18.09.2013 Kvadratsetningene Tillegg til kapittel 2 Grunntall 9 Nytt læringsmål i revidert læreplan 2013 Mål for det du skal lære: kunne bruke kvadratsetningene til å multiplisere to parentesuttrykk Bjørn Bakke og Inger Nygjelten Bakke ELEKTRONISK UNDERVISNINGSFORLAG AS
Innhold Kvadratsetningene. 3 Den første kvadratsetningen. 3 Den andre kvadratsetningen. 5 Den tredje kvadratsetningen. 6 2
Kvadratsetningene Vi har tidligere regnet med kvadrattall. Et kvadrattall finner vi ved å multiplisere et naturlig tall med seg selv. Dette kaller vi også å finne kvadratet av et tall. 1 2 = 1 1 = 1 2 2 = 2 2 = 4 3 2 = 3 3 = 9 1, 4 og 9 er de første kvadrattallene. Når vi skal multiplisere to like parenteser som har to ledd, kan vi bruke den vanlige regelen for å multiplisere to parenteser. Vi skal nå lære en raskere måte å multiplisere to like parenteser. Det gjør vi ved å bruke noe vi kaller kvadratsetningene. Den første kvadratsetningen Den første kvadratsetningen gjelder når vi skal finne kvadratet av summen av to tall [(a + b) 2 ]. Vi regner ut (a + b) 2 ved å bruke regelen for å multiplisere to parenteser: (a + b) 2 = (a + b)(a + b) = a 2 + ab + ab + b 2 = a 2 + 2ab + b 2 Vi ser at vi kan finne svaret ved å ta kvadratet av det første tallet (a 2 ), addere det dobbelte produktet av de to tallene (2 a b) og til slutt addere kvadratet av det siste tallet. HUSK! (a + b) 2 = (a + b)(a + b) = a a + 2 a b + b b = a 2 + 2ab + b 2 Eksempel Regn ut (2x + 3y) 2. Løsning (2x + 3y) 2 = 2x 2x + 2 2x 3y + 3y 3y = 4x 2 + 12xy + 9y 2 Den andre linjen kan være en nyttig mellomregning, men du trenger ikke ta den med dersom du greier å regne ut svaret direkte. 3
1 a (x + 1) 2 b (2x + y) 2 c (x + 2y) 2 2 a (a + 5) 2 b (a + 3b) 2 c (2a + 1) 2 3 a (3x + 2) 2 b (2x + 4y) 2 c (a + 4b) 2 4 a (3x + 2y) 2 b (5x + 2y) 2 c (4a + 2b) 2 5 a (a + 2b) 2 + b 2 b (a + 2) 2 a 2 1 a x 2 + 2x + 1 b 4x 2 + 4xy + y 2 c x 2 + 4xy + 4y 2 2 a a 2 + 10a + 25 b a 2 + 6ab + 9b 2 c 4a 2 + 4a + 1 3 a 9x 2 + 12x + 4 b 4x 2 + 16xy + 16y 2 c a 2 + 8ab + 16b 2 4 a 9x 2 + 12xy + 4y 2 b 25x 2 + 20xy + 4y 2 c 16a 2 + 16ab + 4b 2 5 a a 2 + 4ab + 5b 2 b 4a + 4 6 a (x + 4) 2 + (x 3)x b x(2x 1) + (x + 3) 2 6 a 2x 2 + 5x + 16 b 3x 2 + 5x + 9 7 a (x + 2) 2 + (x + 5) 2 b (3x + y) 2 (2x + 3y) 2 7 a 2x 2 + 14x + 29 b 5x 2 6xy 8y 2 8 a (a + 3) 2 + 2(2a + 1) b (2a + 1) 2 + a(a 1) 8 a a 2 + 10a + 11 b 5a 2 + 3a + 1 9 a (3x + 2) 2 + 2x(x 2) b (2x + 5) 2 3x(x + 4) 9 a 11x 2 + 8x + 4 b x 2 + 8x + 25 10 a 2(x + 2) 2 b 4(2x + 3) 2 10 a 2x 2 + 8x + 8 b 16x 2 + 48x + 36 11 a x(2x + y) 2 b 2x 2 (x + 3) 2 11 a 4x 3 + 4x 2 y + xy 2 b 2x 4 + 12x 3 + 18x 2 12 a (x + 3) 2 + (2x + 1) 2 (x + 3) 2 b (2x + 3) 2 (x + 5) 2 + (3x + 1) 2 4 12 a 4x 2 + 4x + 1 b 12x 2 + 8x 15
Den andre kvadratsetningen Den andre kvadratsetningen er ganske lik den første. Forskjellen er at vi finner kvadratet av differensen mellom to tall [(a b) 2 ]. Vi regner ut (a b) 2 ved å bruke regelen for å multiplisere to pareneteser. (a b) 2 = (a b)(a b) = a 2 ab ab + b 2 = a 2 2ab + b 2 Vi ser at vi kan finne svaret ved å ta kvadratet av det første tallet (a 2 ), subtrahere det dobbelte produktet av de to tallene (2 a b) og til slutt addere kvadratet av det siste tallet. HUSK! (a b) 2 = (a b)(a b) = a a 2 a b + b b = a 2 2ab + b 2 Eksempel Regn ut (3x 2) 2. Løsning (3x 2) 2 = 3x 3x 2 3x 2 + 2 2 = 9x 2 12x + 4 Den andre linjen kan være en nyttig mellomregning, men du trenger ikke ta den med dersom du greier å regne ut svaret direkte. 13 a (x 2y) 2 b (2x 1) 2 c (3x y) 2 14 a (a 3b) 2 b (4a b) 2 c (a 5) 2 15 a (3x 1) 2 b (2a 3b) 2 c (x 4y) 2 13 a x 2 4xy + 4y 2 b 4x 2 4x + 1 c 9x 2 6xy + y 2 14 a a 2 6ab + 9b 2 b 16a 2 8ab + b 2 c a 2 10a + 25 15 a 9x 2 6x + 1 b 4a 2 12ab + 9b 2 c x 2 8xy + 16y 2 16 a (2a 3) 2 2a(a 1) b a(3a 4) (a 2) 2 16 a 2a 2 10a + 9 b 2a 2 4 5
17 a (x 4) 2 2x(x 1) b (a 2) 2 (2a 3) 2 17 a x 2 6x + 16 b 3a 2 + 8a 5 18 a (x 2) 2 (x + 3) 2 b (2x y) 2 (x + 2y) 2 18 a 10x 5 b 3x 2 8xy 3y 2 19 a 2x(x 3) + (2x 5) 2 (3x + 2) 2 b (4x y) 2 3xy(x + 2) (3x + 2y) 2 19 a 3x 2 38x + 21 b 7x 2 3x 2 y 26xy 3y 2 20 a (3x + 2) 2 4(x 3) 2 + 4x 2 2(x 1) 2 b (4x + 1) 2 2(3x 2) 2 + 2x 2 (3x 1) 2 20 a 7x 2 + 40x 34 b 9x 2 + 38x 8 21 a 2x 2 (3x + 2) x(2x + 3) 2 + 4(x 3) 2 b x(2x + 1) 2 2(3x 2 + 2) + x 2 (x 1) 2 21 a 2x 3 4x 2 33x + 36 b x 4 + 2x 3 x 2 + x 4 Den tredje kvadratsetningen Den tredje kvadratsetningen er egentlig ikke en kvadratsetning og blir ofte i stedet kalt konjugatsetningen. Her skal vi ikke finne kvadratet av et uttrykk, men multiplisere summen og differensen av to tall [(a + b)(a b)].vi regner ut (a + b)(a b) ved å bruke regelen for å multiplisere to parenteser. (a + b)(a b) = a a a b + a b b b = a 2 b 2 Vi ser at vi kan finne svaret ved å ta kvadratet av det første tallet minus kvadratet av det siste tallet. HUSK! (a + b)(a b) = a a b b = a 2 b 2 6
Eksempel Regn ut (2a b)(2a + b). Løsning (2a b)(2a + b) = 2a 2a b b =. 4a 2 b 2. Den andre linjen kan være en nyttig mellomregning, men du trenger ikke ta den med dersom du greier å regne ut svaret direkte. 22 a (x + y)(x y) b (2x + 3y)(2x 3y) 22 a x 2 y 2 b 4x 2 9y 2 23 a (a 3)(a + 3) b (2x + 1)(2x 1) 23 a a 2 9 b 4x 2 1 24 a (x + 2)(x 2) b (x 5)(x + 5) 24 a x 2 4 b x 2 25 25 a (5x + 7)(5x 7) b (6a 8)(6a + 8) 25 a 25x 2 49 b 36a 2 64 26 a (3x + 4y)(3x 4y) b (2x 5y)(2x + 5y) 26 a 9x 2 16y 2 b 4x 2 25y 2 27 a (4a + 5b)(4a 5b) b (3a 6b)(3a + 6b) 27 a 16a 2 25b 2 b 9a 2 36b 2 28 a (a + 6)(a 6) b (3x + 7)(3x 7) 28 a a 2 36 b 9x 2 49 29 a (2a + b)(2a b) + (a + b)(a b) b (4a 1)(4a + 1) + (a + 3)(a 3) c (3x + 4)(3x 4) + (2x + 3)(2x 3) d (2x + 3y)(2x 3y) + (x + 2y)(x 2y) 29 a 5a 2 2b 2 b 17a 2 10 c 13a 2 25 d 5x 2 13y 2 7
30 a (x + 6)(x 6) (2x 1)(2x + 1) b (3x + 2)(3x 2) (x + 3)(x 3) c (a 4)(a + 4) (3a + 5)(3a 5) d (2a + 4b)(2a 4b) (a 3b)(a + 3b) 30 a 3x 2 35 b 8x 2 + 5 c 8a 2 + 9 d 3a 2 7b 2 31 a (x 2) 2 + (x + 3)(x 3) b (3x 2) 2 + (2x + 1) 2 c (2 x)(2 + x) + (x 4) 2 d (x + 5)(x 5) (x + 5) 2 31 a 2x 2 4x 5 b 13x 2 8x + 5 c 8x + 20 d 10x 50 32 a (2x + 7y)(2x 7y) + (x 3y)(x + 3y) b (6x + 5y)(6x 5y) (3x y)(3x + y) c (3x 4y) 2 (2x y) 2 + (x + 6y) 2 d (x + y) 2 2(x y) 2 (x + y)(x y) 32 a 5x 2 58y 2 b 27x 2 24y 2 c 6x 2 8xy + 51y 2 d 2x 2 + 6xy 33 a (2a 3) 2 (1 a) 2 b (2a 5) 2 (a + 4)(a 4) c (2a + b) 2 (3a + 4b)(3a 4b) d (3a 4) 2 (4 3a) 2 33 a 3a 2 10a + 8 b 3a 2 20a + 41 c 5a 2 + 4ab + 17b 2 d 0 34 a (6a b)(6a + b) (a + 2b) 2 + 3(2a + 3b) 2 b 5(a + 3b)(a 3b) (a 4b)(a + 4b) + 4(a + b) 2 c (3a 2) 2 (4a + 3) 2 (a + 5)(a 5) d (a 4b)(a + 4b) 3(3a 5b) 2 + 7(a b) 2 34 a 47a 2 + 32ab + 22b 2 b 8a 2 + 8ab 25b 2 c 8a 2 36a + 20 d 19a 2 + 76ab 84b 2 35 a (5a + 3b) 2 + (4a b) 2 (a 2b)(a + 2b) b (4x y)(4x + y) (3x + 4y) 2 (4x 5y) 2 c 6x(2x + 1)(2x 1) + 2x(x 3) 2 5x(3x 4)(3x + 4) d 4(a 2 + b 2 )(a 2 b 2 ) + a 2 (a + b) 2 + a 2 (a b) 2 35 a 40a 2 + 22ab + 14b 2 b 9x 2 + 16xy 42y 2 c 19x 3 12x 2 + 92x d 6a 4 + 2a 2 b 2 4b 4 36 a 5(x 2 + 2) 2 (2x 2 3)(2x 2 + 3) 4(2x 2 x) 2 b 3(4x + 3)(4x 3) 2x 2 (x + 3) 2 4(x 2 1) 2 c (2x 2 3) 2 2x(x + 2)(x 2) x(3x 2 + 2) 2 d 5(x 3 2) 2 x(x 2 1)(x 2 1) 2x(3x + 4) 2 8 36 a 15x 4 + 16x 3 + 16x 2 + 29 b 6x 4 12x 3 + 38x 2 31 c 9x 5 + 4x 4 14x 3 12x 2 + 4x + 9 d 5x 6 x 5 36x 3 48x 2 33x + 20