ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007

ÅMA Sasylighetsregig med statistikk, våre 27 Kp. 6 (kp. 6) Tre deler av faget/kurset:. Beskrivede statistikk 2. Sasylighetsteori, sasylighetsregig 3. Statistisk iferes estimerig kofidesitervall hypotesetestig 2, iledig Begrep: ullhypotese alterativhypotese esidig, tosidig teststørrelse (testobservator) ullfordelig kritisk verdi, forkastigsområde sigifikasivå 3

, iledig Oversikt over emer:. Mer om hva hypotesetestig er 2. i ulike situasjoer: i. for forvetige,, med 2 ormalatakelse og kjet varias,. ii. for forvetige,, med stor og ormaltilærmig. iii. for suksessasylighete, p, i biomisk modell med stor og ormaltilærmig. iv.... 4, iledig Oversikt over emer:... 2. i ulike situasjoer: iv.... for suksessasylighete, p, i biomisk modell med lite. v. for forvetige,, med 2 ormalatakelse og ukjet varias,. (Og lite; t-fordelig; t-test.) vi. test for forvetige i Poissomodell. 5, iledig Oversikt over emer:. Mer om hva hypotesetestig er 6

, iledig Eks.: Vi har gjort = måliger (x, x 2,..., x ) av ph i Breiavatet; 6., 5.59 5.74 3.43 5.3 6.48 5.5 4.28 4.52 6.2 Problem: Er virkelig ph lavere e 6.? 7, iledig Eks.: Vi har gjort = måliger (x, x 2,..., x ) av ph i Breiavatet; 6., 5.59 5.74 3.43 5.3 6.48 5.5 4.28 4.52 6.2 Problem: Er virkelig ph lavere e 6.? Gjeomsitt er 5.27; me oe måliger er større e 6., og det er e del variasjo...?? Hvorda kokludere??? 3, 4, 5, 6, 7, 8, iledig Statistisk metode for å trekke koklusjo: (i e situasjo som dee). Vi atar (i dee situasjoe): målemodelle: x, x 2,..., x utfall av X, X 2,..., X, u.i.f. tilf. var. ormalatakelse: X i ee er ormalfordelte kjet varias: Var(X i ) er et kjet tall,. i dette tilfellet 2. Vi vil teste: H : 6. mot H : 6. E( X ) i H uttrykker det utsaget vi må tro i utgagspuktet; H ka vi hevde dersom dataee tyder klart på at dette i virkelighete er tilfelle. 9

, iledig 3. Gjeomsitt betydelig lavere e 6. idikerer at H er riktig i virkelighete. 4. Dersom gjeomsittet lavere e 5.48, så forkast H, og påstå H : virkelig ph er midre e 6.. 5. Data: gjeomsittet er 5.27 som er midre e 5.48. Dvs.: forkast H!, iledig Hvorfor akkurat 5.48?? Hvorfor, hvorfor...?, iledig Først oe kommetarer. Statistisk hypoteser: alterativhypotese, H : 6., uttrykker at virkelig ph er midre e 6.. ullhypotese, H : 6., ville det gjere vært aturlig å hatt som: H : 6., me det er e foreklig å bruke =; dette spiller i praksis ige rolle for resultatet i de fleste situasjoer. 2. Vi forblir ved å tro på H itil oe aet er bevist. 2

, iledig Først oe kommetarer 3. Vi legger til gru: målemodelle: x, x 2,..., x utfall av X, X 2,..., X, u.i.f. tilf. var. ormalatakelse: X i ee er ormalfordelte kjet varias: Var(X i ) er et kjet tall,. i dette tilfellet 3, iledig Statistisk tekig:. Dersom H er riktig i virkelighete, så kommer dataee fra e ormalfordelig med forvetig 6. (og varias ), grø kurve: 2. Dette ka brukes som utgagspukt for 3, 4, 5, 6, 7, å vurdere om vi kue fått det aktuelle resultatet ved e tilfeldighet år H faktisk er riktig. 4, iledig Vi baserer teste på gjeomsittet ikke på ekeltmåligee; Teststørrelse (testobservator): (tilf.var.) X X X Vi har (i dette eksempelet): og år H forutsettes å være riktig: X ~ N6., 2 X ~ N, H 2 5 : 6.

, iledig Teststørrelse si fordelig år H er riktig: ullfordelige. X ~ N6., 3, 4, 5, 6, 7, Dee fordelige ullfordelige ka brukes til å vurdere om vi kue fått det aktuelle gjeomsittsresultatet ved e tilfeldighet dersom H faktisk er riktig. 6, iledig Et lavt (i forhold til 6.) gjeomsittsresultat idikerer at H er riktig. 3, 4, 5, 6, 7, Vi bruker ullfordelige til å fastsette hva som lavt ok for å kokludere med H. 7, iledig Dersom vi setter (som i eks.) grese til 5.48, 3, 4, 5, 6, 7, er det ku 5% sjase for å få gj.s.resultat lavere e dette ved e tilfeldighet dersom H er riktig. PX 5.48 H riktig PX 5.48 6 X 6 5.48 6 5.48 6 P 6 P Z.5 / / /.645 Z ~ N(,) 8

, iledig 5.48: kritisk verdi Itervallet (, 5.48) : forkastigsområde 3, 4, 5, 6, 7, Når H o er riktig er det ku 5% sjase for ved e tilfeldighet å få utfall av teststørrelse i forkastigsområdet. Dee sasylighete kalles sigifikasivået til teste. 9, iledig 5.48: kritisk verdi Itervallet (, 5.48) : forkastigsområde Når H o er riktig er det ku 5% sjase for ved e tilfeldighet å få utfall av teststørrelse i forkastigsområdet. 3, 4, 5, 6, 7, Dvs.: ku 5% sjase for å kokludere feil dersom i virkelighete ph e er 6. : 6. H 2, iledig 5.48: kritisk verdi De kritiske verdie fastlegges av sigifikasivået (5% i eksempelet). 3, 4, 5, 6, 7, Eksempel: La k være de kritiske verdie. Vi øsker da at k skal være slik at: X k H riktig.5 P 2

, iledig Berege kritisk verdi: P X k H riktig.5 X 6 P / k 6 z / k 6.645 k 6 H /.5.645 riktig P Z 5.48 k 6.5 / Z ~ N,,5,4,3,2,, -4, -2,, 2, 4, -, 22, iledig Det er valig å bruke stadardisert teststørrelse. X - 2 / Når vi skal teste (f.eks.): H : mot H : 23, iledig Eksempelet: H : 6. mot H : 6. Stadardisert teststørrelse: Dersom H er riktig, er Z N(,)-fordelt. Z X - 6. / Små verdier (utfall) av Z idikerer at H i virkelighete er riktig. (Hva som er små verdier ses i forhold til ullfordelige til Z; N(,)-fordelige.) 24

, iledig Eksempelet: H : 6. mot H : 6. Stadardisert teststørrelse: X - 6. Kritisk verdi, k: / P Z k H riktig.5,5 Z k.645 ( -z.5 ),4,3,2,, -4, -2,, 2, 4, -, 25, iledig Eksempelet: H : 6. mot H : 6. Gjeomførig: Test : Vi forkaster H dersom Z - utfallet k.645 X - 6. Z / Data, utfall av Z : 5.27-6. 2.3 / Koklusjo : forkast H, side Z - utfall -2.3 -.645. 26, iledig Begrep: ullhypotese alterativhypotese esidig, tosidig teststørrelse (testobservator) ullfordelig kritisk verdi, forkastigsområde sigifikasivå 27

Oversikt over emer:. Mer om hva hypotesetestig er 2. i ulike situasjoer: i. for forvetige,, med 2 ormalatakelse og kjet varias,. ii. for forvetige,, med stor og ormaltilærmig. iii. for suksessasylighete, p, i biomisk modell med stor og ormaltilærmig. iv.... 28 Bjør H. Auestad Kp. 6: del 2/ 43 Oversikt. Hva er hypotesetestig? 2. i ulike sitausjoer: i. for forvetige, μ, med ormalatakelse og kjet varias, σ 2. ii. iii. for forvetige, μ, med stor og ormaltilærmig (variase, σ 2, ukjet). for suksessasylighete, p, i biomisk og ormaltilærmig. Bjør H. Auestad Kp. 6: del 3/ 43

μ, målemodell, ormalatakelse, kjet varias Målemodelle m/ormalatakelse og kjet σ 2 : måliger: x,...,x ; betraktes som utfall av: X,...,X, u.i.f. tilfeldige variable E(X i )=μ og Var(X i )=σ 2, i =,..., X i ormalfordelt og σ 2 kjet. Test (m/ sig.ivå α) for H : μ = μ mot H : μ<μ Forkast H dersom X μ z α σ 2 Stadardisert teststørrelse): Forkast H dersom X μ σ 2 z α Bjør H. Auestad Kp. 6: del 4/ 43 μ, målemodell, ormalatakelse, kjet varias Test (m/ sig.ivå α) for H : μ = μ mot H : μ>μ σ Forkast H dersom X μ +z 2 α Test med stadardisert teststørrelse: Forkast H dersom X μ z α σ 2 Bjør H. Auestad Kp. 6: del 5/ 43 μ, målemodell, ormalatakelse, kjet varias; Eksempel Eksempel: blodsukkerih.måliger: 4., 5., 4.3, 3.8, 3.7, 5.2, 4.5, 4.8, 3.6, 4.4 Gjeomsitt: 4.35; ormalatakelse med kjet varias lik.5 2 3, 3,5 4, 4,5 5, 5,5 Prikkdiagram over blodsukkermåligee. Problem: Er virkelig blodsukkerihold høyere e 4.? Vi vil teste: H : μ = μ =4 mot H : μ>μ =4 Bjør H. Auestad Kp. 6: del 6/ 43

μ, målemodell, ormalatakelse, kjet varias; Eksempel Målemodell med ormalatakelse og med kjet varias (lik.5 2 ) Dersom H er riktig i virkelighete, så er dataee utfall av e ormalfordelig med forvetig 4 og varias.5 2, grø kurve: 3, 3,5 4, 4,5 5, 5,5 Prikkdiagram over blodsukkermåligee og ullfordelige (til X i ee) N(4,.5 2 ) tetthet. Syes det rimelig? Ka det tekes at dataee er utfall av e slik fordelig (eller er det ku rimelig dersom fordelige flyttes mer oppover/til høyre)? Bjør H. Auestad Kp. 6: del 7/ 43 μ, målemodell, ormalatakelse, kjet varias; Eksempel Gjeomsitt av måligee er 4.35. Dersom H er riktig i virkelighete, så er gjeomsittet utfall av e ormalfordelig med forvetig 4 og varias.52,blåkurve: 3, 3,5 4, 4,5 5, 5,5 Prikkdiagram over blodsukkermåligee og ullfordelige til X i ee: N(4,.5 2 ) tetthet og til X: N(4,.25) tetthet. Dersom datagjeomsittet er stort i forhold til ullfordelige til X, har vi grulag for å forkaste H og istede tro på at H : μ>4 er riktig i virkelighete. Bjør H. Auestad Kp. 6: del 8/ 43 μ, målemodell, ormalatakelse, kjet varias; Eksempel Test for: H : μ =4. mot H : μ>4. Test: Forkast H dersom 3 X k Test på stadardisert form: Forkast H dersom 2 3 3.5 4 4.5 5 Blodsukkermåligee og ullfordelig til X: N(4,.25) tetthet..5.4.3 X 4..5 2. z α.2-3 -2-2 3 Blodsukkermåligee og ullfordelig til X 4..5 2 : N(, ) tetthet. Bjør H. Auestad Kp. 6: del 9/ 43

μ, målemodell, ormalatakelse, kjet varias; Eksempel Test for: H : μ =4. mot H : μ>4. Test: Forkast H dersom.5 X 4..5 2 z α..4.3.2-3 )( 3-2 - 2 Blodsukkermåligee og ullfordelig til X 4..5 2 : N(, ) tetthet. Dersom vi vil ha test med 5% sigifkasivå: velg α =.5 (z.5 =.645) Forkastigsområdet er itervallet (.645, ). Forkast H dersom utfallet av X 4. er i forkastigsområdet..5 2 Bjør H. Auestad Kp. 6: del / 43 μ, målemodell, ormalatakelse, kjet varias; Eksempel Test (m/ sig.ivå α =.5) for H : μ =4.mot H : μ>4. Forkast H dersom X 4..645.5 2 Data: utfall av teststørrelse: 4.35 4..5 2 =2.2 Side 2.2 er i forkastigsområdet (.645, ) (er større e kritisk verdi =.645), forkastes H Vi tror på H : μ>4; at virkelig blodsukkerihold er høyere e 4. Lag e test med sigifikasivå.25! ( X form og stadardisert form.) Bjør H. Auestad Kp. 6: del / 43 Oversikt. Hva er hypotesetestig? 2. i ulike sitausjoer: i. for forvetige, μ, med ormalatakelse og kjet varias, σ 2. ii. iii. for forvetige, μ, med stor og ormaltilærmig (variase, σ 2, ukjet). for suksessasylighete, p, i biomisk og ormaltilærmig. Bjør H. Auestad Kp. 6: del 2 / 43

μ, målemodell, stor og tilærmet ormalfordelig Målemodelle: måliger: x,...,x ; betraktes som utfall av: X,...,X, u.i.f. tilfeldige variable E(X i )=μ og Var(X i )=σ 2, i =,...,. σ 2 (og μ ) ukjet; (ige forutsetig om fordelig til X i ee eller om kjet varias) Test (m/ tilærmet sig.ivå α) for H : μ = μ mot H : μ<μ Forkast H dersom X μ S 2 z α Estimator for variase: S 2 = σ 2 = ( i= Xi X ) 2 Bjør H. Auestad Kp. 6: del 3 / 43 μ, målemodell, stor og tilærmet ormalfordelig Dersom H : μ = μ er riktig i virkelighete ( uder H ), har vi tilærmet at: X μ N(, ). S 2 Dvs.: ullfordelige til teststørrelse X μ S 2 er N (, )..5.4.3.2. α ) -3-2 - 2 3 N(, ) tetthet. ( Vi forkaster H dersom utfallet av teststørrelse faller i forkastigsområdet, (, z α ). Bjør H. Auestad Kp. 6: del 4 / 43 μ, målemodell, stor og tilærmet ormalfordelig, Eksempel Eksempel: Levetid til e type mikroorgaisme er kjet å være 5 dager ormalt. Uder påvirkig av e kjemikalie er levetide til 4 orgaismer registrert; prikkdiagram over datee:,, 2, 3, 4, 5, 6, Prikkdiagram over levetidee. Gjeomsitt: 3.68 dager Normalatakelse er urimelig (hvorfor?), og varias ukjet Problem: Er virkelig levetid lavere e 5? Vi vil teste: H : μ = μ =5 mot H : μ<μ =5 Bjør H. Auestad Kp. 6: del 5 / 43

μ, målemodell, stor og tilærmet ormalfordelig, Eksempel Målemodelle: dataee er utfall av =4uif. tilfeldige variable X,...,X 4 μ = E(X i )=virkelig levetid (med kjemikaliepåvirkig). SGT sier at X N(μ, σ2 ), tilærmet. Estimat av variase, σ 2 : s 2 = 4 (x i x) 2 = 225.3 39 Uder H (levetid er virkelig 5), er gjeomsittet (3.68) utfall av tilærmet e ormalfordelig med forvetig 5 og varias 225.3 =5.63, blå 4 kurve: i=,, 2, 3, 4, 5, 6, Bakterielevetidee og ullfordelig til X:N (5, 5.63) tetthet. Bjør H. Auestad Kp. 6: del 6 / 43 μ, målemodell, stor og tilærmet ormalfordelig, Eksempel Uder H (levetid er virkelig 5), er gjeomsittet (3.68) utfall av tilærmet e ormalfordelig med forvetig 5 og varias 225.3 =5.63, blåkurve: 4,, 2, 3, 4, 5, 6, Bakterielevetidee og ullfordelig til X. Dersom datagjeomsittet, 3.68, er lite i forhold til ullfordelige til X, har vi grulag for å forkaste H og istede tro på at H : μ<5 er riktig i virkelighete. Stadardisert teststørrelse:.5 X 5.4 ; Nullfordelig N (, ), til. S 2.3 4.2 Små utfall av teststørrelse idikerer at H er rktig i virkelighete.. α ) -3-2 - 2 3 N(, ) tetthet. ( Bjør H. Auestad Kp. 6: del 7 / 43 μ, målemodell, stor og tilærmet ormalfordelig, Eksempel Vi forkaster H dersom utfallet av teststørrelse faller i forkastigsområdet, (, z α ). Sig.ivå 5%: α =.5 z.5 =.2.645 = kritisk verdi. α -2 ) ( 3-3 - 2 Utfall: 3.68 5 225.3 4 =.56 >.645.5.4.3 N(, ) tetthet. Side utfallet av teststørrelse ikke er i forkastigsområdet (-.56 er ikke midre e -.645), gir ikke dataee grulag for å hevde at H : μ<5. (Dataee gir ikke grulag for å hevde at kjemikaliepåvirket levetid i virkelighete er midre e 5 dager.) Bjør H. Auestad Kp. 6: del 8 / 43

μ, målemodell, stor og tilærmet ormalfordelig Test (m/ tilærmet sig.ivå α) for H : μ = μ mot H : μ>μ Forkast H dersom X μ z α S 2 Vi forkaster H dersom utfallet av teststørrelse faller i forkastigsområdet, (z α, )..5.4.3.2. α -3-2 - 2 3 )( N(, ) tetthet. Bjør H. Auestad Kp. 6: del 9 / 43 μ, målemodell, stor og tilærmet ormalfordelig Eksempel: E type tabletter ieholder et stoff R. Iholdet pr. tablett må helst ikke overstige 3 mg. I e kotroll ble iholdet i 5 tilfeldig utvalgte tabletter registrert. Resultat (x,...,x 5 ): Gjeomsitt: x =3.7; empirisk stadardavvik: s = 5 5 i= (x i x) 2 =4. Gir dette grulag for å hevde at iholdet av R er mer e 3 mg? Formuler problemet som et hypotesetestigsproblem, og gjeomfør teste! Ev.: Bruk sigifikasivå... Bjør H. Auestad Kp. 6: del 2 / 43 Oversikt. Geerelt om hypotesetestig 2. i ulike sitausjoer: i. for forvetige, μ, med ormalatakelse og kjet varias, σ 2. ii. iii. for forvetige, μ, med stor og ormaltilærmig (variase, σ 2, ukjet). for suksessasylighete, p, i biomisk og ormaltilærmig. Bjør H. Auestad Kp. 6: del 2 / 43

Geerelt om hypotesetestig Vi ka kokludere feil. To typer feil ka gjøres: type I-feil, ogtype II-feil Virkelighete H riktig H riktig Koklusjo på test: Forkast H I-feil ok! Koklusjo på test: Behold H ok! II-feil Bjør H. Auestad Kp. 6: del 22 / 43 Geerelt om hypotesetestig Def.: Sigifikasivå til test = P (forkaste H H riktig) Sigifikasivået er sasylighete at utfallet faller i forkastigsområdet ved e tilfeldighet (og at vi kokluderer med H ), år i virkelghete H er riktig. ph-eks; Forkast H dersom X 6..645 =5.48 Forkastigsområde: (, 5.48) Stadardisert teststørrelse: Test: Forkast H dersom X 6. z α =.645 Fork.omr.: (,.645).2.8.4 4 5 6 7 8 Nullfordelig til X: N (6,.).5.4.3.2. α -3-2 - 2 3 )( Nullfordelig, N (, ) Bjør H. Auestad Kp. 6: del 23 / 43 Geerelt om hypotesetestig Eks.: ph-måliger Det ble av oe hevdet at ma ikke skulle påstå at ph e var lavere e 6. dersom ikke gjeomsittet var lavere e 5.. Dvs. bruke teste: Forkast H dersom X 5. Eller: forkast H dersom X 6. 3.6.4.2.8.6.4.2 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 N (6,.) tetthet Hva er sigifikasivået til dee teste? Bjør H. Auestad Kp. 6: del 24 / 43

Geerelt om hypotesetestig Sigifikasivå til test = P (forkaste H H riktig) Dvs.: sigifikasivå til test = P (gjøre type I-feil ) Virkelighete H riktig H riktig Koklusjo på test: Forkast H I-feil ok! Koklusjo på test: Behold H ok! II-feil Lavt sig.ivå: lite sasylighet for type I-feil. Type II-feil. Sasylighete for å ikke gjøre type II-feil år H riktig har med testes styrke å gjøre; jf. kp. 6.4 i boke (seiere). Bjør H. Auestad Kp. 6: del 25 / 43 Oversikt. Iledig 2. i ulike sitausjoer: i. for forvetige, μ, med ormalatakelse og kjet varias, σ 2. ii. iii. for forvetige, μ, med stor og ormaltilærmig (variase, σ 2, ukjet). for suksessasylighete, p, i biomisk og ormaltilærmig. Bjør H. Auestad Kp. 6: del 26 / 43 biomisk; stor Bjør H. Auestad Kp. 6: del 27 / 43

p, i biomisk og ormaltilærmig biomisk; stor Eksempel: Et bestemt parti hadde 2% oppslutig ved sist valg. Meigsmålig å: 9 av 5 spurte (8.2%) vil stemme på partiet. Problem: Har oppslutige gått ed? Ved sist valg: N stemmebrettigede M stemte på aktuelt parti M/N =.2 Problem: Hva er å M? Hva er å p = M/N? Bjør H. Auestad Kp. 6: del 28 / 43 p, i biomisk og ormaltilærmig p = M N : adel som vil stemme partiet å biomisk; stor (ukjet parameter) Estimat av p: 9 5 =.82 Er det grulag for å hevde at (virkelig) oppslutig har gått ed? Vi vil teste: H : p =.2 mot H : p<.2 Bjør H. Auestad Kp. 6: del 29 / 43 p, i biomisk og ormaltilærmig biomisk; stor Vi betrakter resultatet av meigsmålige (9 av 5) som utfall av e tilfeldig variabel Y, der Y B(, p), = 5, p: ukjet adel. (Egetlig: Y hyperg.(m,n,), me til. Y B(, p)) Dersom H er riktig, har Y fordelige B(5,.2):.5.4.3.2. 7 8 9 2 3 Dette beskriver hva som er tekelige utfall uder H Bjør H. Auestad Kp. 6: del 3 / 43

p, i biomisk og ormaltilærmig biomisk; stor Normaltilærmiger: Rød kurve: N (, 8) tetthet Geerelt har vi, år Y B(, p) og p( p) :.5.4.3.2. 7 8 9 2 3 Y p = p p p( p) p( p) N(, ), tilærmet. ( p = Y ) Bjør H. Auestad Kp. 6: del 3 / 43 p, i biomisk og ormaltilærmig biomisk; stor Teststørrelse: vi ka bruke p = Y (forvetigsrett estimator for p) ( ) Nullfordelig (tilærmet): N.2,.2(.2) 5 Små verdier/utfall av p idikerer at H : p<.2, erriktig. 25 2 5 5..5.2.25.3 Bjør H. Auestad Kp. 6: del 32 / 43 p, i biomisk og ormaltilærmig biomisk; stor Stadardisert teststørrelse: Små verdier/utfall av p, 25 2 5 5..5.2.25.3 svarer til små verdier/utfall av teststørrelse p.2.5.4.3.2(.2) 5.2. Nullfordelig: N (, ).. α -2 ) ( 3-3 - 2 N(, ) tetthet. Vi forkaster H dersom utfallet av teststørrelse faller i forkastigsområdet, (, z α ). Bjør H. Auestad Kp. 6: del 33 / 43

p, i biomisk og ormaltilærmig biomisk; stor Gjeomførig/koklusjo: Vi forkaster H dersom utfallet av teststørrelse faller i forkastigsområdet, (, z α ). Sig.ivå 5%: α =.5 z.5 =.645 = kritisk verdi. α -2 ) ( 3-3 - 2.5.4.3.2 N(, ) tetthet. Utfall av: p.2.2(.2) 5 :.82.2.2(.2) 5 =. >k=.645 Side utfallet av teststørrelse ikke er i forkastigsområdet (-. er ikke midre e -.645), gir ikke dataee grulag for å hevde at H : p<.2. (Dataee gir ikke grulag for å hevde at partiets oppslutig har gått ed.) Bjør H. Auestad Kp. 6: del 34 / 43 p, i biomisk og ormaltilærmig biomisk; stor Geerelt Situasjo: Biomisk modell (ev. som tilærmig til hypergeom.) Data: atall suksesser av mulige er registrert. Resultatet betraktes som utfall av de tilfeldige variable Y der Y B(, p) og p er slik at fordelige til Y ka tilærmes med ormalfordelige. La p = Y (estimator for p). Bjør H. Auestad Kp. 6: del 35 / 43 p, i biomisk og ormaltilærmig biomisk; stor Vi vil teste: H : p = p mot H : p<p Teststørrelse: p p p ( p ) Nullfordelig (tilærmet): N (, ) Små verdier idikerer at H er riktig..5.4.3.2. α -3-2 - 2 3 )( Nullfordelig, N (, ) Test (m/ til. sig.ivå α): forkast H dersom p p p ( p ) z α Bjør H. Auestad Kp. 6: del 36 / 43

p, i biomisk og ormaltilærmig biomisk; stor Vi vil teste: H : p = p mot H : p>p Teststørrelse: p p p ( p ) Nullfordelig (tilærmet): N (, ) Store verdier idikerer at H er riktig..5.4.3.2. α -3-2 - 2 3 )( Nullfordelig, N (, ) Test (m/ til. sig.ivå α): forkast H dersom p p p ( p ) z α Bjør H. Auestad Kp. 6: del 37 / 43 p, i biomisk og ormaltilærmig, eksempel biomisk; stor Produksjo av tallerkeer; kvalitetsovervåkig Stikkprøve på 2 tilfeldig valgte tallerkeer tas regelmessig av produksjoe og atall defekte registreres. Normalt: 5% defekte i det lage løp Basert på resultatet av e stikkprøve, vil vi teste: H : p =.5 mot H : p>.5 Lag e test med tilærmet sigifikasivå 5%, og lag e test med tilærmet sigifikasivå %. Hva er tilærmet sigifikasivået til teste: Forkast H dersom det er mist 2 defekte i stikkprøve? Bjør H. Auestad Kp. 6: del 38 / 43