Oppgaver i funksjonslære A2A/A2B, høst 2009 Avdeling for lærerutdanning, Høgskolen i Vestfold 21. august 2009 Blant disse oppgavene er følgende utvalgt for mappen: 1, 3(i) (iii) og (ix) (x), 5(viii) (ix), 8, 17 og 18. Merknader Vennligst lever løsningene innen kl. 9.00 på mandag i uke 36 (31. august). Oppgaven omfatter en del grafskissering, og derfor kan oppgaven leveres i papirkopi til G. Hitchings posthylle (1. etasje i brakka). Pass på at du tar og beholder en kopi før du leverer. Kurset tar utgangspunkt i kapittel 9 i Breiteig Venheim Matematikk for Lærere 2. Se gjerne på oppgavene i dette kapittel hvis du vil øve deg mer på disse emnene. 1 (Ulike representasjonsmåter) Menn som trener anbefales å ikke la pulsen stige over en viss maksimum, som beregnes ved å trekke vedkommendes aldre fra 220. Maksimumpulsen er derfor en funksjon av alderen. (i) Hvilken type funksjon er dette? (ii) Fremstill funksjonen med tabell (det holder med 5 6 velvalgte verdier), formel og graf. (iii) Hvilken representasjonsform blant retorisk, tabell, formel og graf mener du er best egnet funksjonen? 1
2 (Funksjoner i hverdagslivet) Beskriv to eksempler av funksjoner som oppstår i hverdagslivet. Prøv å finne én som beskriver en sammenheng (f.eks. prisen til et antall brød) og én som går på utvikling over tid (f.eks. temperaturen til pasienten på sykehus). Fremstill funksjonene med de(n) representasjonsformen(e) du mener er best egnet situasjonen. 3 (Definisjonsområder) Skriv opp definisjonsområdene til de følgende funksjonene; med andre ord, i hvilke tall hver funksjon er definert: (i) l(y) = 4y + 2 (ii) a(y) = 17y 2 5 (iii) r(y) = l(y) a(y) (iv) e 1 (s) = 4 3 s (v) e 2 (t) = 4 3 2t (vi) k(u) = u (vii) u + 1 (viii) u 2 + 1 (ix) u 2 1 (x) b(v) = 3 v (xi) 3 x 2 4 (Verdiområder) (i) Vis at verdiområdet til den lineære funksjonen 3x + 5 består av mengden med alle réelle tall. (Vink: Vis at samme hvilket tall y vi velger, finnes det alltid et tall x slik at f(x) = y.) (ii) Finn verdiområdene til annengradsfunksjonene x 2 og 1 x 2. 5 (Grafskissering) Uten bruk av IKT eller grafisk lommeregner, skisser grafene til disse funksjonene. Beregn først grafens vesentlige geometriske trekker; f.eks. form (linje, parabel, hyperbel osv.), skjæringspunkter med aksene, symmetriakse, topp-/bunnpunkt, asymptoter osv. I mange tilfeller er disse opplysningene tilstrekkelige til å skissere grafen. (i) 2x 3 (ii) 4 1 3 x 2
(iii) (x + 3)(x 2) (iv) x 2 5 2 x + 1 (v) x 2 3x (vi) x 2 x 1 (vii) (x 3) 2 (viii) 2x 2 2x + 1 (ix) 2+x 4 3x (x) 1+x x (xi) x 3 6 3x 6 Breiteig-Venheim 2, sider 91 92, oppg. 9.17. 7 (Å legge opp formler) Skriv formler for disse funksjonene: (i) en proporsjonalitet hvis grafen går gjennom ( 3, 6) (ii) en lineær funksjon som har verdi 2 i punktene 1 og 3 (Hvilket navn har denne type funksjon?) (iii) en lineær funksjon l som tilfredsstiller l(3) = 5 og l(11) = 117 (iv) en lineær funksjon som har verdi 4 i punktet 1 (Kan du finne flere ennén?) (v) en annengradsfunksjon med en sur 1 graf (vi) en annengradsfunksjon hvis grafen er symmetrisk om y-aksen (vii) en annengradsfunksjon hvis grafen er symmetrisk om linja x = 3 (viii) en annengradsfunksjon f slik at f(4) = 0 og f(1) = 0 (Kan du finne flere enn én?) (ix) en annengradsfunksjon med størst verdi 4 (x) en annengradsfunksjon hvis grafen ikke krysser x-aksen 1 sto sikkert opp for tidlig og fant ikke kaffen 3
(xi) en annengradsfunksjon h slik at h(2) = h(4) = 0, og med minste verdi 3 (xii) en annengradsfunksjon j slik at j(0) = 2, j(2) = 12 og j(4) = 35 8 La f(x) = x + 4, og g(x) = 4 + 3x x 2, og h(x) = x. (i) Hvilke typer funksjon er f(x), g(x), f(x) g(x) og g(x) f(x)? (ii) Vis at 1 f(x) + 1 h(x) er en rasjonal funksjon. (iii) For hvilke(n) x har vi g(x) = 6? (iv) For hvilke(n) x har vi g(x) = f(x)? (v) For hvilke(n) x har vi g(x) = g(x) f(x)? (vi) Skisser grafene til f(x) og g(x) i samme koordinatsystem. (vii) Hvordan kan svarene til (iii) og (iv) tolkes i forhold til geometrien på grafene du skisserte i (iii)? 9 (Morsomme ting som kan skje eller som ikke kan skje) (i) Hvilken type graf har x 2? Kan du forklare hvorfor det ikke er en hyperbel? 6 3x (ii) Hvorfor er det ikke mulig å lage en lineær funksjon l 2 slik at l 2 (0) = 1, l 2 (3) = 4 og l 2 (6) = 6? 10 Vi betrakter to forskellige mobilabonnementer: Snikksnakk og Chatterbox. For Snikksnakk betaler man kr. 3,- pr. minutt og ingen fastavgift, og for Chatterbox betaler man en fastavgift à kr. 175,- pr. måned, pluss kr. 1 pr. minutt. (i) Fremstill prisen betalt hver måned for Snikksnakk-abonnement som en funksjon. Hvilken type funksjon er dette? (ii) Siv har abonnert seg til Snikksnakk. Hvor mye betaler hun hvis hun snakker 30 min. i løpet av en måned? (iii) Fremstill prisen betalt hver måned for Chatterbox-abonnement som en funksjon. Hvilken type funksjon er dette? (iv) Christian har kjøpt et Chatterbox-abonnement. Hvis han betaler kr. 356,-, hvor mye har han snakket? 4
(v) Trekk grafene til funksjonene, og bruk dem for å anslå antall minutter man må snakke hver måned for at det skal lønne seg å ta ut et Chatterbox-abonnement. (vi) Bruk nå funksjonsuttrykkene for å løse (v). 11 En rektangulær parkeringsplass planlegges. Lengden til parkeringsplassen skal være 5m større enn bredden. (i) Vi skriver b for bredden til parkeringsplassen. Finn et uttrykk a(b) for arealet til parkeringsplassen, som funksjon av b. (ii) Vis at a er en annengradsfunksjon av b. (iii) Skisser grafen til a over et passende intervall. (Det kan hende at vi trenger en tabell med noen ekstra punkt her.) (iii) Bruk grafen til å anslå den bredden som gjør at arealet til parkeringsplassen blir 70m 2. (iv) Beregn bredden algebraisk, og sjekk anslaget ditt i (iv). 12 I tillegg til Celsius og Fahrenheit-skalene, finnes det enda en måte å måle temperatur på: den såkalte Kelvinskalaen. Skalaen er lagt opp slik: en grad på Celsius-skalaen er like stor som en kelvin 2, og 273 C er lik 0K. (i) Vis at temperaturmålingen på Kelvinskala er en lineær funksjon av målingen på Celsiusskala. Nærmere presist, vis at Kelvinmålingen = (et fast tall) (Celsiusmålingen) + (en konstant). (ii) Bruk funksjonsuttrykket til å finne ut hvordan vanns kokepunkt uttrykkes i kelvin er. 13 En stein kastes opp fra bakken med hastighet 12m/s. (i) Vis at steinens høyde h(t) over bakken etter t sekunder er gitt av formelen h(t) = 12t 4, 9t 2. (Husk at akselerasjonen av en fallende legeme er 9, 8m/s 2 mot bakken.) (ii) Hva er den største høyden oppnådd av steinen? (iii) Hvor lang tid tar det før steinen treffer bakken igjen? 2 Av én eller en annen grunn kaller man enhetene på Kelvinskalaen for kelvin er istedenfor grader Kelvin, og vi skriver f.eks. 40K fremfor 40 K. 5
14 Hvis x er et réelt tall, skriver vi x for absoluttverdien til x. Dette er definert som { x hvis x 0 x = x hvis x < 0. Denne funksjonen forteller hvor stort hvert tall x er, uten å ta hensyn til fortegnet. (i) Forklar hvorfor x aldri er et negativt tall. (ii) Skisser grafen til x på intervallet [ 2, 3]. 15 Kristian kjører flytur. Farten hans etter t timer er gitt av formelen f(t) = 450t + 15t 2 + 0, 3t 3. (i) Hvilken type funksjon er f? (ii) Beregn flyets fart etter halvannen time. 16 Martin har kjøpt seg ny bil, og nå sitter og skriver budsjett. Han har funnet ut at fastutgiftene til bilen sin er kr. 20 000,- pr. år. Videre koster det kr. 2,20 pr. kilometer å kjøre. (i) Vi skriver k for antall kilometer Martin kjører i løpet av et år. Legg opp et uttrykk u(k) for de samlede bilutgiftene, som funksjon av k. (ii) Vis at u er en lineær funksjon av k. (iii) Hvis han kjører 17 000km i løpet av året, hvor mye er utgiftene hans? (iv) Hvis hans utgifter gjennom året er på kr. 40 000,-, hvor mange kiometer har han kjørt i løpet av året? 17 En gruppe A2-studenter arrangerer en fest for å feire bursdagen til matematikklæreren sin. De finner ut at leie av lokalet (H107) koster kr. 400,- og de regner med at andre utgifter (kaffe, papir og blyant) vil bli kr. 50,- pr. gjest. Utgiftene skal spleises av studentene. (i) Vis at prisen betalt av hver student som kommer er p(x) = 450 + 50x x der x er antall studenter som er til stede. (ii) Hvilken type funksjon er p(x)? 6
(iii) Beregn y-verdien til den vannrette asymptote til grafen. Tolk dette i forhold til situasjonen som funksjonen beskriver. 18 Ved et svømmebad har man mulighetene om å betale kr. 50,- per besøk, eller om å kjøpe månedskort til kr. 275,- og betale kr. 20,- per besøk. (i) Skriv opp funksjonsuttrykk til funksjoner e(b) og m(b) som uttrykker hvor mye man betaler totalt for b besøk uten og med månedskort henholdsvis. (ii) Hvilke typer funksjoner er e og m? (iii) Skisser grafene til e og m. Bruk diagrammet til å gjette hvor mange ganger man må besøke svømmehallen for at det skal lønne seg å kjøpe månedskort. (iv) Bruk da funksjonsuttrykkene til å sjekke. 19 Vi husker at det første trekanttallet er 1, det andre 1 + 2 = 3, det tredje 1 + 2 + 3 = 6 osv. Vi skriver t(n) for det n-te trekanttallet. Vis at t(n) er en annengradsfunksjon av n. 20 En dag kl. 10 får Jens halsbetennelse når en bakterie vandrer inn i halsen hans. Slike vesener 3 deler seg i to hvert femtende minutt. (i) Hva er fordoblingstiden til antall bakterier i halsen til Jens? (ii) Hvor mange bakterier finnes det i halsen til Jens kl. 15? (Vi betrakter ideale omstendigheter 4 der ingen bakterier dør og alle deler seg akkurat så ofte som de skal.) 21 Vi betrakter rektangler med areal 100m 2. (i) Vis at omkretsen til et slikt rektangel er gitt av o(b) = 2b + 200 b er lengden til en side i rektangelet. der b (ii) Vis at o(b) er en rasjonal funksjon av b. (iii) Skisser grafen til o(b) på et passende intervall (benytt deg gjerne av GeoGebra e.l.) (iv) Bruk diagrammet til å anslå det minste omkretsen som et rektangel i rekken kan ha. Hva legger du merke til? 3 bakterier, ikke Jens 4 altså ideale for bakteriene, ikke (antagelig) for Jens 7
22 Befolkningen i Freedonia er 20 million og vokser 4% i hvert år. Statsministeren Rufus T. Firefly vil vite hvor lang tid før landet hans skal ha dobbelt så mange folk som det nå har. (i) Ved bruk av et regneark, vis at dette vil være tilfellet etter mellom 17 og 18 år. (ii) Til gjengjeld, i det naboliggende landet Greedonia bor 30 million mennesker, og befolkningsveksten er tilfeldigvis også på 4% hvert år. På samme måte, finn ut hvor lang tid det tar før Greedonias befolkning har fordoblet seg. (iii) Sammenlign Freedonias og Greedonias tilfelle. Hva legger du merke til? (iv) I et annet land, Enndonia, bor det n folk, og befolkningen vokser igjen 4% hvert år. Beregn fordoblingstiden til Enndonias befolkning. (Vink: etter ett år er befolkningen på n 1, 04, etter to år er det på n 1, 04 1, 04 = n (1, 04) 2, osv.) For deg som har vært borte i logaritmer: (v) Beregn fordoblingstiden til befolkningene i Freedonia, Greedonia og Enndonia som en logaritme. (vi) Uttrykk fordoblingstiden til en vilkårlig eksponentialfunksjon f(x) = b a x som en logaritme. (Vink: se på likningen f(x + t) = 2 f(x).) Avdeling for Lærerutdanning Høgskolen i Vestfold Grenaderveien 11 3103 Tønsberg Email: george.h.hitching@hive.no 8