Matematikk 1 (TMA4100)

Matematikk 1 (TMA4100) Forelesning 4: Grenseverdi (fortsettelse) Eirik Hoel Høiseth Stipendiat IMF NTNU 20. august, 2012

Formell definisjon av grenseverdi

Formell definisjon av grenseverdi Uformell definisjon av grenseverdi:

Formell definisjon av grenseverdi Uformell definisjon av grenseverdi: Definisjon: Grenseverdi (uformell) La f (x) være definert på et åpent intervall rundt et punkt x 0, men ikke nødvendigvis i x 0. Vi sier at f har grenseverdien L når x går mot x 0 og skriver: lim x x 0 f (x) = L, hvis verdien av f (x) blir vilkårlig nær L for alle x tilstrekkelig nære x 0.

Formell definisjon av grenseverdi Uformell definisjon av grenseverdi: Definisjon: Grenseverdi (uformell) La f (x) være definert på et åpent intervall rundt et punkt x 0, men ikke nødvendigvis i x 0. Vi sier at f har grenseverdien L når x går mot x 0 og skriver: lim x x 0 f (x) = L, hvis verdien av f (x) blir vilkårlig nær L for alle x tilstrekkelig nære x 0

Formell definisjon av grenseverdi

Formell definisjon av grenseverdi Ny formell definisjon av grenseverdi:

Formell definisjon av grenseverdi Ny formell definisjon av grenseverdi: Definisjon: Grenseverdi La f (x) være definert på et åpent intervall rundt et punkt x 0, men ikke nødvendigvis i x 0. Vi sier at f har grenseverdien L når x går mot x 0 og skriver: lim x x 0 f (x) = L,

Formell definisjon av grenseverdi Ny formell definisjon av grenseverdi: Definisjon: Grenseverdi La f (x) være definert på et åpent intervall rundt et punkt x 0, men ikke nødvendigvis i x 0. Vi sier at f har grenseverdien L når x går mot x 0 og skriver: lim x x 0 f (x) = L, hvis det for en etthvert tall ɛ > 0 finnes et tilhørende tall δ > 0 slik at f (x) L < ɛ for alle x slik at 0 < x x 0 < δ.

Definisjon av grenseverdi (illustrasjon) Illustrasjon for lim x a f (x) = b,

Regning med definisjonen

Regning med definisjonen Oppskrift: Hvordan finne en δ > 0 for en gitt f, L, x 0, og ɛ > 0

Regning med definisjonen Oppskrift: Hvordan finne en δ > 0 for en gitt f, L, x 0, og ɛ > 0 1. Løs ulikheten f (x) L < ɛ for å finne et åpent intervall (a, b) som inneholder x 0 slik at ulikheten holder for alle x x 0 i dette intervallet.

Regning med definisjonen Oppskrift: Hvordan finne en δ > 0 for en gitt f, L, x 0, og ɛ > 0 1. Løs ulikheten f (x) L < ɛ for å finne et åpent intervall (a, b) som inneholder x 0 slik at ulikheten holder for alle x x 0 i dette intervallet. 2. Finn et tall δ > 0 slik at det åpne intervallet (x 0 δ, x 0 + δ) sentrert i x 0 ligger inni intervallet (a, b)

Regning med definisjonen Oppskrift: Hvordan finne en δ > 0 for en gitt f, L, x 0, og ɛ > 0 1. Løs ulikheten f (x) L < ɛ for å finne et åpent intervall (a, b) som inneholder x 0 slik at ulikheten holder for alle x x 0 i dette intervallet. 2. Finn et tall δ > 0 slik at det åpne intervallet (x 0 δ, x 0 + δ) sentrert i x 0 ligger inni intervallet (a, b) Den formelle definisjonen er ikke velegnet til å regne ut en spesifikk grenseverdi.

Regning med definisjonen Oppskrift: Hvordan finne en δ > 0 for en gitt f, L, x 0, og ɛ > 0 1. Løs ulikheten f (x) L < ɛ for å finne et åpent intervall (a, b) som inneholder x 0 slik at ulikheten holder for alle x x 0 i dette intervallet. 2. Finn et tall δ > 0 slik at det åpne intervallet (x 0 δ, x 0 + δ) sentrert i x 0 ligger inni intervallet (a, b) Den formelle definisjonen er ikke velegnet til å regne ut en spesifikk grenseverdi. Vi bruker heller den formelle definisjonen til å bevise teoremer og bruker teoremene til å regne ut grenseverdier.

Ensidige grenseverdier

Ensidige grenseverdier Vanlige grenseverdier kalles også tosidige grenseverdier.

Ensidige grenseverdier Vanlige grenseverdier kalles også tosidige grenseverdier. f (x) er definert på begge sider av punktet x 0 og må nærme seg den samme grenseverdien L fra begge sider.

Ensidige grenseverdier Vanlige grenseverdier kalles også tosidige grenseverdier. f (x) er definert på begge sider av punktet x 0 og må nærme seg den samme grenseverdien L fra begge sider. For ensidige grenseverdier ser vi kun på f (x) på en side av x 0, og hva som skjer når x går mot x 0 fra denne siden.

Ensidige grenseverdier Vanlige grenseverdier kalles også tosidige grenseverdier. f (x) er definert på begge sider av punktet x 0 og må nærme seg den samme grenseverdien L fra begge sider. For ensidige grenseverdier ser vi kun på f (x) på en side av x 0, og hva som skjer når x går mot x 0 fra denne siden. Når vi ser på venstre eller høyre side kalles grenseverdien henholdsvis venstresidig eller høyresidig.

Definisjon høyresidig grenseverdi

Definisjon høyresidig grenseverdi Definisjon: Høyresidig grenseverdi La f (x) være definert på et åpent intervall (x 0, b) med b > x 0. Vi sier at f har grenseverdien L når x går mot x 0 fra høyre og skriver: lim f (x) = L, x x 0 + hvis det for en etthvert tall ɛ > 0 finnes et tilhørende tall δ > 0 slik at f (x) L < ɛ for alle x slik at x 0 < x < x 0 + δ.

Definisjon venstresidig grenseverdi Definisjon: Venstresidig grenseverdi La f (x) være definert på et åpent intervall (a, x 0 ) med a < x 0. Vi sier at f har grenseverdien L når x går mot x 0 fra venstre og skriver: lim x x 0 f (x) = L, hvis det for en etthvert tall ɛ > 0 finnes et tilhørende tall δ > 0 slik at f (x) L < ɛ for alle x slik at x 0 δ < x < x 0.

Sammenheng mellom ensidige og tosidige grenseverdier

Sammenheng mellom ensidige og tosidige grenseverdier Teorem: Likhet venstresidig, høyresidig og (tosidig) grenseverdi En funksjon f(x) har en grenseverdi når x går mot x 0 hvis og bare hvis den har en grenseverdi når x går mot x 0 fra høyre og venstre og disse ensidige grensene er like: lim f (x) = L lim x x 0 x x 0 f (x) = L og lim f (x) = L. x x 0 +

Den grunnleggende trigonometriske grenseverdien Teorem: Grunnleggende trigonometrisk grenseverdi. Når θ måles i radianer er: sin(θ) lim = 1 θ 0 θ

Den grunnleggende trigonometriske grenseverdien Teorem: Grunnleggende trigonometrisk grenseverdi. Når θ måles i radianer er: sin(θ) lim = 1 θ 0 θ 1 0.8 0.6 0.4 0.2 8 6 4 2 2 4 6 8 x 0.2

Grenseverdier ved x ±

Grenseverdier ved x ± Symbolet for uendelig ( ) representerer ikke et reelt tall.

Grenseverdier ved x ± Symbolet for uendelig ( ) representerer ikke et reelt tall. x uttrykker at x vokser seg større enn alle endelige grenser.

Grenseverdier ved x ± Symbolet for uendelig ( ) representerer ikke et reelt tall. x uttrykker at x vokser seg større enn alle endelige grenser. y = 1 x 10 8 6 4 2 10 8 6 4 2 0 2 4 6 8 10 2 x 4 6 8 10

Grenseverdier ved x ± Definisjon: Grenseverdi når x Vi sier at f (x) har grenseverdien L når x går mot uendelig og skriver: lim f (x) = L, x hvis det for en etthvert tall ɛ > 0 finnes et tilhørende tall M > 0 slik at f (x) L < ɛ for alle x slik at x > M.

Grenseverdier ved x ± Definisjon: Grenseverdi når x Vi sier at f (x) har grenseverdien L når x går mot minus uendelig og skriver: lim f (x) = L, x hvis det for en etthvert tall ɛ > 0 finnes et tilhørende tall N slik at f (x) L < ɛ for alle x slik at x < N.

Grenseverdier ved x ± Teorem: Lover for grenseverdier når x ±

Grenseverdier ved x ± Teorem: Lover for grenseverdier når x ± La L, M og k være reelle tall og f (x) = L og lim g(x) = M, da lim

Grenseverdier ved x ± Teorem: Lover for grenseverdier når x ± La L, M og k være reelle tall og f (x) = L og lim g(x) = M, da lim 1. Regel for sum: lim (f (x) + g(x)) = L + M

Grenseverdier ved x ± Teorem: Lover for grenseverdier når x ± La L, M og k være reelle tall og f (x) = L og lim g(x) = M, da lim 1. Regel for sum: lim (f (x) + g(x)) = L + M 2. Differanseregel: lim (f (x) g(x)) = L M

Grenseverdier ved x ± Teorem: Lover for grenseverdier når x ± La L, M og k være reelle tall og f (x) = L og lim g(x) = M, da lim 1. Regel for sum: lim (f (x) + g(x)) = L + M 2. Differanseregel: lim (f (x) g(x)) = L M 3. Produktregel: lim (f (x) g(x)) = L M

Grenseverdier ved x ± Teorem: Lover for grenseverdier når x ± La L, M og k være reelle tall og f (x) = L og lim g(x) = M, da lim 1. Regel for sum: lim (f (x) + g(x)) = L + M 2. Differanseregel: lim (f (x) g(x)) = L M 3. Produktregel: lim (f (x) g(x)) = L M 4. Regel for multiplikasjon med konstant: (k f (x)) = k L lim

Grenseverdier ved x ± Teorem: Lover for grenseverdier når x ± La L, M og k være reelle tall og f (x) = L og lim g(x) = M, da lim 1. Regel for sum: lim (f (x) + g(x)) = L + M 2. Differanseregel: lim (f (x) g(x)) = L M 3. Produktregel: lim (f (x) g(x)) = L M 4. Regel for multiplikasjon med konstant: (k f (x)) = k L lim f (x) 5. Kvotientregel: lim g(x) = L M, M 0

Grenseverdier ved x ± Teorem: Lover for grenseverdier når x ± La L, M og k være reelle tall og f (x) = L og lim g(x) = M, da lim 1. Regel for sum: lim (f (x) + g(x)) = L + M 2. Differanseregel: lim (f (x) g(x)) = L M 3. Produktregel: lim (f (x) g(x)) = L M 4. Regel for multiplikasjon med konstant: (k f (x)) = k L lim f (x) 5. Kvotientregel: lim g(x) = L M, M 0 6. Potensregel: La r og s 0 være heltall uten en felles faktor. Da er lim (f (x))r/s = L r/s dersom L r/s er et reelt tall (L > 0 hvis s er et partall).

Uendelige grenseverdier

Uendelige grenseverdier I den forrige situasjonen gikk f (x) mot en endelig verdi når x gikk mot uendelig eller minus uendelig.

Uendelige grenseverdier I den forrige situasjonen gikk f (x) mot en endelig verdi når x gikk mot uendelig eller minus uendelig. En annen situasjon er den hvor f (x) vokser seg større enn ethvert positivt tall eller mindre enn etthvert negativt tall når x går mot x 0.

Uendelige grenseverdier I den forrige situasjonen gikk f (x) mot en endelig verdi når x gikk mot uendelig eller minus uendelig. En annen situasjon er den hvor f (x) vokser seg større enn ethvert positivt tall eller mindre enn etthvert negativt tall når x går mot x 0. f (x) har ingen grenseverdi i punktet x 0, men det har fortsatt nytteverdi å beskrive denne oppførselen.

Uendelige grenseverdier I den forrige situasjonen gikk f (x) mot en endelig verdi når x gikk mot uendelig eller minus uendelig. En annen situasjon er den hvor f (x) vokser seg større enn ethvert positivt tall eller mindre enn etthvert negativt tall når x går mot x 0. f (x) har ingen grenseverdi i punktet x 0, men det har fortsatt nytteverdi å beskrive denne oppførselen. Vi sier da at f (x) går mot henholdsvis uendelig eller minus uendelig når x går mot x 0.

Uendelige grenseverdier (illustrasjon) y = 1 x 2 når x 0 10 8 6 4 2 10 8 6 4 2 0 2 4 6 8 10 2 x 4 6 8 10

Uendelige grenseverdier Definisjon: Uendelig grenseverdi Vi sier at f (x) går mot uendelig når x går mot x 0 og skriver: lim f (x) =, x x 0 hvis det for en etthvert positivt reelt tall B finnes et tilhørende tall δ > 0 slik at f (x) > B for alle x slik at 0 < x x 0 < δ.

Uendelige grenseverdier Definisjon: Minus uendelig grenseverdi Vi sier at f (x) går mot minus uendelig når x går mot x 0 og skriver: lim f (x) =, x x 0 hvis det for en etthvert negativt reelt tall B finnes et tilhørende tall δ > 0 slik at f (x) < B for alle x slik at 0 < x x 0 < δ.

Uendelige grenseverdier Definisjon: Minus uendelig grenseverdi Vi sier at f (x) går mot minus uendelig når x går mot x 0 og skriver: lim f (x) =, x x 0 hvis det for en etthvert negativt reelt tall B finnes et tilhørende tall δ > 0 slik at f (x) < B for alle x slik at 0 < x x 0 < δ. Disse definisjonene er enkle å utvide til ensidige grenser på samme måte som for vanlige grenseverdier.

Asymptoter

Asymptoter En asymptote til en funksjon er en rett linje som funksjonen nærmer seg når avstanden fra origo øker.

Asymptoter En asymptote til en funksjon er en rett linje som funksjonen nærmer seg når avstanden fra origo øker. Asymptoter klassifiseres som horisontale, skrå eller vertikale ut fra om den rette linjen er horisontal, skrå eller vertikal.

Asymptoter En asymptote til en funksjon er en rett linje som funksjonen nærmer seg når avstanden fra origo øker. Asymptoter klassifiseres som horisontale, skrå eller vertikale ut fra om den rette linjen er horisontal, skrå eller vertikal. Definisjon: Horisontal asymptote En linje y = b er en horisontal asymptote til grafen til en funksjon y = f (x) hvis enten: lim f (x) = b, eller lim f (x) = b. x x

Asymptoter En asymptote til en funksjon er en rett linje som funksjonen nærmer seg når avstanden fra origo øker. Asymptoter klassifiseres som horisontale, skrå eller vertikale ut fra om den rette linjen er horisontal, skrå eller vertikal. Definisjon: Horisontal asymptote En linje y = b er en horisontal asymptote til grafen til en funksjon y = f (x) hvis enten: lim f (x) = b, eller lim f (x) = b. x x Definisjon: Vertikal asymptote En linje x = a er en vertikal asymptote til grafen til en funksjon y = f (x) hvis enten: lim x a f (x) = ±, eller lim f (x) = ±. + x a

Eksempel: 3x2 +4 x 2 Asymptoter Vertikal asymptote x = 2 (sort) og skrå asymptote y = 3x +6 (rød). 40 20 10 8 6 4 2 0 2 4 6 8 10 x 20 40