TTT465 Elektronik ytemdeign og -analye II Løningforlag Analyeøving 4 Oppgave a Vi tarter med å finne ytemfunkjonen: H( = /C R + L + /C = RC + LC + = /LC + R L + /LC = ω0 + R L +. ω 0 Videre må vi finne ut hva polene til ytemet er, p, = R L ± R L 4ω 0. ( Ved ekakt kritik demping er polene ammenfalt til én reell pol p = p = p = R, altå når L kvadratrot-delen er null. Dv at = R = R L = 4ω 0 = 4 LC 4 L C = L C. ( Hvi du benyttet det generelle uttrykket fra videoforelening med ζ = for kritik demping, kal du ha fått amme reultat. Dette tilfellet er ekvivalent med å i at leddet under kvadratrota i rot-uttrykket over er ekakt lik null, fordi det er lik kritik dempning opptår når polene faller ammen til én reell pol. b Ved å bruke de gitte verdiene får vi R = 00mH 0µF = 00Ω (3 Målte verdier i tetoppettet er C = 0.84µF, R = 83.6Ω og polemottand R L =.7Ω. Den målte mottanden er noe lavere enn beregnet verdi. Dette kan kylde at vi allerede har tap i kreten både i ledningnett, pole og kondenator. Som vi er er målt verdi for kondenator noe
høyere enn i beregningen, om vil gjøre at mottanden må bli mindre. Spolen er ikke målt, men hvi den er noe mindre enn antatt vil det påvirke i amme retning. Deuten er det uikkerhet knyttet til måleuttyr og manuell måling. Et mer enitivt poteniometer gir deuten R = 76.4Ω, men med feilkildene tatt i betraktning er ikke dette å vert ut. Når mottandverdien enke vil kvadratrot-delen i ligning bli komplek, og ytemet går over i underkritik dempet tiltand med prangrepon om vinger eg inn mot likevekt. Dette fenomenet øker på når mottanden går mot null og vil før eller iden gjøre ytemet mer og mer utabilt med tore tranienteffekter. Ved økt mottandverdi øker dempingen i ytemet, og ytemet går over i overkritik dempet tiltand. Nå vil ytemet oppføre eg mer og mer om et førteorden ytem, og ved økende mottand vil det ta lenger og lenger tid før ytemet oppnår likevekt. Oppgave Før vi går videre kan pare en del kriving ved å inne noe veentlig, nemlig at impulreponen er den inver Laplace-tranformerte ytemfunkjonen, h(t = L {H(}. Hvorfor? Fordi en enhetimpul på inngangen alltid blir når den Laplace-tranformere, lik at derom v i (t = δ(t = V i ( = L {δ(t} =, å får vi v o (t = L {H(V i (} = L {H( } = L {H(} = h(t. (4 Siden dette alltid er tilfelle finner vi rett og lett impulreponen ved å inver Laplace-tranformere H(: a { } h(t = L {H(} = L τ + τ = τ e t τ u(t, (5 om vit i Figur. Figur : Impulrepon for ytem i oppgave a.
b { } h(t = L {H(} = L + τ (6 Her har vi noe på formen F (, der vi vet L {F (}, men får trøbbel pga at gange inn. Men vi vet at å gange med i -plan er det amme om å derivere i tid. { Ved å} lå opp i en tabell df(t over operajonelle Laplace-tranformer, finner vi følgende relajon, L = F ( f(0, dt lik at { } df(t F ( = f(0 + L. dt Men f(0 = e 0 τ u(0 =, å vi får dermed om vit i Figur. h(t = L {} + df(t dt = δ(t + d { } dt L + τ h(t = δ(t τ e t τ u(t, (7 Figur : Impulrepon for ytem i oppgave b Vi kunne gjort dette på en langt enklere måte, ved at + τ = + τ τ + τ = τ +, τ om vi da umiddelbart kan inver Laplace-tranformere og få deltaen direkte og dempeleddet om over. Det er uanett fint å øve eg på å bruke derivajonammenhengen, da dette ofte er et hendig trik. Vi vil deuten benytte triket med dobbeltderiverte enere i dette løningforlaget. c { } + { h(t = L {H(} = L τ + τ + = L τ + τ + } τ + τ Vi får to ledd, hvorav førte ledd er funnet i b og andre ledd er funnet i b. Vi får dermed h(t = [δ(t τ ] [ ] e tτ u(t + e t τ u(t, τ 3
men iden vi har definert = +, kan vi forenkle videre til τ τ τ t e τ u(t h(t = δ(t + τ τ τ t = δ(t e τ u(t, τ (8 om vit i Figur 3. Figur 3: Impulrepon for ytem i oppgave c. d h(t = L {H(} = L R R + R + τ Ved amme argumentajon om i del b finner vi at dette blir R t τ h(t = δ(t e u(t, R + R τ om vit i Figur 4. Figur 4: Impulrepon for ytem i oppgave d. 4 (9
e h(t = L {H(} = = ( R R + R ( R R + R L L ( ω 0 ( [ ] ω 0 + R R C+L R R +R + R +R [ ] + RRC+L R +R ω0 + R R +R ω0. (0 Uttrykket om kal tranformere er ganke innviklet, men vi vet at det kan faktoriere lik at vi får det på formen ( p ( p, der p, = ( R R C + L R + R ( = ω 0 R R C + L R + R [ ( = ω 0 R R C + L R + R [ ( = ω 0 R R C + L R + R [ ( = ω 0 R R C + L R + R [ ( = ω 0 R R C + L R + R ω 0 ± ± ± ± ± ± (R R C + L ω0 4 R + R 4 R ω0 R + R (R R C + L 4R R + R ω0 (R + R ] RR C + L + R R LC 4RLC 4R R LC (R + R ] RR C + L + R R LC 4RLC 4R R LC (R + R ] RR C + L R R LC 4RLC (R + R ] (R R C L 4RLC (R + R. ( Hvorvidt dette blir reelt eller komplekt avhenger av komponentene om velge, og komplekiteten i dette generelle uttrykket gjør at det ikke er noen vit i å gå videre herfra. Oppgaven ber o anta underkritik demping, noe om betyr at polene er komplek-konjugerte lik at p = p = p. Vi får da polene på generell form, Dette gir p = p = α + jβ ( p ( p = ( p( p = p = p = α jβ. ( (( + α jβ(( + α + jβ = ( + α + β = β β ( + α + β = β F ( 5
Herfra benytter vi triket med andrederiverte, fordi tabellverket gir o inver Laplace-tranform for F ( over om en dempet inu, e αt in(βtu(t; { } L β F ( = [ d { }] f(t df(0 β dt + L {f(0} + L dt df(0 f(0 = 0, = 0 + β co(0 = β dt = β L { F ( } = [ d ] f(t β dt + β L {} = [ d ] f(t β dt + βδ(t = δ(t + u(t d [ αe αt in(βt + βe αt co(βt ] β dt = δ(t + u(t [ α e αt in(βt αβe αt co(βt β e αt in(βt ] β = δ(t [ αβ co(βt + (β α in(βt ] e αt u(t. (3 β Nå etter vi inn igjen i uttrykket fra ligning 0 og får ( { } R h(t = L R + R β F ( ( [ R h(t = δ(t [ αβ co(βt + (β α in(βt ] ] e αt u(t, (4 R + R β hvor α = ω 0 om vit i Figur 5. ( R R C + L R + R, β = ω 0 (R R C L 4RLC (R + R,,6 0,8-0,8 0 0,8,6,4 3, 4 4,8 5,6 6,4 7, -0,8 -,6 -,4 Figur 5: Impulrepon for ytem i oppgave e plottet for R /(R + R = /3 og β = 4α. 6
f ( h(t = L {H(} = L { ( = R C e t R C u(t R C } + R C = τ e t τ u(t, τ, = R, C, (5 om vit i Figur 6. Figur 6: Impulrepon for ytem i oppgave f. g Her har vi amme form om i del e, men uten i telleren. Vi får på generell form, ( h(t = L {H(} = L ( τ τ + R C + R C + τ τ ( { } = L. (6 τ τ ( p ( p Oppgaven ber o anta overkritik dempet ytem, om betyr to ditinkte, reelle poler. Polene er her gitt ved, p, = ( + ( ± + 4 R C R C R C R C τ τ = α ± β, β < α. (7 7
Vi bryr o ikke om alle komponentene, men bruker delbrøkopppalting for å løe uttrykket, ( { } h(t = L τ τ ( p ( p ( { A = L + B } τ τ p p A = ( p = =p (p p B = ( p = =p (p p ( { } = h(t = L τ τ (p p ( p + (p p ( p ( [ ] h(t = τ τ (p p ept + (p p ept u(t ( [ h(t = τ τ (β e( α+βt ] (β e( α βt u(t ( e αt [ h(t = e βt e βt] u(t τ τ β ( h(t = e αt inh(βtu(t, (8 τ τ β om vit i Figur 7. 0, 0,05-0,4 0 0,4 0,8,,6,4,8 3, 3,6 4-0,05 Figur 7: Impulrepon for ytem i oppgave g plottet for /τ τ β = og 4β = α. Oppgave 3 Poler og eventuelle nullpunkter har du enten allerede fra H( i Analyeøving 3, eller å er de funnet i oppgave ved at H( ble faktoriert. Kry betyr poler (når funkjonen går mot uendelig pga ingularitet, deler på null, men ring betyr null (når teller blir null lik at hele funkjonen blir null. Amplitudereponen kan med litt erfaring ta direkte ved å e på kretkjemaet, eller en kan analyere pol/nullpunkplottet ved å la imaginær ake være frekven, og å e på avtand til 8
poler/nullpunkt etterom frekvenen øker oppover fra origo (ref videoforelening. Ogå viktig å huke på eventuelle dempeledd om e tydeligt fra ytemfunkjonene, H(. a Som vit i figur 8, har dette ytemet kun en reell pol, og økende frekven ender lenger og lenger unna denne, dv avtagende repon for økende frekven lavpafilter. Dette e lett ut fra at polen kortlutter lave frekvener og blokkerer høye. Figur 8: Poler nullpunkter og amplituderepon for kret i 3a. b Som vit i figur 9, har vi en reell pol og ett nullpunkt i origo. Dermed vet vi med en gang at lave frekvener filtrere bort. Økende frekven gir tørre avtand til både nullpunkt og pol, lik at uttrykket går mot dv høypa. Ser vi på kreten er dette rett fram, kondenator perrer lave frekvener, kortlutter høye. Figur 9: Poler nullpunkter og amplituderepon for kret i 3b. c Som vit i figur 0, har vi en reell pol og et reelt nullpunkt ikke i origo. Dv at vi aldri vil få fulltendig utlokning elv ved DC. Dette er en ogå av dempeleddet (penningdeleren i kreten. Eller amme om i forrige deloppgave. Kondenator vil kortlutte og utelukke mottand for høye frekvener, blokkere og la all trøm gå i mottand ved lave frekvener. Høypa med gitt demping i toppbånd. d Som vit i figur, har vi en kombinajon av oppførel fra 3b og 3c. Her har vi helt klart et høypafilter, men denne gangen med en gitt demping i pabåndet og utlokning i toppbåndet. 9
Figur 0: Poler nullpunkter og amplituderepon for kret i 3c. Figur : Poler nullpunkter og amplituderepon for kret i 3d. e Som vit i figur, har vi her et komplek-konjugert polpar og dobbelt nullpunkt i origo. Derav definitivt et høypafilter. Ser vi på kreten vil pola kortlutte lave og blokkere høye frekvener, men kondenator gjør motatt. Slik kreten er lagt opp vil de to jobbe i amme retning, dv andreorden høypa. Vi er ogå dempeleddet fra kreten og/eller H(. Dermed høypa med gitt demping i pabånd, amt dobbelt å bratt dempingkurve fra pa- til toppbånd. f Som vit i figur 3, har vi kun en reell pol. Dette blir da et lavpafilter om i del a, men med en forterkningfaktor i tillegg om avhenger av komponentverdier rundt op-ampen. Legg merke til at det nå ikke er å enkelt å kun e på kreten, altå er vi bedre relevanen av å tegne opp poler/nullpunkter. g Som vit i figur 4, har vi her to ditinkte reelle poler om antatt i oppgaven. Utover det er det ingenting peielt å nevne, ved økende frekven vil avtanden til begge polene øke og reponen går da mot null. Vi får dermed et andreorden lavpafilter med en gitt forterkningfaktor. Oppgave 4 Spolen vil kortlutte lave frekvener, men kondenatoren vil kortlutte høye frekvener. Siden vi måler penningen over parallellen av die, vil vifå et båndpafilter. Reonanfrekvenen, eller pafrekvenen, vil være gitt ved ω0 = πf0 = / LC. 0
Figur : Poler nullpunkter og amplituderepon for kret i 3e. Figur 3: Poler nullpunkter og amplituderepon for kret i 3f. b Finner ført ytemfunkjonen: L C H( = H( = Vo = Vi L + R+ C L C L + = L/C R LR + C + L C = RLC L /RC = + L + R + RC + LC C, τ + τ + ω0 ω0 = τ = RC,. LC (9 Reonanfrekvenen blir dermed, ω0 = = 36rad/ ec π 503Hz. 00mH µf LC (0 Sprangreponen finner vi om vo (t = L =L {H( Vi (} = L τ ( p ( p τ + τ + ω0, p, = ± τ =L τ + τ + ω0 ω0. (τ (
Figur 4: Poler nullpunkter og amplituderepon for kret i 3g. Nå må vi underøke hvilken tiltand ytemet befinner eg i med oppgitte verdier. Polene blir med komponentverdier, p, = 000Ω µf ± ( 000Ω µf 00mH µf = 500 ± 50000 0000000 = 500 ± j 0M 0.5M 500 ± j3.5. ( Vi er altå at ytemet er i underkritik tiltand med to komplek-konjugerte poler, p = p = p. Kriteriene for når ytemet vekler tiltand, finner vi ved å ført jekke for underkritik demping, dv når polene er kompleke. Dette kjer om vi har ett når andre ledd under kvadratrota er tørre enn førte ledd, lik at rota blir negativ (komplek, ω 0 > (τ LC > 4R C R > L 4C R > L C = 00mH µf 58Ω. (3 Det vil i at R > 58Ω gir underkritik oppførel med komplek-konjugerte poler, R = 58Ω gir ekakt kritik oppførel med reelle, like poler, men R < 58Ω gir overkritik oppførel med to ditinkte, reelle poler. Med in R = kω, er ytemet her godt innenfor underkritik regime. Tilbake til prangreponen får vi nå, { } { } v o (t = L 000 = L τ ( p ( p ec ( p( p = 000 { } ec L (( + 500 j3.5(( + 500 + j3.5 = 000Hz { } 3.5 rad L 3.5rad/ ec ( + 500 + (3.5 = 000Hz { } L ω ω ( + α + (ω ec (4
På denne formen gjenkjenner vi en ekponenielt dempet inu fra tranform-tabellene og får til lutt, v o (t = 0.3e 500t in(3.5tu(t. (5 Legg merke til at vingefrekvenen i prangreponen, f tep 3.5 496Hz, er noe lavere enn π egenfrekvenen, f 0 503Hz, til filteret, om temmer med hva vi har lært i videoforeleningene. Dette er vi ogå av ligning i det kompleke tilfellet. c NB: alle figurene i denne delen vier et prangpåtrykk der frekvenen måle til 00Hz. Dette er feil. Påtrykket er 50Hz, men med oppløning på kun én periode tror mydaq at det er bare halve perioden om er den faktike perioden. Oppløningen er m per rute Figur 5 vier ytemet om oppgitt i oppgaven. Som vi er av bodeplottet, er reonanfrekvenen Figur 5: Sprangrepon og filterkarakteritikk for ytemet oppgitt i oppgave 4 med R = kω. ca ω 0 = 50Hz, altå temmer det bra med teorien. Sprangreponen har amme form om utregning, men vi er at vingefrekvenen f = 43Hz er noe lavere enn forventet. Denne ble ikke målt manuelt, å det er vankelig å i om verdiene i bildet er ekakt. Det amme gjelder amplituden, om ikke ble målt ekakt, men reponen er i alle fall ifølge utregning. Ved å ammenligne alle figurene 5, 6, 7 og 8, er vi at ved å endre dempeleddet mot null går ytemet over i overkritik demping og filteret blir mer bredbåndet. Ved å øke dempeleddet går ytemet over i underkritik demping og filteret blir karpere/mindre båndbredde amtidig om dempingen i hele ytemet naturligvi øker. 3
Figur 6: Sprangrepon og filterkarakteritikk for ytemet oppgitt i oppgave 4 med R =.7kΩ. Figur 7: Sprangrepon og filterkarakteritikk for ytemet oppgitt i oppgave 4 med R = 9Ω. 4
Figur 8: Sprangrepon og filterkarakteritikk for ytemet oppgitt i oppgave 4 med R = 3Ω. 5