Eksamen R Løsningsforslag Høst 0..0 Øistein Søvik
Del Oppgave a ) ) f x x ex Her bruker vi regelen som sier at uv ' u ' v uv ' u x, u ' og v e x, v ' e x f ' x ex x ex f ' x x ex f ' x x e x Oppgave ) a ) ) g x x Bruker her kjerneregelen f h x ' f ' h x h' x f h x h x, f ' h x h x x, h ' x x g' x h ' x h x g' x x x g' x x x h x
Oppgave ) b) ) Sjekker at p er et nullpunkt p x 6 x x 6 p 6 6 p 6 6 p 0 Utfører polynomdivisjonen x 6 x x 6 : x x 4 x 6 x x...... 4 x x... 4 x 4 x... 6 x 6...... p x x 6 x x 6 p x x x x p x x x 4 x 6 Bruker ABC Formelen til å faktorisere x x Når f x ax bx c er x x 4 b b 4ac a 4 4 x x p x x x x
c) r t...6t.,. 5t 45. ) Den deriverte av strekningen er farten v t r ' t...6.,. 0t. v...6.,. 0... 6.,. 0 Posisjonen er r...6.,. 5 45... 6, 40 Absoluttverdien størrelsen til farten er v v 6 0 6 00 4 5 4 4 Vi kan se at 4 er litt mindre enn siden 4 6 Nå har vi både punktet og ca størrelsen og kan tegne den ) Den deriverte av farten er akselerasjonen altså er : a t r '' t...0.,. 0. Akselerasjonen er altså konstant siden den er uavhengig av t Velger noen tilfeldige t verdier, også plotter vi punktene så skisserer vi grafen ut ifra disse punktene som vist t x y 0 0 45 6 40 5 8 0
d) d) De røde ringene er sannsynligheten for å trekke ut ei jente, mens blå er gutt I første trekning kan vi enten trekke gutt eller jente. Vi har 4 jenter og 6 gutter. 6 6 Sannsynligheten for gutt er dermed 4 6 0 4 4 og tilsvarende for jenter 4 6 0 Så ser vi på neste trekning. Vi ønsker kunn og se på de trekningene der vi har Jente også gutt, eller gutt også jente P J G P J P G J P G P J G 4 6 6 4 8 0 0 5 5 5 Dette blir mye lettere om man ser på tegningen Eventuelt kan vi løse problemet med hypergeometrisk fordeling... P J G 4 6 4 6 4 6 4 8 P J G 0 5 5 5 0 Sannsynligheta for at vi trekker en gutt og ei jente er rett over 50% 8 5
Plasserer to punkter på et linjestykke med 0 cm mellomrom. gjøres ved passer eller linjal, vi kalled endepunktene for A og B e) Konstruerer en normal gjennom A. En sirkel rundt A konstrueres først Rød Skjæringspunkene mellom linja og sirkelen er markert med farge Konstruerer to like sirkler gjennom disse punktene. Ei linje som går mellom møtepunktene er normalen Konstruerer igjen en sirkel rundt A lilla. Markerer skjæringspunktet grønnprikk konstruerer en sirkel med lik radius gjennom prikken. Skjæringspunktet gir en 60 vinkel Så halverer vi vinkelen mellom 60 og 0 graderen 0 60 0.5 75 Konstruerer to like sirkler gjennom grønn og rød. Dette halverer vinkelen
Finner midtpunktet mellom A og B. Ved å konstruere to like sirkler gjennom punktene. Midtpunktet mellom skjæringspunktene ligger midt mellom A og B Konstruerer en halvsirkel gjennom midtpunktet. Bruker regelen som sier at et punkt som ligger på buen alltid vil danne 0 grader med punktene. Kaller punktet for C Tada, ferdig! 0cm
f ) ) x 4 x x Utfører en smart polynomdivisjon lim x 4 8 x x x Ser at når x så er 8 udefinert x x 4 8 lim x x x x x lim Grenseverdien til x 4 når x går mot er udefinert x f ) ) x 4 x x Faktoriserer teller og forkorter lim. x 4 x x x x x lim x 4 x Grenseverdien til x 4 når x går mot er 4 x x...... x x 0 x 4 x x x 4 x 4 8
Oppgave a) Linja AT står vinkelrett på ST Dermed er vinkel SAT=0grader Pytagoras sier at c a b r y x r r ry y r x x y y r Q.E.D b) Om vi setter SCT=0 grader SCT er en likebent trekant som betyr at SCT STC CST 80 SCT Dermed blir vinkel TSA 80 80 SCT SCT Siden TSB 60 og STA=0. Har vi en 0-60-0 trekant. Siden SCT=BAT er CAT en likebenet trekant dermed er CT AT r y Nå kan vi bruke sinus bare for gøy, til å regne ut y sin A y r y y r r r r sin A r y sin A r r r r r r r sin 0 Når SCT 0 er y r
Del Oppgave f x 4 x e x b) a) f ' x 4 x x e x Sjekker om våre grafiske svar stemmer ^ ^ uv ' u ' v uv ' der u 4 x, u ' 8 x og v e x, v ' e x f x 4 x e x f ' x 8 x e x 4 x e x Altså er toppunktet,6e,.7 f ' x 8x 4 x Bunnpunktet 0, 0 e f ' x 0 x x 0 f 6e og f 0 0 x f ' x 4 x x e x Vendepunkt f ' x 4 x x e x f '' x 4 x 4 x e x f '' x 0 når x f 4 Gjør mye av regningen her på kalkulator dette er fordi oppgaven ber om en grafisk løsning vi regner bare for å sjekke om svarene stemmer e Vendepunktene er dermed V, 4 e V, 4 V 0.5, 0.76 V.4,.5 e
Oppgave 4 a) Arealet av en trekant er gh AB h ah Arealet av PCD blir DC y a a h b) APB PCD a a h ah APB PCD a ah ah APB PCD a Arealet av APB blir dermed Det vi har funnet er halvparten av arealet til ABCD Legger vi P i D, ser vi raskt at APB PCD er halvparten.
Oppgave 5 a) AB..OB OA.. 7,, 0.. 8, AC..OC OA.., 6, 0.. 4, 6 a b cos a, b a b 8 4 6.... 5 8, 4, 6 AC AB cos AC, AB...... 4 7 4 4 7 7 AC AB 8 4 6 5 5 AC, AB.. arccos.. arccos 7..70,467544666666855750 7 Vinkelen mellom AC og BC altså vinkel A er ca 70 grader b) Først finner vi punktene D og E, først D AD.. AB.. 8,.. 6, 4 4 D..OD..OA AD.., 0 6,.. 5, Så finner vi E AE.. AC.. 4, 6.., 4 4 D..OE..OA AE.., 0,.., Så finner vi DE..OE OD.., 5,.., 6 Altså er DE, 6 Q.E.D Dersom DE BC betyr det at det finnes et tall slik at k DE BC DE BC.k, 6..BC..OC OB.., 6 7,.. 4,8 DE BC. k, 6k.. 4,8 DE BC. k.. 4..6k 8 4 4 DE BC.k....k.. Altså er DE paralell med BC
c) Først finner vi punktene D og E, først D AB..OB OA.. 7, t, 0.. 7 t, AD AB.. 7 t,.. 7 t, 4 4 4 D..OD..OA OD.. t, 0 7 t,.. t, 4 4 Så finner vi D AC..OC OA.., 6 t, 0.. t, 6 AE.. AC.. t, 6.. t, 4 4 4 E..OE..OA OE.. t, 0 t,.. t, 4 4 Finner vi DE DE..OE OD.. t, t,.., 6 4 4 Ser vi at DE er uavhengig av t. Atlså har DE samme lengde uansett t. DE.. 6.. 6.. 4.. 5 d) Om A 0 så er dette det samme som at AC AB AC AB AC AB 0 t, 6 7 t, 0 t 7 t 6 0 t 0t 0 t t 0 t t Verdiene for t som får vinkel A til å bli 0 grader er t og t e) Så gjør vi det samme for C og B, Først ser vi når C 0 C 0 BC AC..BC AC..0 B 0 BC AB BC AC 0 4,8 t, 6..0 4,8 7 t, 0 4t 48..0 t.. 8 4t 6 0 ABC blir rettvinklet når t.,.t.,.t eller t t
t t t t
Oppgave.6 Alternativ a) Vi skal finne lengden fra A til G. Løsningen er rimelig lett men det er vanskelig å forklare,siden det blir i D... Først så vet vi at alle sidene er like. første vi gjør et at vi kan bruke pytagoras til å finne lengden av AC c a b AC AB BC AC 8 GC står 0 grader på AC, dermed kan vi igjen bruke pytagoras Litt vanskelig å se for seg, men det går med litt tenkning c a b AG AC GC AC 8 Lengden av linjestykke AG er.46 b) Nå skal vi regne ut lengden det tar å gå fra A til P på utsiden av kuben. Først regner vi ut avstanden fra A til P med pytagoras. c a b AP AE EP AP x Så ser vi på lengden PG, igjen pytagoras. Blir heftig lei pytagoras nå :p c a b PG PF FG PG x Den totale lengden er AF PG altså er S x x x Q.E.D
c) s x x x Bruker et program på datamaskinen og finner at den minste strekningen er 5 når x. Men dette er jo ikke noe gøy, la oss regne det ut! Vi deriverer strekningen og setter den lik null for å finne den korteste avstanden s x x x s x 4 4 x x x s x x 4x 8 x 4 s ' x 0 x x 4 x 8 x x x 4 x 4 x 8 x x 4 x x 4 0 0 x 4 x x 4 x 8 0 x 4 x x 4 x 8 x x 4 x x 4 x 8 x 4 x 4 x 4 x x 4 x 8 x x 4 x 4 4 x 4 x 4 x x 4 x 8 4 x 4 x 4 x x 4 x 8 x x 4 x 4 4 x 4 x 4 x x 4 x 8 x 4 x 4 4 x 4 x 4 x 4 4 x 4 0 x s x x x s 5 5 5 Altså er den minste avstanden mellom A og G på utsiden av kuben 5 når x
d) Vi har en boks... Så åpner vi lokket som vist på tegningen. Den korteste strekningen mellom A og G, vil være en rett linje Denne kan vi linja, kan vi bruke pytagoras til å finne c a b AG AB BG AG 4 4 4 4 4 5 Selv foretrekker jeg den andre metoden for variasjon, for mye pytagoras ^ - ^
Oppgave..6 Alternativ. a) Vinkelsummen i en n`kant er S n 80 n S6 80 6 70 en side blir 70 0 6 Dermed blir vinkel BCD 0 og BDC CBD 0 a b sin a sin b DB CD sin C sin B 6 CD sin C 6 sin 0 6 DB sin B sin 0 Lengden av DB er dermed 6 ca lik 7.7cm Oppgave..6 Alternativ. b) La oss først se på tilfellet der S ligger i C. vinkelsummen er S6 80 6 70 Som gir at vinkel ABC er 70 0 grader som vist før... 6 Trekanten er likebent, som betyr at BAC BCA 0
La oss så se på tilfellet der S ligger i D AD er diameteren av sekskanten, dermed halverer den vinkel A. Altså blir vinkel BAD=60 grader. AB står vinkelrett på BD som gir at ABD=0 Dette gir at ADB=0 Samme argument som D kan bli brukt på E Samme argument som C kan bli brukt på F På grunn av symmetri
.Sett passeren i A og slå en sirkel med radius. Sett passeren i B og slå en sirkel med radius. Trekk ei linje gjennom skjæringspunkten mellom sirklene 4. Skjæringspunkten mellom denne linja og AB er midtpunktet mellom A og B 5. Sett passeren i midtpunktet M. Slå en halvsirkel med radius 8 nå bort til A og B 6. Plasser et vilkårlig punkt S på sirkelen innenfor sekskanten ASB 0 så lenge punktet S befinner seg på sirkelen
. Lager en normal gjennom midtpunktet mellom A og B. finner skjæringspunktet mellom normalen og halvsirkelen. Setter passerspissen i skjæringspunktet og slår en sirkel med radius til A 4. Denne sirkelen vil gi alle punktene som er 45 grader mellom A og B. Grunnen til at dette fungerer er at vi har en sentralvinkel som er 0 grader Dermed blir perferivinkelen halvparten altså 45 grader
Oppgave 7 a) f x x x 0, Likningen til en tangent i et punkt a er gitt ved y b x a y Som også kan bli formulert slik y f ' a x a f a der a er punktet, b er stigningstallet og y er y verdien til punktet a a, y f a a og b f ' a a a a a y b x x y y a a a y a a y a y x a a a a a a a a ax ax a x a a a For å finne ut skjæringspunktene med aksene, setter vi først x 0 også setter vi y 0 y a a x a Skjæringspunktet til y-aksen når x 0 y a a 0 a y a Skjæringspunktet til x-aksen er når y 0 0 a a x a 0 ax x a Altså er kjæringspunktet til y-aksen, 0 og til x-aksen, 0 a a
b) Arealet av en trekant er høyde gange bredde delt på to Eller sagt med symboler A= hb. Her er h og b Dette fant vi ut i b a a Arealet blir dermed når vi sier at arealet er F a F a 8 a a a a
d ) Nå skal vi regne ut a verdien og arealet grafen danner Egentlig kan vi lett se at dette skjer når y x,.men la oss regne på det F a.. 8 a a Anvender oss av brøkregelen her, og setter 8 utenfor siden det er en konstant u u ' v uv '.. v v u og u ' 0, v a a v ' a F a.. a a a a 8 a a a 0 8 a F' a.. a a 8 a a a F' a..0.. : a..0 8 a..0 a a a 8 a..0 a...... Phew! Så setter vi denne verdien inn for a i F a F a.. 8 a a 8 F.. 8 8 8 8 8 F.... :........ Arealet er altså minst når a,, da er arealet.
Som en kuriositet ser vi at arealet er størst nå høyde og bredde er lik Ved litt tenking burde dette gi mening, i det minste logisk. Men la oss regne på det, bare for gøy... Dette er ikke nødvendig å gjøre på eksamen x y 6 6 : a a 4 :