 40 000 50 000 bitar per sekund. Vi måler farten i kilobitar per sekund (kbps). Når farten er 46,6 kbps, kan vi sende 46,6 kb på eitt sekund. 36 36 Sinus 1DH/1MK > Tal og einingar
Med breiband er farten mykje større. Vanleg fart er nokre tusen kilobitar per sekund. Farten kan til dømes vere 2048 kbps. Det er det same som 2 Mbps.Vi overfører då ca. 2 millionar nullar og einarar på eitt sekund. Eit bilete er på 728 kb. a) Kor mange kilobitar er det b) Kor lang tid tek det å overføre biletet på ei linje med farten 46,6 kbps c) Kor lang tid tek det på breiband med farten 2048 kbps a) Ettersom 1 byte er 8 bitar, er 728 kb det same som 728 8 kb = 5824 kb b) Med denne linja overfører vi 46,6 kb på eitt sekund. Talet på sekund blir 5824 46,6 = 125 Det tek 125 s (2 min 5 s) å overføre biletet. c) Med breiband overfører vi 2048 kb på eitt sekund. Talet på sekund blir då 5824 2048 = 2,8 Det tek 2,8 sekund. Oppgåve 1.94 I ein stor tekst er det 72 000 teikn. a) Kor mange kilobitar er det b) Kor lang tid tek det å overføre teksten på ei linje med farten 28,8 kbps c) Kor lang tid tek det å overføre teksten på breiband med 1024 kbps Oppgåve 1.95 Ein musikk-cd er på 25,7 MB. a) Kor lang tid tek det å overføre innhaldet på denne cd-en på ei linje med farten 46,6 kbps b) Kor lang tid tek det på breiband med farten 2048 kbps 37