OPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 34 Avsnittene (og appendiksene) viser til utgave 8 av læreboken, som er like i utgavene 7 og 6 når ikke annet er oppgitt. Gruppene starter opp i uke 35. Hver student er satt opp på en gruppe og gruppetiden er oppgitt i timeplanen. Det er selvsagt også mulig å spørre gruppeleder om oppgavene fra Kapittel P fra oppgavesettet Uke 33. Appendiks I: 46, 53. Avsnitt P.6: 7, 8 På settet: S.1, S.2, S.3. Oppgaver til seminaret 26/08 Husk at seminaret finnes i to varianter, begge fredag 12.15-14.00: Seminar 1 Rask variant, Aud. A, Allégaten 66, der oppgavene gjennomgås på 1 time (og andre time brukes på gjennomgang av oppgavene under Mer dybde fra oppgavesettet uken før); Seminar 2 Sakte variant, Aud. B, Allégaten 66, der oppgavene gjennomgås på 2 timer. Fredag 26/08 vil det raske seminaret imidlertid kun gå 12:15-13:00, siden det ikke finnes noen ukesoppgaver under Mer dybde fra forrige uke. Oppgaver til gruppene uke 35 (Røde tall i parentes viser til utgave 7 av læreboken og er de samme som i utgave 6 når ikke annet er oppgitt.) Løs disse først så disse Mer dybde Appendiks I 5, 23, 34, 37, 51 10, 29, 41, 47, 55 57 Avsnitt P.6 3, 4 10, 11 23(17), 24(18), 25(19) På settet G.1, G.2, G.3 G.4, G.5, G.6 G.7, G.8, G.9, G.10 Oppgavene under Mer dybde vil behandles i 2. time av det raske seminaret 2/9. Husk også orakeltjenesten som går hver fredag etter seminarene, der dere kan få hjelp til oppgaver og teori. Obligatoriske oppgaver Oppgavene 1 og 2 i Obligatorisk innlevering 1 (innleveringsfrist mandag 26/09). 1
2 OPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 34 OPPGAVE S.1 (Eksamen UiB-H02-Oppg. 1) La z 1 = 1 1 2 + i 2, z2 = 2 2 1 1 2 + i 2. 2 2 (a) Beregn z 1 + z 2 og z 1 /z 2 og skriv løsningene på formen x + iy. Tegn z 1, z 2, z 1 + z 2 og z 1 /z 2 i det komplekse planet. (b) Skriv z 1 på polar form. Regn ut z1. 4 (c) Finn alle komplekse løsninger til ligningen z 4 + 1 = 0. OPPGAVE S.2 (Eksamen UiO) La z 1 være et komplekst tall med z = 1. (a) Vis at z 1 er rent imaginær. z+1 (b) Hvilken kjent plangeometrisk setning er en konsekvens av (a). OPPGAVE S.3 Vis ved hjelp av induksjon at n 3 n er delelig på 3 for alle naturlige tall n. OPPGAVE G.1 (Eksamen UiB-H04-Oppg. 1) (a) Betrakt de to komplekse tallene z = 3 + i og w = 2 i 2. Regn ut z + w og z/w. Skriv z, w og z/w på polar form. Avmerk z, w, z + w og z/w i det komplekse plan. (b) Finn alle løsningene til z 3 = 8i. OPPGAVE G.2 Løs ligningen iz 3 + 8 = 0 ved å bruke Oppgave G.1(b).
OPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 34 3 OPPGAVE G.3 (Eksamen UiB-H09-Oppg. 8) OPPGAVE G.4 (Eksamen UiB-H00-Oppg. 4) (a) Skriv det komplekse tallet 2+5i 2+ på formen a + bi. 5i (b) Finn et argument og absoluttverdien (modulus) til det komplekse tallet z = 3 3i. Hva blir z 6? (c) Finn alle komplekse løsninger til ligningen z 10 + 2z 5 + 2 = 0. OPPGAVE G.5 (Eksamen UiB-V99-Oppg. 3b) Løs ligningen z 2 + z = 1/4 og og merk av løsningene i det komplekse planet. OPPGAVE G.6 (Bernoullis ulikhet) Vis ved hjelp av induksjon at for alle heltall n 0 gjelder (1 + x) n 1 + nx for x 1. OPPGAVE G.7 Bruk Oppgave P.6.25(19) til å konkludere at et polynom med reelle koeffisienter av odde grad alltid har en reell rot.
4 OPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 34 OPPGAVE G.8 (Eksamen UiO) (a) Finn alle komplekse løsninger av ligningen (1 + z) 5 = (1 z) 5, for eksempel uttrykt ved w = e 2πi/5. (b) Finn alle komplekse løsninger av ligningen (1 + z) n = (1 z) n, der n er et gitt naturlig tall. (c) Vis at løsningene i (b) alle ligger på en rett linje i det komplekse planet. OPPGAVE G.9 (Eksamen UiO) Anta at w = 1+ti, der t er reell. 1 ti (a) Vis at når t varierer, så ligger w på en sirkel S i det komplekse plan. (b) Vis at argumentvinkelen θ til w er bestemt ved tan(θ/2) = t. OPPGAVE G.10 Tårnet i Hanoi eller Brahmas Tårn er et matematisk spill som sies å ha blitt oppfunnet av den franske matematikeren Édouard Lucas i 1883. Spillet består av tre pinner og en rekke runde skiver med et hull i midten. Skivene er av varierende bredde, og kan plasseres i en hvilken som helst av de tre pinnene. Spillet starter med alle diskene plassert over en pinne, ordnet etter størrelse, med den minste øverst, som vist i figuren under. Spillet går ut på å flytte alle skivene til en annen pinne, etter følgende regler: Bare én skive av gangen kan flyttes. Flyttingen foregår ved at den øverste skiven fra en av pinnene flyttes til en annen pinne og legges på toppen av andre skiver som allerede er der. Ingen skive kan plasseres over en mindre skive. Hensikten med spillet er å få flyttet alle skivene fra en pinne til en annen med så få flyttinger som mulig.
OPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 34 5 I denne oppgaven skal vi regne ut minste antall flyttinger F (n) når vi starter med n 1 ringer. (a) Vis at vi har F (n) = 2F (n 1) + 1 for n 2. (Dette kalles en rekursjonsformel.) (b) Bruk formelen i (a) og matematisk induksjon til å vise at F (n) = 2 n 1. (c) Spillet tar utgangspunkt i følgende gamle legende, som finnes i flere varianter: Ved jordens begynnelse plasserte guden Brahma tre stolper i et tempel i Benares i India, verdens midtpunkt. På en av stolpene plasserte han 64 gullskiver, med den største nederst, og så ble skivene mindre og mindre oppover stolpen. Rundt år 3500 f.kr. fikk munkene i byen i oppgave av guden å flytte alle ringene fra en stolpe til en annen ved å følge reglene gitt over. Når oppgaven var fullført skulle verden gå under og bli til støv. Hvis vi antar at munkene klarer å flytte en skive i sekundet og aldri gjør noen feil, hvor lang tid vil det da ta før verden går under? Om dere ønsker, kan dere spille på denne vevsiden http://www.superkids.com/aweb/tools/logic/towers/ Fasit/hint på neste side
6 OPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 34 Fasit og hint til oppgavene For fasit/løsningsforslag til gamle eksamensoppgaver fra UiB, se vevsiden http://math.uib.no/adm/eksamen/content/mat111/index.html Oppgave G.2: Hint: gang med i og flytt over, så får du samme ligning som i Oppgave G.1(b). Oppgave G.6: Se fullstendig løsningsforlag neste side. Oppgave G.7: Oppgave P.6.25(19) sier at alle ikke-relle røtter forekommer i par (z og dens kompleks konjugerte z). Faktorteoremet (Teorem 1 i P.6) gir at det må forekomme minst én reell rot. Oppgave G.8: (a) wk 1, k = 1, 2, 3, 4, 5. (b) wk n 1 w k +1 wn k+1, k = 1, 2,..., n, w n = e 2πi/n. Oppgave G.10. (a) Kall pinnen hvor de n skivene er for A og de to andre for B og C. Anta at vi vil flytte alle skivene fra A og C. For å flytte n skiver fra pinne A til pinne C, bruk følgende strategi: Flytt n 1 skiver fra A til B. Dette etterlater én skive alene på A, den største skiven. Flytt den største skiven fra A til C. Flytt de n 1 skivene som er på B over til C slik at de plasseres oppå den største skiven. Overbevis deg selv om at dette er strategien med minst antall flyttinger og bruk dette til å utlede formelen. (c) Det ville ta munkene minst 2 64 1 = 18 446 744 073 709 551 615 sekunder, som er ca. 580 milliarder år. Til sammenligning mener forskere at universet er mellom 12 og 16 milliarder år gammelt.
OPPGAVESETT MAT111-H16 UKE 34 7 Vi viser ulikheten Løsningsforslag Oppgave G.6 (1) (1 + x) n 1 + nx for x 1. for alle heltall n 0 ved induksjon og kontrollerer først at den er riktig for n = 0. Setter vi inn n = 0 i (1) får vi 1 = (1 + x) 0 (1 + 0 x) = 1 for x 1, som er (åpenbart) riktig. Anta så at ulikheten holder for et heltall k 0, dvs. vi antar at (2) (1 + x) k 1 + kx for x 1. Multipliserer vi begge sidene av (2) med x + 1 (som er ikkenegatv siden x 1, får vi: (1 + x) k+1 (1 + kx)(1 + x) og ved hjelp av dette får vi: (1 + x) k+1 (1 + kx)(1 + x) = 1 + (k + 1)x + kx 2 1 + (k + 1)x, som viser at (1) er riktig for n = k + 1. Ved induksjon følger Bernoullis ulikhet for alle heltall n 0. LYKKE TIL! Andreas Leopold Knutsen