Forelesning nr.14 INF 1410 Frekvensrespons 1
Oversikt dagens temaer Generell frekvensrespons Resonans Kvalitetsfaktor Dempning
Frekvensrespons Oppførselen For I Like til elektriske kretser i frekvensdomenet er like viktig som oppførselen i tidsdomenet systemer som bearbeider og overfører informasjon, er responsen til signaler i et frekvensområde viktig kraftoverføring er imidlertid oppførselen til systemer på en bestemt frekvens svært viktig (50/60 Hz) viktig som å designe for en bestemt oppførsel er det å kjenne responsen til et system for et bestemt frekvensområde 3
Frekvensrespons (forts) I frekvensdomenet er det flere egenskaper man kan ønske: Stoppe eller dempe signaler som har en bestemt frekvens eller er i et bestemt frekvensområde Forsterke eller slippe uhindret igjennom signaler som har en bestemt frekvens eller er i et bestemt frekvensområde Ulike former for fasedreining De ulike egenskapene henger sammen og påvirker hverandre (negativt) slik at optimalisering av en egenskap gir forverring av en annen 4
Resonans Resonsans Resonans Resonans I Dette er et naturlig enomen som er kjent fra mange sammenhenger (elektronikk, akustikk, mekanikk etc.) oppstår når et system får et innsignal (eller en annen form for påvirkining) slik at utsignalet gir maksimal amplitude kan både være en ønsket og uønsket egenskap et elektrisk system med to terminaler og som har minst én spole og minst én kondensator, vil systemet være resonant hvis motstanden er rent resisitiv betyr at i et system som er i resonans er strøm og spenning i fase på input-terminalene 5
Resonans (forts) Gitt en krets bestående av en kondensator, spole og ohmsk motstand i parallell I frekvensdomenet har denne kretsen følgende admittans (dvs invers impedans): Y 1 R j( C 1 ) L 6
Resonans (forts) For at denne skal være rent resisitv, må 1 C L Resonansfrekvensen ω 0 er dermed gitt av 1 0 LC Alternativt kan man justere L og C, slik at man får den ønskede resonansfrekvenen (eller flytter den til en verdi der resonans ikke gjør noen skade) 7
Resonans og spenningsrespons I den videre analysen er det nyttig å definere den eksponentielle dempningskoeffisienten: 1 RC mens den naturlige resonansfrekvensen (må ikke forveksles med resonansfrekvensen ω 0 ) d 0 1 LC 1 4R C 8
Resonans og spenningsrespons (forts) Generelt kan impedansen til kretsen uttrykkes som Z(s) (s s C j )(s d d j ) Hvis dette uttrykket multipliseres med I, får man derfor et uttrykk for V, siden V=ZI 9
Resonans og spenningsrespons (forts) Av Maksimal grafen ser man at maksimal amplitude på spenningen inntreffer når ω= ω 0 impedans i kretsen er R Frekvensene ω 1 og ω måler bredden på responskurven og inntreffer når V 1 IR 10
Resonans og spenningsrespons (forts) Siden den maksimale impedansen i kretsen er R, betyr dette at strømmen gjennom spolen og kondensatoren utligner hverandre: I C I @ 0 L@ 0 0 Legg merke til at dette kun skjer ved resonansfrekvensen ω 0 11
Kvalitetsfaktor Q Både Utseendet bredden på amplitudekurven til V og stigningsgraden på hver side av ω 0 er andre viktige faktorer som karakteriserer frekvensresponsen til responskurven er bestemt av den maksimale mengden energi som kan lagres i kretsen, sett i forhold til det totale energitapet over en hel periode av responsen Energien maksimumenergi lagret Q total energi tapt over en periode som lagres av spolen og kondensatoren absorberes i motstanden alene 1
Kvalitetsfaktor Q (forts) Uttrykt ved kretskonstantene R, L og C kan man skrive kvalitetsfaktoren Q 0 ved resonansfrekvensen som Q 0 R C L Hvis Q C øker, øker også Q, mens den synker hvis L øker (Q øker/synker med kvadratroten av C/L) er direkte proporsjonal med resistansen R 13
Dempningsfaktor Den Dette Denne Jo kvadratiske dempningsfaktoren for kretsen er gitt av s 1 RC 1 s LC kan skrives der faktoren kalles for dempningsfaktoren større Q desto mindre dempning s s 0s 0 1 Q 0 s 0 0 14
Båndbredde Frekvensene Hver Dette Båndbredde ω 1 og ω definerer bredden på responskurven av disse identifiserer punktene hvor effekten er halvparten av den maksimale effekten som forbrukes tilsvarer igjen der hvor amplituden til spenningen er V defineres som 1 IR 1 15
Båndbredde (forts) Båndbredden Uttrykt Høyere Høy er ikke nødvendigvis symmetrisk om resonansfrekvensen ved Q-faktoren kan båndbredden skrives som B Q 0 0 Q-verdi gir en smalere båndbredde eller skarpere responskurve frekvensselektivitet tilsvarer dermed høy Q-faktor 16
Resonans i andre typer kretser Kretsen Skal studert hittil var en parallellkrets, hvor alle elementene var koblet i parallell nå se kort på en krets hvor alle elementene er i serie Mye av analysen blir tilsvarende som for den parallelle resonanskretsen 17
Resonans i andre typer kretser Resonsansfrekvensen Kvalitetsfaktoren Frekvensene (der hvor den imaginære delen av responsfunksjonen er null) er gitt av 0 1 CL Q 0 ved resonans er L Q0 0 R ω 1 og ω som definerer bredden (halvparten av maks effekt) 1 1 1, 0 1 Q0 Q0 18
Resonans i andre typer kretser (forts) Båndbredden Den Den ved halv effekt er gitt av 1 Q 0 0 serieresonante kretsen har minimum impedans ved resonansfrekvensen (i motsetning til den parallelle som har maksimum imedans ved resonansfrekvensen) serieresonante kretsen har spenninger over spolen og kondensatoren som er maksimum ved resonsanfrekvensen (mens den parallellresonante har maks strøm ved ω 0 ) 19
Skalering I Dette I Praktiske de fleste eksemplene som er gjennomgått har frekvenser og komponentverdier ligget mellom 1 og 10 har vært mest av regnetekniske hensyn, siden man slipper å konvertere mellom potenser av 10 elektronikksammenheng er imidlertid spoler og kondensatorer på hhv 1F og 1H svært store, og frekvenser på 1-10 Hertz lite interessante problemstillinger involverer ofte skalering (enten multiplkasjon eller divisjon) av både magnitude og frekvens 0
Skalering (forts) Ønsker å skalere den parallellresonante kretsen slik at maks impedans blir 5000 Ohm og ikke.5 Ohm, og resonansfrekvensen blir 796 khz, og ikke 0.03 Hz 1
Skalering (forts) Trenger Magnitudeskalering derfor å skalere både langs x-aksen (frekvens) og y- aksen (magnitude) betyr at man skalerer impedansen sett fra de to inputterminalene med en reell faktor K m >0
Skalering (forts) Forutsatt at nettverket er lineært, holder det å øke impedansen til hvert av de passive elementene med en faktor K m R K L K C C m m R L K m 3
Skalering (forts) For For For For å skalere i frekvensplanet, må hvert passive element multipliseres med en faktor slik at frekvensen skaleres, og magnituden forblir uendret en ohmsk motstand er det ingen skalering nødvendig siden den er frekvensuavhengig en spole er induktansen i frekvensplanet sl, og skal man ha samme impedans når frekvensen økes med en faktor K f, må den opprinnelige induktansen L erstattes med L/K f en kondensator er kapasitansen i frekvensplanet s/c, og skal man ha samme impedans når frekvensen øker med K f må den opprinnelige kapasitansen ertsattes med C/K f 4
Skalering (forts) 5 f f K C C K L L R R Nettverket nedenfor er resultatet etter at det både er skalert for magnitude og frekvens m m m K C C L K L R K R
Bodeplott Bodeplott Et Decibel er en type diagram som er mye brukt i elektronikksammenheng Bodeplott viser magnitude- og fasekurver plottet med logaritmisk frekvensskala på x-aksen (som regel med base 10) og decibel-skala for magnituden på y-aksen er definert som 0 log H( j) H db H( j ) 1 H( j ) H( j ) 10 H( j ) 0. 01 H H db db H H( j ) 1000 0dB 6dB db H H 0dB db db 60dB 40dB 6
Bodeplott (forts) Funksjonen For I som tegnes i Bodeplottet er overføringsfunksjonen eller admittansen til en krets (forholdet mellom innsignal/utsignal) passive lineære kretser består overføringsfunksjonen av to polynomer, ett i telleren og ett i nevneren Bodeplottet tegner man først inn asymptotene for overføringsfunksjonen (når ω er svært liten og ω svært stor) 7
Bodeplott (forts) Gitt Denne følgende overføringsfunksjon H(s) 1 har ett nullpunkt for s=-a, og en pol for s=0 H( j) 1 s a j a 1 a Uttrykt i decibel blir overføringsfunksjonen H db j 1 0 log 1 a a 8
Bodeplott (forts) Når ω << a, er asymptoten H db 0 log1 0 Når ω >> a, er asymptoten H db 0 log a Frekvensen I ω = a kalles også for knekkfrekvensen de fleste tilfeller vil aspymptotene gi et godt nok bilde av overføringsfunskjonens forløp 9
Bodeplott (forts) Gitt overføringsfunksjonen for et system med dempning ζ H(s) 1 s ( ) 0 s ( ) 0 Forløpet med dempning viser hvordan dempningen påvirker responsen rundt knekkfrekvensen 30