Diffaksjon og intefeens med lase Hensikt Oppsettet pa bildet bukes til a undesøke diffaksjonsmønste fa ulike spalte og gittee. Na laselys teffe et diffaksjonsobjekt, vil intensitetsmønsteet i obsevasjonsplanet væe gitt som absoluttkvadatet av Fouietansfomen av feltamplituden i diffaksjonsplanet. Dette komme vi fem til desom vi benytte oss av det sa kalte Huygens-Fesnel-pinsippet, som sie at vi kan modellee a pninge i diffaksjonsplanet som en samling med infinitesimale punktkilde som sende ut kulebølge. Diffaksjon e i sa ma te et intefeensfenomen mellom mange punktkilde. Pa samme ma te som lysdiffaksjon skje pa spalte med spaltebedde pa støelse med lysbølgelengden, kan man gjøe diffaksjonsfosøk med øntgen-, elekton- og nøytonsta ling pa ulike mateiale. Bølgelengden til sta lingen e da av samme støelsesoden som avstanden mellom atomene i mateialet som studees. 1
Bakgunnsteoi Oppsettet i denne teksten handle om diffaksjon og intefeens. Vi buke odet intefeens til å beskive feltintensiteten i punkte i ommet de bølge ovelappe. Den totale feltamplituden i et gitt punkt e da summen av de ulike bølgeamplitudene, mens intensiteten vi obsevee e lik absoluttkvadatet av den totale feltamplituden. Odet diffaksjon bukes om situasjone de bølge teffe hindinge. En slik hinding kan fo eksempel væe en skjem med et hull i. I lekelabteksten Intefeensmodell fo punktfomede kilde, e det vist at intensiteten som oppstå i et punkt P nå vi ha intefeens mellom to punktkilde som sende ut kulebølge kan uttykkes ved: I = I 1 + I 2 + 2 I 1 I 2 cos(k + φ) (1) He e foskjellen i veilengde fo de to bølgene til obsevasjonspunktet P, og φ fasefoskjellen mellom de to kildene. I lekelabteksten Michelson Intefeomete, e det også vist at desom vi kan appoksimee at de to intensitetene I 1 og I 2 e like stoe i P, slik at I 1 = I 2 = I 0, så få vi at uttykket ovenfo foenkles til: I = 4I 0 cos 2 (k /2 + φ/2) (2) Vi kan tenke oss at en planbølge som teffe en skjem med et hull i, gi opphav til kulebølge fa hvet infinitesimale punkt i hullet. Denne modellen e kjent som Huygens-Fesnels pinsipp. Diffaksjon e altså i essens et intefeenspoblem med et veldig stot antall punktkilde. I stedet fo å summee opp feltamplitudene fa to punktkilde, slik som vi gjø i lekelabteksten Intefeensmodell fo punktfomede kilde nå vi utlede ligning 1, må vi da summee ove feltene fa alle de infinitesimale punktkildene. Vi få demed et integal ove feltbidaget fa hve punktkilde. Vi skal nå se på diffaksjon fa én enkelt spalte. Vi gå ut ifa at avstandene mellom lasekilden og diffaksjonsobjektet og mellom diffaksjonsobjektet og obsevasjonsplanet, e stoe nok til at vi kan behandle situasjonen som fjenfeltsdiffaksjon, elle såkalt Faunhofediffaksjon. Dette kavet kan unde me nøyaktige ekspeimente enn hva vi legge opp til i lekelaben, oppnåes ved å plassee en linse mellom lasekilden og diffaksjonsobjektet, og en linse mellom diffaksjonsobjektet og obsevasjonsplanet. Den føste linsen gjø at paallelle ståle, det vil si planbølge, sendes inn mot diffaksjonsobjektet. Da vil hve infinitesimale punktkilde ha samme amplitude i diffaksjonsplanet. Fo diffaksjonsobjektet se det da ut som om kilden befinne seg i uendeligheten. Den ande linsen gjø at alle paallelle ståle fa diffaksjonsplanet, samles i ett punkt på obsevasjonssiden av linsen. Vi skal se på situasjonen de vi ha en lang og tynn ektangulæ spalte med en bedde b mye minde enn lengden b, som vi sende lys inn mot. Vi 2
e da inteesset i å finne ut hvodan intensitetsfodelingen vå se ut på en obsevasjonsskjem på ande siden av spalten. Situasjonen e illustet i Figu 1. Me spesifikt se vi på intensiteten i et punkt P. På gunn av at b << b bli poblemet tilnæmet endimensjonalt, så vi e ute ette å finne intensiteten langs linjen på obsevasjonsplanet som e paallell med bedden b og som inneholde det diekte lyset. Vinkelen mellom minste-avstands- Figu 1: Lys som teffe en spalte med bedde b og lengde b >> b, de b e oientet pependikulæt på bildeplanet. linjen fa spalteplanet til obsevasjonsplanet, og mellom linjen fa midten av spalten til punktet P, kalle vi θ. Nå b e liten i fohold til avstanden mellom diffaksjonsplanet og obsevasjonsplanet, vil θ θ. Feltet fa den infinitesimale punktkilden som befinne seg en avstand x i diffaksjonsplanet fa midten av spalten, kan vi uttykke som: de = E x x exp(i(k x ωt)) (3) Vi egne med at avstanden fa midten av spalten de x = 0 til P e. Vi kan da uttykke det diffeensielle feltet via: de = = E x exp(i(k( + ) ωt)) + E x exp(i(k ωt)) exp(ik ) (4) + Fa figuen se vi at veilengdefoskjellen = x sin(θ). Fodi k = 2π/λ ha vi da at k = 2πx sin(θ)/λ. Veilengdefoskjellen <<, så bidaget i amplitudefaktoen kan vi med god nøyaktighet se bot i fa. Vi kan imidletid ikke se bot ifa fasefaktoen exp(ik ). Nå vi i tillegg huske på at vi egne med at vi ha innkommende planbølge slik at feltet E x i diffaksjonsplanet e like stot fo alle x i spalten, med E x = E 0, så få vi at det diffeensielle feltet kan uttykkes som: de = E 0 exp(i(k ωt)) exp(i2πx sin(θ)/λ) (5) 3
Fo å finne det totale feltet i P, må vi integee opp feltbidagene fa alle de infinitesimale punktkildene våe: E = = b/2 b/2 b/2 = E 0 b/2 de E 0 exp(i(k ωt)) exp(i2πx sin(θ)/λ)dx exp(i(k ωt)) b/2 b/2 exp(i2πx sin(θ)/λ)dx = E 0 exp(i(k ωt)) 1 (exp(iπb sin(θ)/λ) exp( iπb sin(θ)/λ)) i2π sin(θ)/λ = E 0 exp(i(k ωt))sin(πb sin(θ)/λ) π sin(θ)/λ = E 0 exp(i(k ωt)) b sinc(πb sin(θ)/λ) (6) Vi ha altså funnet at feltamplituden som funksjon av β = πb sin(θ)/λ e poposjonal med en såkalt sinc-funksjon sinc(β) = sin(β)/β, vist i Figu 2. Vi benytte oss av den siste skivefomen fodi det da e lettee å senee se Figu 2: Plot av funksjonen (sin(β)/β) 2 som funksjon av β. likheten mellom uttykket fo intensitetsfodelingen fa en lang spalte og fa et sikulæt hull. Vi ha demed at intensitetsfodelingen fo en ektangulæ spalte med spaltebedde b mye minde enn spaltelengden e gitt som: ( ) sin(β) 2 I = I 0 (7) β β = πb sin(θ)/λ (8) 4
He en I 0 intensiteten i det punktet i obsevasjonsplanet de θ = 0. De som tidligee ha væt innom lekelaboppsettet som omhandle gitastengen, huske kanskje at sinc-funksjonen e Fouietansfomen til en fikantfunksjon, som ikke e en dum epesentasjon av feltet i spalten vå. Dette e ikke tilfeldig. Som vi se fa ligning 6, e feltamlituden i obsevasjonsplanet elatet til feltamplituden i diffaksjonsplanet via en Fouietansfom. Vi skal nå pøve å tenke oss fem til diffaksjonsintensiteten i obsevasjonsplanet nå diffaksjonsobjektet våt e en kvadatisk spalte. Vi tenke oss at vi begynne med en ektangulæ spalte med bedde b og lengde b >> b. Vi ha sett at denne spalten gi en tilnæmet endimensjonal sinc 2 -fodelt intensitet i obsevasjonsplanet i etningen som e paallell med spaltebedden b. Nå vi så minske b slik at vi tilslutt oppnå en kvadatisk spalte med b = b, vike det da natulig at vi vil få en sinc 2 -fomet intensitetsfodeling også i etningen paallell med b. Vi få altså et todimensjonalt intensitetskyss. Intensitetsfodelingen fo en kvadatisk spalte med spaltebedde og -lengde b kan demed uttykkes som: ( ) sin(β) 2 ( sin(β ) ) 2 I = I 0 β β (9) β = πb sin(θ)/λ (10) β = πb sin(θ )/λ (11) He e θ vinkelen mellom minste-avstands-linjen fa spalteplanet til obsevasjonsplanet og den komponenten av linjen fa midten av spaltebedden b til obsevasjonspunktet P som e paallell med b, mens θ tilsvaende e vinkelen mellom minste-avstands-linjen fa spalteplanet til obsevasjonsplanet og den komponenten av linjen fa midten av spaltebedden b til obsevasjonspunktet P som e paallell med b. I 0 e intensiteten i punktet de θ = θ = 0. Det siste eksemplet vi skal se på de diffaksjonsintensiteten esultee som følge av at det innkommende lyset våt teffe én enkel åpning, e eksemplet de åpningen e sikulæ. Vi oppgi at intensitetsfodelignen fo diffaksjon fa ett sikulæt hull med diamete D, e gitt som følge: ( ) 2J1 (β) 2 I = I 0 (12) β β = πd sin(θ)/λ (13) He e J 1 en føsteodens Besselfunksjon av føste type, vist på Figu 3. Vi se utifa denne ligningen at intensitetsfodelingen fa det sikulæe hullet e otasjonssymmetisk om senteaksen fa diffaksjons- til obsevasjonsplanet. 5
Figu 3: Plot av funksjonen (2J 1 (β)/β) 2 som funksjon av β. Vi skal så bevege oss ove mot diffaksjonsoppsett de vi ha me enn én åpning i diffaksjonsplanet. Vi begynne med å se på situasjonen som e illustet i Figu 4. Vi ha to tynne, lange ektangulæe spalte med spaltebedde b i en innbydes avstand d. Kavet fo konstuktiv intefeens mellom lyset fa to punkt i de to spaltene, vil væe oppfylt nå veilengdefoskjellen e et helt antall bølgelengde. Vi se fa figuen at desom spaltesepaasjonen d e mye minde enn avstanden L fa diffaksjons- til obsevasjonsplanet, så ha vi at sin(θ 1 ) sin(θ 2 ) sin(θ). Veilengdefoskjellen kan uttykkes via denne vinkelen som = d sin(θ) slik at k /2 = πd sin(θ)/λ = α. Den totale intensitetsfodelingen fo to ektangulæe spalte med innbydes avstand d og med spaltebedde b mye minde enn spaltelengdene, vil da baset på ligning 2 væe gitt som: ( ) sin(β) 2 I = 4I 0 cos 2 (α) (14) β β = πb sin(θ)/λ (15) α = πd sin(θ)/λ (16) He e I 0 den intensiteten som vi ville obsevet i det sentale diffaksjonsmaksimumet fa én enkelt spalte. Den kanskje mest vanlige fomen fo diffaksjon oppstå imidletid nå vi ha mange spalte, elle et såkalt diffaksjonsgitte. Intensitetsfodelingen fo N identiske og paallelt oientete, ektangulæe spalte med innbydes avstand d og med spaltebedde 6
Figu 4: Lys som teffe to spalte med bedde b og lengde b >> b. Spaltene ha en innbydes avstand d, som vist på figuen. b mye minde en spaltelengdene e gitt som: ( ) sin(β) 2 ( ) sin(nα) 2 I = I 0 (17) β sin(α) β = πb sin(θ)/λ (18) α = πd sin(θ)/λ (19) Helt til slutt skal vi se på tilfellet de hindingen vå ikke e en skjem med en åpning, men en smalt objekt, slik som fo eksempel en tåd. Du kan tenke deg hvodan et slikt smalt objekt kan sees på som en invetet spalte. Ved å pøve ut dette i laben, kan du obsevee at intensitetsmønsteet som oppstå nå lyset passee en tynn tåd e meget likt intensitetsmønsteet fa en tynn spalte, med unntak av et stekt lysmaksimum i midten av mønsteet. Tabell 1: Ovesikt ove β-vediene til de føste maksima og minima fo funksjonene i kolonnen til venste. Funksjon maks min maks min maks min maks min n = 0 n = 0 n = 1 n = 1 n = 2 n = 2 n = 3 n = 3 (sin(β)/β) 2 ±0.00 ±3.14 ±4.49 ±6.28 ±7.73 ±9.42 ±10.9 ±12.6 (2J 1 (β)/β) 2 ±0.00 ±3.83 ±5.14 ±7.02 ±8.42 ±10.2 ±11.6 ±13.3 7
Oppsett Oppsettet fo obsevasjon av intefeens og diffaksjon med laselys bestå pe høsten 2008 av følgende dele: En HeNe-lase En optisk benk montet på et tillebod Te festestativ med tilhøende plateklemme Spalte (ektangulæe en-spalte og noen få-splate gitte) En hvit vegg Et møkt om Det e nødvendig med standad stikkontakt stømfosyning til laseen. Ting du kan pøve ut Hensikten med oppsettet med laseen og spaltene e å obsevee hvodan ulike spalte og kombinasjone av spalte gi opphav til ulike intensitetsfodeligne i obsevasjonsplanet. Du kan begynne med å se på intensitetsmønsteet som oppstå nå du plassee en enkelt spalte slik at laselyset teffe spalten. Pøv å vaie spaltebedden, og obseve hva som skje med intensitetsmønsteet. Du vil obsevee at støe avstande i diffaksjonsplanet, føe til minde avstande mellom lysmaksima i obsevasjonsplanet. Ette at du ha blitt kjent med den ektangulæe spalten, kan du pøve å undesøke mønsteet som oppstå nå laselyset passee en tynn tåd, slik som fo eksempel et håstå. Ved å sammenligne diffaksjonsmønsteet fa et håstå og fa en ektangulæ spalte, kan du si noe om diameteen til håstået i fohold til spaltebedden? Du kan også pøve å sette inn gittee med flee spalte plasset paallelt med hveande. Obseve hva som skje med intensitetsmønsteet nå du sette inn gittee med fæe elle flee splate. Med N spalte i gitteet, vil det mellom hvet hovedmaksima væe N 1 nullpunkte og N 2 minde intensitetsmaksimum. Obseve også hvilken effekt avstanden mellom spaltene i et gitte ha på intensitetsmønsteet. 8