Matematikk med TI-83

Matematikk med TI-83 3MX/Y Brukerveiledning knyttet til eksempler av Eystein Raude Arbeidet bygger på Matematikk med TI-83 på GK og VKI Eksemplene oppfyller læreplanens mål Læreplanens mål 1

Mål 3 Funksjonslære Elevene skal kunne [ eksponential- og logaritmefunksjoner ] analysere funksjoner og løse praktiske problemer Hovedmomenter Elevene skal 3d kunne bruke grafiske, regnetekniske og eksperimentelle verktøy basert på IT i funksjonslæren Eksempel 1 Tangenter. Velg RectGC, CoordOn, GridOff, AxesOn, LabelOn og EXprOn fra [2nd] FORMAT: x Funksjonen f ( x) = ln x er gitt. Finn likningen for tangenten i tangeringspunktet (2, f(2)). Vi skriver inn f i Y=:, velger WINDOW: trykker på GRAPH, og får opp dette bildet: 2

. Vi går rett på [2nd] DRAW 5: Tangent (. Da kommer dette bildet opp:. Vi velger verdien x = 2 og trykker ENTER: Nederst står tangentlikningen.. Eksempel 2 ln x 1 Funksjonen f har uttrykket f ( x) =. 2 ln x Bestem monotoniegenskapene til f. 3

Vi skriver funksjonsuttrykket inn i Y=:. Den deriverte av f skriver vi inn i Y2: MATH 8: nderive ( og ENTER:. Her skriver vi på TI-83 VARS Y - VARS 1: Function... 1: Y1. Deretter, X, X ). Vi deaktiverer Y1 ved å flytte markøren over = og trykke ENTER:.ZOOM =: ZoomFit gir bildet f er en strengt voksende funksjon. Trykker vi på TRACE kan vi lese av verdier for stigningstallet: 4

. Vi skal bestemme lim f ( x). Først aktiviserer vi Y1. Deretter bestemmer vi x 0 + verdiområdet for x ved å bruke [2nd] TBLSET: går vi inn i [2nd] TABLE:. Så. La oss se på grafen. I WINDOW velger vi disseverdiene. Trykker vi nå på ZOOM 0: ZoomFit og TRACE, får vi. Grensen er 1 2. 5

Parametrisk graftegning Eksempel 3 a) To toglinjer krysser hverandre i O og står vinkelrett på hverandre. Vi tenker oss et koordinatsystem med origo O og aksene langs toglinjene. To lokomotiv kjører på hvert sitt spor og har posisjonene A og B gitt ved: * 1 OA = t 20 6 0 & 1 ( ), og OB = t 040, ( ) 4. t er tiden målt i timer etter klokken 1200 (t = 0 svarer til kl.1200, t = 1 60 svarer til kl. 1201 osv.). Avstandene OA og OB er målt i kilometer. Vi går inn i MODE og velger Par og Simul: Deretter skriver vi vektorkoordinatene inn i Y = : I WINDOW velger vi verdier for tiden og koordinater: og 6

GRAPH og TRACE gir. Ved tidspunktet kl.1206 er tiden t = 1/10. Vi flytter markøren til tiden viser 1/10:. Det samme for det andre lokomotivet: På denne måten kan vi finne svar på hvilket lokomotiv som kommer først til origo og hvor lang tid det går mellom passeringene av origo. b) Bestem den minste avstand mellom lokomotivene. 2 2 2 2 Avstanden mellom dem er d = 20 ( t 1/ 6) + 40 ( t 1/ 4) Denne avstanden deriverer vi og finner minimum:. I Y2 skriver vi ved hjelp av MATH 8: nderive ( VARS Y - VARS 1: Function 1: Y1, X, X ): 7

at vi i. Vi deaktiverer Y1 og bruker ZOOM 0: ZoomFit etter [2nd] FORMAT har aktivisert AxesOn, LabelOn og ExprOn: spørsmålene: Vi bruker nå [2nd] CALC 2: zero og besvarer Ved tidspunktet t = 0.233 er avstanden minst, og den finner vi ved f.eks. [2nd] CALC 1: value ENTER gir. Newton`s metode Eksempel 4 3 2 Løs likningen x 3x + 1= 0 ved hjelp av Newton`s metode og begrunn ditt førstevalg av tilnærmingsverdi for x. 8

Vi tegner grafen: ENTER og TRACE: skjæringspunktene.. Vi kan starte med -0.6 som er i nærheten av et av Teorien gir løsningen til likningen ved iterasjonsformelen x = + x 1 Vi legger inn følgende uttrykk i Y= n n f ( xn) f ( x ). ' n. Vi legger inn startverdien: og 9

ENTER:. Deretter trykker vi, et tilstrekkelig antall ganger, På tilsvarende måte velger vi og Løsningene er x = 0532., x = 0. 653ogx = 2. 879. Mål 4 Integrasjon Elevene skal [ ] kunne beregne integraler [ ] numerisk og kunne løse praktiske problemer ved hjelp av integrasjon Hovedmomenter Elevene skal 4f [ ] kunne bruke IT - teknologi til å evaluere integraler numerisk Eksempel 1 x Bruk lommeregneren til å finne e 2 + 1 dx. 1 0 10

Vi benytter MATH 9: FnInt ( og skriver: Vi kunne også lagre uttrykket i Y = : og skrive Y1). (Her har vi benyttet VARS Y - VARS 1: Function 1: 11

La oss velge i WINDOW: og [2nd] CALC 7 : grense.. Her har vi svart på spørsmålene om nedre og øvre Eksempel 2 Grafen til funksjonen f gitt ved f ( x) = 4900 0. 49x 2 følger ytterkanten til deler av en bred gangvei. [2nd] FORMAT: og MODE: gjør at vi bl.a. vil se funksjonsuttrykket på skjermen, LabelOn Vi legger inn uttrykket i Y = 12

. I WINDOW setter vi grensene: GRAPH og TRACE gir:. Innerkanten av gangveien er gitt ved 2 2 x y + = 1. 8100 3600 Bruk integralregning til å finne arealet av gangveien. Løsningen av likningen gir y =± 3600 2 2 ( x). Vi får nå uttrykkene: 3. Vi kan bruke ZOOM 5: ZSquare: ENTER: Vi skraverer området mellom grafene ved 13

[2nd] DRAW 7: Shade ENTER må skrive underste funksjon først:. Legg merke til at vi. Arealet mellom grafene finner vi enten ved a) MATH 9: fnint ( eller b) [2nd] CALC 7: 14

Vi setter inn grensene og får: og ENTER: Fra dette tallet trekker vi: og ENTER: 15

. Svar: 2513m 2. 16

17

Mål 6 Statistikk og sannsynlighetsregning Elevene skal kjenne de grunnleggende statistiske begreper og kunne utføre hypotesetesting Hovedmomenter Elevene skal 6c kjenne begrepet stokastisk variabel og kunne beregne forventning og varians 18

Eksempel 1 Tabellen viser karakterfordelingen på en prøve: Karakter Hyppighet 6 1 5 4 4 9 3 7 2 4 1 2 0 1 Vi skal bestemme forventningsverdien E(x) og variansenvar(x). Vi legger tallene inn i lommeregneren under STAT 1: Edit ENTER I L3 regner vi ut sannsylighetene for de ulike utfall, P(X=x). Vi flytter markøren opp i «hodet» på L3 og skriver:. ENTER gir Forventningsverdien er. Vi har benyttet [2nd] LIST MATH 5: sum (. 2 Variansen er gitt vedvar( X ) = ( x E( X )) P( X = x) 19

Vi skriver derfor. Standardavviket er σ = VAR( X ). Det blir derfor:, hvor vi har brukt [2nd] ANS, som angir siste svaret. Stokastiske variabler. Sannsynlighetsfordelinger. La oss se et øyeblikk på de fordelinger som er aktuelle etter læreplanen og som fins på TI-83. I. Normalfordelingen. Eksempel. En stokastisk variabel X er normalfordelt med middelverdi µ = 0 og standardavvik σ = 1. Finn sannsynligheten P( 15. < x < 15. ). 20

Vi skal bruke [2nd] DISTR 1: normalpdf (. Dette er normalfordelingen. For å beregne sannsynligheten benytter vi oss av Dette gir oss og skriver inn i Y =.. ENTER:. Vi kunne ha tegnet grafen til normalfordelingen via ZOOM 0: ZoomFit: f ( x) dx:, og [2nd] CALC 7:, og. 21

II. Binomialfordelingen. Eksempel. Snøfryd er matematikklærer. Hun lager flervalgsoppgaver for å forenkle rettearbeidet. Hun lager 20 spørsmål med fem svaralternativer til hvert spørsmål. Det er kun tillatt å sette ett kryss som svar på hvert spørsmål. a) Hvor stor er sannsynligheten 1. for å få riktig svar på ett av spørsmålene ved tilfeldig avkryssing? Vi finner den binomiske sannsynlighetsfordelingen under [2nd] DISTR 0: binompdf (.. 22

Vi skriver inn antall forsøk, som her er 20, sannsynligheten for å gjette rett på hvert spørsmål, p = 1/5, og antall suksesser, som er 1: 2. for å få riktig svar på alle 20 ved tilfeldig avkryssing? Da må vi skrive: 3. for ikke å få noen rette svar ved tilfeldig avkryssing? Da får vi: b) En elev har svart rett på de 18 første oppgavene, men «har ikke peiling» på de to siste. Hvor stor sannsynlighet er det for å få 1. nøyaktig 19 riktige svar? Eleven kan få rett enten på det 19. eller det 20. spørsmålet. Derfor blir sannsynligheten (vi har nå to forsøk!) 23

2. minst 19 rette svar? Det blir 19 eller 20 rette svar. Vi benytter [2nd] DISTR A: binomcdf (. Av to forsøk skal vi ha differensen mellom sannsynligheten for alt og intet: c) For å oppnå ståkarakter må eleven ha minst sju rette svar. Hva er sannsynligheten for å få ståkarakter «uten å ha peiling»? P(X 7) = 1 PX ( < 7). Vi benytter [2nd] DISTR A: binomcdf ( hvor vi summerer sannsynlighetene: Vi «plotter» den binomiale fordeling. ( Husk å sette TI-83 i [2nd] STAT PLOT 1: On ) Vi går inn i STAT 1: Edit. I L! skriver vi 24

I L2 skriver vi: ENTER: Nå velger vi i «STAT PLOT»:. Vi trykker på ZOOM 9: ZoomStat:. Interessant å sammenlikne med normalfordelingen, med E(X) =np og σ = np( 1 p) : 25

. Vi trykker GRAPH:!!! 6d kjenne begrepene estimator og signifikans Eksempel 26

En kjøpmann mottar 50-kilos sekker med poteter fra en grossist. Standardavviket for vekten av sekkene setter vi til σ = 1.0kg. Kjøpmennen får en mistanke om at sekkene inneholder for lite, og han veier fem av dem som en kontroll. Vektene er 48, 46, 51, 49 og 50kg. Vi skal lage et 95% konfidensintervall for forventet vekt µ av alle sekkene fra grossisten. Vi laster vektene inn i en liste, L1, ved å skrive følgende på TI-83: og ENTER: STAT CALC 1: 1 - Var Stats gir: Nå benytter vi STAT TESTS 7: ZInterval.... Her har vi valgt Stats og skrevet inn det kjente standardavviket, σ = 1.0kg, de fem vektenes gjennomsnitsverdi, antall prøver og konfidensintervallets størrelse. Ved valg av Calculate får vi: Et 95% konfidensintervall tilsvarer 47.9<µ<49.7 6f kunne anvende binomisk fordeling til å utføre hypotesetesting 27

Eksempel Ved en landsomfattende teknisk kontroll av biler viste det seg at 10% hadde tekniske mangler. Vi plukker ut 90 av de kontrollerte bilene på en tilfeldig måte. a) Hva er sannsynligheten for at nøyaktig 9 av de 90 bilene vil ha tekniske mangler? Den binomiske fordelingen finner vi i [2nd] DISTR 0: binompdf(. Vi trykker ENTER og skriver inn ( antall forsøk, sannsynligheten for å finne tekniske mangler, antall med tekniske mangler ). ENTER nok en gang gir svaret:, 13.9%. b) Hva er sannsynligheten for at minst 10 biler vil ha tekniske mangler? Vi må nå benytte [2nd] DISTR A: binomcdf ( som regner ut den kumulative sannsynligheten. Da vi skal finne sannsynligheten for at minst 10 biler vil ha tekniske mangler, må vi trekke den kumulative sannsynlighet for at 9 biler har det fra 1 ( 100% ). Vi skriver:. ENTER gir: Biltilsynet i en by har mistanke om at bilene i denne byen er i dårligere teknisk stand enn bilene ellers i landet. De vil derfor gjennomføre en teknisk kontroll av 90 tilfeldig utvalgte biler i denne byen. Biltilsynet lar p være sannsynligheten for at en tilfeldig utvalgt bil fra byen har tekniske mangler, og de stiller opp hypotesen: H : p= 01. mot alternativet H 0 1 : p> 01. 28

Signifikansnivået blir satt til 5%. Da kontrollen ble gjennomført, viste det seg at 13 av de 90 bilene hadde tekniske mangler. c) Gir dette grunnlag for å forkaste nullhypotesen H 0? Forventningsverdien for biler med tekniske mangler er i dette tilfellet E(X=90) = 90 0.1 = 9. Sannsynligheten for at x biler har tekniske mangler er gitt ved x ( x) PX ( = x) = 90nCrx 01. 0. 9 90. Dette er det samme som uttrykket Vi skal utføre testen på to måter, 1) ved å benytte den kumulative binomiske fordelingen,. og 2) ved å benytte den statistiske testen STAT TESTS A: 1 - PropZInt... 1) Vi går inn i STAT EDIT og skriver [2nd] LIST OPS 5: seq( 29

. Vi skriver deretter, dvs. uttrykket for tallfølgen, som er X, den variable, som er X, 0 som startverdi, 90 som sluttverdi og 1 som er økningen. ENTER gir:. I liste 2 skriver vi deretter. Vi fyller inn for antall forsøk, sannsynligheten og tallene fra L1:. ENTER:. Vi går ned til 13 biler og leser av: Da signifikansnivået er 5%, kan vi ikke ut fra testen forkaste nullhypotesen. 30

2) Vi skriver inn STAT TESTS A:. Vi skal her beregne et kofidensintervall. Vi bygger nå på en normalfordeling, og det kan vi gjøre da n p=90 0.1 = 9 som er større enn 5, og n(1-p) = 81, som også er større enn 5. Etter ENTER får vi: vi. Dersom vi markerer Calculate og trykker ENTER får konfidensintervallet. Vårt resultat, 0.1444..., ligger godt innenfor Vi kan altså ikke slutte av testresultatet at bilene i denne byen er i dårligere stand enn i resten av landet. 6g kunne utføre hypotesetesting og konstruere konfidensintervall i Gauss modeller når er kjent. Eksempel 1 Venstresidig test En leverandør av potetsekker sier at han leverer sekker på 25 kg og med et standardavvik på = 0.5 kg. Materialet er normalfordelt. Vi tar en stikkprøve på 12 sekker og finner at gjennomsnitsvekten av disse tolv sekkene er x = 24.82 kg. Avgjør om gjennomsnittet for populasjonen kan sies å være mindre enn 25 kg, slik at vi kan klage til leverandøren. Sett signifikansnivået til 5%. 31

Vi benytter STAT TESTS 1: Z - Test... Vi velger Stats Calculate og ENTER gir følgende bilde: Denne z - verdien er større enn den teoretiske på - 1.65. ( Denne finner vi ved [2nd] DISTR 3: invnorm ( 0.95, 0, 1 ): klage på leveransen! Vi kan altså ikke Eksempel 2 Tosidig test Gjennomsnittlig levealder i Russland var i 1990 65.2 år. Standardavviket settes til σ = 11 år. I 1995 tar vi ut en stikkprøve på oppnådd levealder for 150 avdøde personer, og vi finner blant dem et gjennomsnitt på 63.8 år. Avgjør om vi ut fra disse observasjonene kan påstå at den gjennomsnitlige levealderen har endret seg. Sett signifikansnivået til 10%. 32

Vi benytter STAT TESTS 1: Z - Test : tallene: og skriver inn. Legg merke til at vi nå velger µ µ 0. ENTER gir resultatet Den z - verdien som svarer til et areal under den standardiserte normalfordelingen lik 0.95 finner vi ved hjelp av [2nd] DISTR 3: invnorm ( 0.95, 0, 1 ): Da -1.56 > -1.64 må vi konkludere med at vi ikke kan slutte at levealderen har endret seg. Vi kunne også ha regnet ut et konfidensintervall på 90% ved STAT TESTS 7: ZInterval... og fått. 33

3MY Læreplanen for 3MY skiller seg fra 3MX på noen områder, og ett område som er med i 3MY fins ikke i læreplan for 3MX. Det gjelder Mål 5 Lineær optimering ; det er imidlertid ikke noe i det emnet som ikke er dekket av det gjennomgåtte. I stedet for å gå gjennom Læreplan for 3MY som vi har gjort med de andre emnene, vil vi ta for oss oppgaver som oppfyller målene i Læreplan for 3MY. Ω Oppgave 1 a) Regn ut grenseverdiene 1) lim x 2 4 x 2 x 2 Vi skriver uttrykket i parentesen som en funksjon: Vi setter opp tabellen med [2nd] TBLSET: og ser på tabellen 34

Ved å rulle i tabellen ser vi at grensen er 4 2) lim ln 2 x 3 + e x 2 x 1 x Vi lagrer på nytt uttrykket i Y =, men denne gangen benytter vi TABLE SETUP Ask Vi går inn i tabellen og setter inn en stor verdi for x: 35

. ENTER gir Oppgave 2 En del av en takkonstruksjon beskrives ved x ( x y = 6 e e ), y 0 Bruk lommeregneren til å beregne arealet avgrenset av kurven og x - aksen 36

Vi finner nullpunktene først. [2nd] CALC 2: zero gir og. Vi bruker nå [2nd] CALC 7: f ( x) dx ENTER: og ENTER gir Vi skal lage et vindu med størst mulig areal i denne konstruksjonen. Symmetrisk om y - aksen oppreiser vi to normaler i hhv -a og a. Arealet av dette vinduet blir da a a Fa ( ) = 2a( 6 e e ) Bruk lommeregneren til å bestemme det størst mulige vindusareal. 37

Vi får funksjonen. Vi bruker MATH 7: fmax ( Bestem vinduets mål. Vi har funnet grunnlinjen, som er 2.14. Høyden finner vi ved å sette 1.069 inn i Målene runder vi av til 2.2 og 2.7. Oppgave 3 En grossist mottar 1200 kartomger sjokolade fra sjokoladefabrikken hver 30. dag. Han kjører ut 40 kartonger per dag. Lagerbeholdningen ved slutten av hver dag kan uttrykkes ved funksjonen L gitt ved 38

[ ] Lx ( ) = 1200 40xx, 0,30 der x er antall dager etter leveransen fra fabrikken. Den gjennomsnitlige lagerbeholdningen i 30 - dagersperioden kan tilnærmet uttrykkes ved 1 30 Lsnitt = L ( x ) dx 30 0 a) Bestem ved regning L snitt ved hjelp av denne formelen. Vi benytter og funksjonen slik den er gitt av formelen: En annen grossist mottar 9000 enheter av et vareslag hver 30.dag. For dette vareslaget kan lagerbeholdningen ved slutten av hver dag tilnærmet beskrives av funksjonen B gitt ved [ ] Bx ( ) = 9000 + 1 3 2 x 10x 300xx, 0,30 3 der x er antall dager etter leveranse. b) Hva er den gjennomsnitlige lagerbeholdningen for dette vareslaget i 30 - dagersperioden? 39

Som i a) bruker vi og Dette gir svaret: c) Hvilken dag kjører grossisten ut flest enheter av dette vareslaget, og hvor mye kjøres ut denne dagen? 1 2 Han må kjøre ut 300 + 10x x enheter hver dag. Ved hjelp av denne funksjonen og 3 får vi, den 15. dagen. Det kjøres ut, altså 5625 enheter. 40

41