Funksjonsdrøfting MAT111, høsten 2016 Andreas Leopold Knutsen 11. oktober 2016
Den deriverte f Newton-kvotienten f (x+h) f (x) h er stigningen til sekantlinjen gjennom punktene (x, f (x)) og (x + h, f (x + h)) på grafen til f At f er derivérbar i x betyr at grensen er denert. f f (x + h) f (x) (x) = lim h 0 h f (x) = stigningen til tangentlinjen i x (og grafen til f er glatt i x).
f ikke derivérbar i x (singulært punkt) Når f ikke er derivérbar i x, sier vi at x er et singulært punkt. Da er det to muligheter: f (x + h) f (x) Hvis lim = eller, er f ikke derivérbar h 0 h i x, men grafen har en vertikal tangentlinje (og er glatt i x). Ellers har grafen til f ingen tangentlinje (har knekkpunkt i x). I dette tilfellet kan de ensidige grensene lim og lim h 0 +, h 0 hvis de eksisterer, gi informasjon om stigningen til hver del av grafen på de to sidene
Eks: f (x) = 3 x(2 x) i x = 0 f (0 + h) f (0) h 1 3 (2 h) 2 h lim = lim = lim = h 0 h h 0 h h 0 h 2 3 = f ikke derivérbar i 0, og grafen har vertikal tangentlinje i 0
Eksempel i x = 0 1 h 3 h 0 + h f (h) f (0) lim = lim h 0 + h 2 h h 0 h f (h) f (0) lim = lim h 0 h = lim 1 = h 0 + h 2/3 = lim h 0 h = 0. = grafen har knekkpunkt og de to grensene sier oss noe om brattheten på hver side
Eks: f (x) = 2x + 3 3 x 2 i x = 0 f (h) f (0) lim = lim h 0 h 2 2h + 3h 3 h 0 h = lim h 0 ( 2 + 3. = lim ( ) = og lim ( ) = h 0 h 0 + = grafen har knekkpunkt og de to grensene sier at brattheten er på hver side: et slikt singulært punkt kalles en cusp h 1 3 )
Voksende funksjon (Def. 6 i 2.8) f er (strengt) voksende på intervallet I dersom x 1 < x 2 i I = f (x 1 ) < f (x 2 )
Avtagende funksjon (Def. 6 i 2.8) f er (strengt) avtagende på intervallet I dersom x 1 < x 2 i I = f (x 1 ) > f (x 2 )
Sammenheng med f (Teorem 12 i 2.8) f > 0 på åpen I = f voksende på I (med eventuelle endepunkt). f < 0 på åpen I = f avtagende på I (med eventuelle endepunkt).
Krumning av (graf til) funksjon (4.5) f er oppoverkrummet/konveks/concave up på et åpent intervall I dersom f er derivérbar på I og f er voksende på I ; Ekvivalent: alle tangenter til grafen ligger under grafen. f > 0 på I = f konveks på I
Krumning av (graf til) funksjon (4.5) f er nedoverkrummet/konkav/concave down på et åpent intervall I dersom f er derivérbar på I og f er avtagende på I ; Ekvivalent: alle tangenter til grafen ligger over grafen. f < 0 på I = f konkav på I
Vendepunkt til (graf til) funksjon (4.5) f har vendepunkt i x dersom: f skifter krumning i x; og f har en tangentlinje i x Merk: Tangentlinjen til grafen skjærer grafen i vendepunktet
Eks: f (x) = 3 x(2 x) i x = 0 f (x) = 2(1 2x), 3 x x 0 2 3 = f > 0 på (, 0) og (0, 1) (f voksende på (, 1]) 2 2 og f < 0 på ( 1, ) (f avtagende på [ 1, )) 2 2 Fra før: f ikke derivérbar i 0, men har vertikal tangentlinje f (x) = 4(x+1), x 0 5 9x 3 = f > 0 på ( 1, 0) (f konveks) og f < 0 på (, 1) og (0, ) (f konkav) = Vendepunkt for x = 1 og 0.
f (x) = 2 på (, 0): konveks f (x) = 2 5 9x 3 < 0 på (0, ): konkav Fant tidligere at f ikke har tangentlinje i 0 = Ikke vendepunkt i 0, selv om graf skifter krumning.
Asymptoter (4.6) Linjen x = a kalles en vertikal asymptote til (grafen til) f hvis lim f (x) = ± eller lim f (x) = ± x a + x a Kurven y = g(x) er en asymptotekurve for (grafen til) f når x hvis (tilsvarende for x ). lim (f (x) g(x)) = 0 x kalles horisontal hvis y = g(x) = L (konstant), kalles skrå hvis y = g(x) = ax + b, a 0.
Eksempel f (x) = x2 +5x 4 2x 2 = 1 2 x + 3 + 1 x 1 (ved polynomdivisjon) lim f (x) = ± = x = 1 er vertikal asymptote. ± x 1 Ingen andre vert. as. siden f denert og kont. for x 1 ) lim (f (x) ( 12 x ± x + 3) 1 = lim x ± x 1 = 0 = y = 1 x + 3 er skrå asymptote når x ± 2
Eksempel f (x) = x3 9x 2 +27x 27 x+1 = x 2 10x + 37 64 x+1 (ved polynomdiv.) lim f (x) = = x = 1 er vertikal asymptote. ± x 1 Ingen andre vert. as. siden f denert og kont. for x 1 ( lim f (x) (x 2 10x + 37) ) = lim 64 x ± x ± x + 1 = 0 = y = x 2 10x + 37 er asymptotekurve når x ±
Omegn om et punkt (neighborhood) La x 0 være et punkt i denisjonsmengden til en funksjon f, dvs. x 0 D(f ). En δ-omegn om x 0 (eller bare omegn om x 0 ) er et åpent intervall om x 0 på formen (x 0 δ, x 0 + δ), eller evt. bare (x 0 δ, x 0 ] eller [x 0, x 0 + δ), hvis f bare er denert på den ene siden av x 0.
Lokale og globale ekstremalverdier f (x 0 ) er lokalt/relativt maksimum om f (x 0 ) f (x) for alle x i en omegn om x 0 ; lokalt/relativt minimum om f (x 0 ) f (x) for alle x i en omegn om x 0 ; (globalt/absolutt) maksimum om f (x 0 ) f (x) for alle x i denisjonsmengden til f ; (globalt/absolutt) minimum om f (x 0 ) f (x) for alle x i i denisjonsmengden til f.
Hvor nnes (lokale) ekstremalverdier? (T. 6 i 4.4) Hvis f denert på intervall I har ekstremalverdi i x 0, da er x 0 følgende tre typer: en av x 0 kritisk (stasjonært) punkt (KP), dvs. f (x 0 ) = 0; x 0 singulært punkt (SP), dvs. f (x 0 ) er ikke denert; x 0 endepunkt (EP) i I.
Men... f trenger ikke ha lokale ekstremalverdier i disse punktene: KP SP EP
Er det lokalt maks. eller min.? 1. derivert-testen (T. 7 i 4.4) (Lignende i endepunkt) 2. derivert-testen i kritiske punkt (T. 10 i 4.5)
Finnes globale maks eller min? Ekstremalverditeoremet (Maks-Min-teoremet) T. 8 i 1.4 Hvis f kontinuerlig på lukket, begrenset intervall [a, b], da har f (globalt) maksimum og minimum på [a, b] Ikke nødvendigvis sant om f ikke kontinuerlig eller intervall ikke lukket:
Konsekvens: Strategi for å nne globale maks/min for f kont. på [a, b] Begrunn at Ekstremalverditeoremet garanterer at maks og min nnes. Vi vet disse kan kun forekomme i kritiske punkt, singulære punkt og endepunkt, så vi regner ut funksjonsverdiene i alle disse. Den største (hhv. minste) av disse er maks (hhv. min) NB: noen ganger kan svaret nnes ved å tenke logisk fremfor å regne ut mange funksjonsverdier!
Konsekvens: Strategi for å nne globale maks/min ellers Regn ut funksjonsverdiene i alle kritiske punkt, singulære punkt (inkl. punkt der f ikke er kont.) og endepunkt. Den største (hhv. minste) av disse er kandidaten til global maks (hhv. min), men det kan hende at f ikke har noen global maks/min. Sjekk hvor f er voksende/avtagende, sjekk grenser mot eventuelle endepunkter, punkter der f ikke er kont. og ±, og tenk logisk, for å nne ut om kandidatene virkelig er globale maks/min! NB: Se Teorem 8 i 4.4, men det er bedre å forstå teoremet enn å pugge det. Les godt Eks. 5-6 i 4.4
Eks: f (x) = 2x + 3 3 x 2 på [ 5, ) f (x) = 2( 3 x+1), slik at 3 x KP x = 1, f ( 1) = 1; SP x = 0, f (0) = 0; EP x = 5, f ( 5) = 1, 22... f > 0 på ( 5, 1) og (0, ), og f < 0 på ( 1, 0) = lok.min. i x = 5 og x = 0, lok. maks. i x = 1 lim f (x) = = intet globalt maks x f ( 5) 1, 22 min. på [ 5, 0] ved ekstremalverditeoremet, og f (x) 0 for x 0 = f ( 5) = 1, 22... er globalt min
Eks: f (x) = 3 x(2 x) på (, ) f (x) = 2(1 2x), slik at 3 x 2 3 KP x = 1 2, f ( 1 2 ) = 3 3 2 ; SP x = 0, f (0) = 0; ingen EP Fra før: f voksende på (, 1] og avtagende på [ 1, ) 2 2 = lok. og glob. maks. i x = 1, ingen andre lokale 2 maks/min. (At det ikke nnes globale min. er bekreftet av at lim f (x) = ) x ±
Eksempel på å tenke enkelt! Finn maks/min til y(t) = y 0 e 6k π sin( πt 6 ) på (, ) ( ) πt Siden sin svinger mellom 1 og 1 og disse verdiene oppnås, vil 6 y(t) svinge mellom maksimalverdi y 0 e 6k π og minimalverdi y 0 e 6k π.
Annet eksempel på å tenke enkelt! Finn maks/min til f (x) = x2 1+x 2 på (, ) Vi ser med en gang at 0 f (x) < 1 for alle x f (0) = 0 = f (0) = 0 er derfor (globalt og lokalt) minimum. lim x ± f (x) = lim x ± 1 = 1 1 + 1 x 2 = f (x) kommer så nær vi vil 1 uten å bli lik = f har intet globalt maksimum