Kapittel 6 Tillegg om flateintegraler 6.1 Litt ekstra om flateintegraler I kompendiet har vi definert flateintegraler som grenseoverganger for diskretiseringer. Har vi en flate kan vi representere den vha. elementer i som feks. kan være plane triangler eller rektangler som tilnærmer en del av. La oss se på trykkintegralet som eksempel. På hvert flatelement, i, kan trykk-kraften tilnærmes ved ΔF i = p i n i Δ i der p i er en representativ verdi for trykket på flatelementet, feks. verdien i midtpunktet, n i er enhetsnormalen til flateelementet Δ i er arealet av i. Flateintegralet defineres da som en grenseovergang når antall elementer, n, går mot uendelig n p i n i Δ i i pnd når n. 6.1) Her må vi forutsette at alle Δ i 0 når n, noe som forutsetter en viss grad av uniformitet i oppdelingen. Akkurat som dx i et vanlig integral tilsvarer en forsvinnende liten lengde lang x dr i et kurveintegral en forsvinnende liten kurvebit, svarer d til arealet av et forsvinnende lite flateelement. Vi skal ikke ta for oss flere detaljer her, bortsett fra å påpeke at definisjonen 6.1) er nært beslektet med definisjonen vi bruker for kurveintegral tillegg til kap. 4 kompendium kap. 6.1-6.2). Et annet viktig eksempel på flateintegral er fluksintegralet A nd 6.2) som defineres via diskretsering på samme vis som 6.1). Dersom A er hastigheten gir dette integralet den totale volumstrømmen gjennom flaten. 6.1.1 Parameteriserte flater Kurveintegraler av typen 6.1) 6.2) kan vi noen ganger løse ad-hoc når flaten har en enkel geometri, som når den er en sylinder, sfære, kube etc. For mer generelle flater kan 21
22 Tillegg om flateintegraler bruken av generelle parameteriseringer være nyttige. Dette er behandlet ganske fyldig i MAT1110 brukt der, bla.a., til å beregne integraler av typen β d 6.3) som gir arealet av flaten dersom β = 1. Her skal vi kort beskrive hvordan parameteriseringer kan brukes i forbindelse med integraler som 6.1) 6.2). Parameterisering av flater er beslekted med parameterisering av kurver. En kurve C kan defineres vha. en enkelt parameter, t rt) = xt)i + yt)j + zt)k der t varierer over, feks., et intervall [a b]. For en flate,, må vi bruke to parametere, som vi kaller t s rt s) = xt s)i + yt s)j + zt s)k 6.4) der rt s) er definert over et parameterområde, Ω, i t s-planet. Det gjøres oppmerksom på at t s er generelle normalt ikke svarer til tid, buelengde el. Dersom vi holder s konstant varierer t vil 6.4) definere en kurve parameterisert ved t. Bytter vi om holder t konstant lar s variere vil vi tilsvarende få en kurve parameterisert ved s. Begge disse kurvene ligger naturligvis i flaten. Dersom vi deler Ω i et rutenett kan vi lage en skare av slike kurver som kan tegnes i rommet. Dette er en tradisjonell grafisk framstilling av flater. 6.1.2 Parameterisering integraler Gjennom hvert punkt på flaten, rt s), kan vi altså definere to kurver ved å sette hhv. s t konstant. Langs disse kurvene har vi tangentene t s) t s) = = xt s) i + xt s) i + yt s) j + yt s) j + zt s) k 6.5) zt s) k. 6.6) Sammen definerer disse to et tangentplan til flaten i punktet rt s). Ser vi på et lite rektangulært element i t s-planet, med sidekanter dt ds vil de avbildes på kurvelementer gitt som hhv. dr 1 = dt dr 2 = ds i x y z-rommet. Disse to kurvelementene utspenner et lite parallellram som svarer til den delen av flaten som er bilde av rektanglet dt ganger ds i Ω. Arealet av parallerammet er gitt ved kryssproduktet av dr 1 dr 2. Videre er dette kryssproduktet en normal til flaten vi kan skrive nd = dtds der det er antatt at retningene på dr 1, dr 2 n følger høyrehåndsregelen. 6.7)
6.1. LITT EKSTRA OM FLATEINTEGRALER 23 Ved bruk av 6.7) kan integralet 6.1) skrives som et vanlig dobbeltintegral pnd = Ω p dt ds 6.8) mens 6.2) tilsvarende kan uttrykkes A nd = Ω A dt ds. 6.9) 6.1.3 Eksempler på parameterisering av flater Flater parameterisert ved x y Dersom en flate har enkel nok form kan den beskrives ved z = ηx y). Skrevet på formen 6.4) gir dette parameteriseringen rx y) = xi + yj + ηx y)k. Nå følger x = i + η x k y = j + η y k. Areal av flatelement ganget med normalvektor blir nd = x dx dy = k η y x i η y j dx dy. 6.10) Når dette settes inn i feks. 6.9) får vi et vanlig dobbeltintegral i x y. Kulekoordinater I kulekoordinater, eller sfæriske polarkoordinater, kan en kuleflate prameteriseres ved å sette r =konstant la vinklene variere i hht. ψ [0 2π] θ [0 π]. I figur 6.1 er den geometriske betydingen av vinklene ψ θ illustrert. Ofte defineres θ som vinkelen med xy-planet i stedet for z-aksen. Dette gjelder feks. breddegradene på en globus eller et kart. Den parameteriserte flaten kan nå skrives Tangentene blir nå rφ θ) = r sin θ cos φi + r sin θ sin φj + r cos θk. φ θ = r sin θ sin φi + r sin θ cos φj = r cos θ cos φi + r cos θ sin φj r sin θk
24 Tillegg om flateintegraler Figur 6.1: Kulekoordinater. Figur fra kompendiet. nd = φ dφ dθ θ = r 2 sin 2 θ cos φi sin 2 θ sin φj sin θ cos θk) dφ dθ = r sin θr dφ dθ. Vi ser altså at d = r 2 sin θ dφ dθ at enhetsnormalen n = r/r peker innover mot origo. Skal vi utføre et integral med utadrettet normal må vi bytte fortegn på n. Sylinderflater, relasjon til kurveintegraler Vi definerer en sylinderflate som en flate som står vinkelrett på xy-planet. Skjæringen mellom denne flaten x-planet er en kurve, λ, i R 2 som kan parameteriseres ved xt)i + yt)j, t [a b]. Flaten parameteriseres da ved rt z) = xt)i + yt)j + zk. Tangentene blir = x t)i + y t)j z = k nd = z dt dz = y t)i x t)j) dt dz.
6.1. LITT EKSTRA OM FLATEINTEGRALER 25 Dersom z [0 B] kan et fluksintegral da skrives v nd = B b 0 a v x x t) v y y t)} dt dz. For det spesielle tifellet at v ikke avhenger av z får vi 1 v nd = B b a v x x t) v y y t)} dt som er identisk med fluksintegralet for 2D-strøm ut av sidekanten på en skive gitt i likning 4.22) i tillegget til kapittel 4.