TMA400 Høst 206 Norges tekisk aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Løsigsforslag Øvig 9 9..8 Vi er gitt følge { ( ) } {a }. e De første leddee i følge er a e, a 2 2 e 2, a e, a 4 4 e 4. Side e vokser raskere e, ser vi at følge er begreset ovefra av 2 og edefra e 2 av e. Videre er det e altererede følge, da aehvert ledd er positivt og egativt. Vi ser også at Det betyr at følge kovergerer mot 0. a e 0. 9..8 Vi evaluerer a i grese ved å dele teller og ever på 2, a 2 2 2 2 /2 2 2. 9..20 Me skal evaluera greseverdie til følgja {a } år, der ( ) a si. Lat oss skifta ideks til m /, som gjev a m si(m) m. Sida m 0 år vil svaret på de opphavelege oppgåva vera greseverdie til {a m } år m 0. Dette ser me at blir de velkjete greseverdie si(m) m 0 m, som ei ka fia ved til dømes å bruka L Hôpital eller taylorutvikla si(m) rudt m 0. 2. oktober 206 Side av 5
Løsigsforslag Øvig 9 9.2.8 Me ser på rekkja π j/2 cos(jπ). j Først legg me merke til at cos(jπ) er for odde j og for jame j, altså cos(jπ) ( ) j. Dermed ka me skriva summe som π j/2 ( ) j j ( π) j j ( π)( π), der de siste overgage vart gjort for å kue samalika rekkja med resultata for ar på side 506 i boka. Her ser me at a π 0 og r π, og dermed kokluderer me med at rekkja divergerer. Me ser at rekkja er altererade, så ho divergerer verke til eller. Derimot vil dei edelege delsummae alterera mellom å vera positive og egative meda absoluttverdie aukar. 9.2.0 La oss starte med å skrive om rekke til e sum av to rekker, S 2 2 2 2 2. Dette mier om oe som liger på geometriske rekker. For e geometrisk rekke (side 505 507 i boka) har vi at ar a r år r <. Observer at ved å edre summasjosgresee ka vi skrive dee regele på ekvivalet form ar a r. Vi øsker å å skrive om de to rekkee på dee forme. Vi starter med de første, 2 ( ) ( ) 2. På tilsvarede vis får vi for de adre summe, 2 2 2 2 9 ( ) 2 9 2. De totale summe får vi så ved å legge samme de to bidragee, S 2 5 6. 2. oktober 206 Side 2 av 5
Løsigsforslag Øvig 9 9.2.2 Vi bruker delbrøkoppspaltig til å skrive om leddee til e sum av to ledd, Dette betyr at a (2 )(2 ) A 2 B 2. A(2 ) B(2 ) 2A A 2B B 2(A B) (A B). For at dette skal være oppfylt for alle må { A B 0 A A B 2, B 2. Delsumme, S N, blir å S N N N { a 4 2 } 4 2 ( 2 ) ( 6 6 ) ( 0 0 )... 4 ( ) ( ) 4(N ) 2 4(N ) 2 4N 2 4N 2 Vi ser at alle leddee, med utak av det første og siste, kaselleres. Dette er derfor e teleskoperede rekke (se Telescopig series side 507 i boka). Vi står igje med S N 2 4N 2. Vi lar så N, og ser at summe av rekke blir S N S N 2. 9..4 I dee oppgave bruker vi sammeligigsteste (Teorem 9 side 54 i boka). For > 0 har vi at a 2 2 /2 b. Rekke b er e p-rekke (se side 52 i boka) og kovergerer side p 2 >. Ettersom a b, kovergerer også a ved sammeligigsteste. 9..7 Me vil fastslå om rekkja l() kovergerer eller divergerer. Her er det yttig å hugsa at logaritmar veks saktare e alle potesar, det vil seia at l(x) x x a 0, a > 0, () 2. oktober 206 Side av 5
Løsigsforslag Øvig 9 som oppgitt i teorem 5 på side 84 i boka. For at dette skal skje må det fiast eit heiltal N a så at l(x) < x a for x > N a, elles vil ikkje brøke kue gå mot ull. Dette ka brukast til å estimera rekkja. Lat a > 0 vera eit positivt reelt tal og vel det tilhøyrade heiltalet N a. Då ka me skriva summe som Na l() l() > N a l() N a N a l() a, der me i siste overgag har brukt at l() < a for > N a. Sida a er eit vilkårleg positivt tal ka me setja det til a /, og dermed får me N / l() > l() N / der me ser at rekkja på høgresida divergerer fordi ho ieheld ei sum av uedeleg mage ledd frå de harmoiske rekkja / som me veit divergerer. Ved samalikigsteste har ei då at divergerer. l(), 9..22 Vi er gitt rekke a 00 2!. Vær oppmerksom på at 0!, slik at a 0 er defiert. Vi ser at a > 0 for alle 0, og utfører rotteste (Teorem side 57 i boka), a ρ a () 00 2 ()! 00 2! ( 2 2 ( 2 0 0. ) 00! ( )! ) 00 Av rotteste følger det derfor at rekke a kovergerer. Kommetar: Dette resultatet virker kaskje litt overraskede, me det sier oe om hvor raskt! vokser. Uder følger et plot av f() 00 2!. Vi ser at leddee blir raskt veldig store. Faktisk er a 2, 6 0 0 og max a a 70, 5 0 55. Likevel blir! såpass domierede for store at rekke kovergerer. 2. oktober 206 Side 4 av 5
Løsigsforslag Øvig 9.5 x 055 2.5 2 f().5 0.5 0 0 20 40 60 80 00 20 2. oktober 206 Side 5 av 5