R1 kapittel 6 Geometri Løsninger til innlæringsoppgavene

R1 kapittel 6 Geometri Løsninger til innlæringsoppgavene 6.1 a Det geometriske stedet er en sirkellinje med sentrum i punktet og radius 5 cm. 6. Vi ser at koordinataksene er vinkelhalveringslinjene for y 1 og y. Det geometriske stedet for et punkt som ligger like langt fra y 1 som fra y, er derfor x-aksen og y-aksen. Aschehoug Undervisning www.lokus.no Side 1 av 9

6.3 a b c Det geometriske stedet for sentrum i en sirkel som tangerer to rette linjer som skjærer hverandre, er de to vinkelhalveringslinjene mellom linjene. 6.4 Det geometriske stedet for et punkt som ligger 5 cm fra linja, er de to parallellene til linja i avstand 5 cm. Aschehoug Undervisning www.lokus.no Side av 9

6.5 a Det geometriske stedet for et punkt som ligger 3 enheter fra l, er de to parallellene til linja i denne avstanden fra l. b Punktet B = (0, 6). Av figuren ser vi da at linja l blir midtnormalen på AB. c Det geometriske stedet for et punkt som ligger 5 enheter fra skjæringspunktet mellom linja l og linja gjennom A og B, er en sirkel om skjæringspunktet med radius 5 enheter. Se figuren. d Det geometriske stedet for et punkt som ligger like langt fra de to linjene i oppgave c, er de to vinkelhalveringslinjene. Se figuren. 6.6 a Vi måler sentralvinkelen til 100 og periferivinkelen til 50. Forholdet mellom vinklene er. b Vi flytter punktet C langs sirkellinja. Vi flytter punktet B langs sirkellinja mens A og C ligger fast. Vi ser at når en periferivinkel og en sentralvinkel i en sirkel spenner over samme sirkelbue, så er periferivinkelen halvparten så stor som sentralvinkelen. Se figuren. Aschehoug Undervisning www.lokus.no Side 3 av 9

6.7 a Vi ser at sentralvinkelen spenner over en bue på 100, mens periferivinkelen spenner over en bue på 50. b Vi ser at sentralvinkelen spenner over en bue på 180, mens periferivinkelen spenner over en bue på 90. c Vi ser at sentralvinkelen spenner over en bue på 360, mens periferivinkelen spenner over en bue på 180. Aschehoug Undervisning www.lokus.no Side 4 av 9

6.8 a Vi ser at en sirkelbue som blir avskåret av en periferivinkel på 45, er 90. b og c: Se 6.7b og c. 6.9 a Buen AB er 60 siden C = 30 er en periferivinkel som spenner over AB. b Siden buen AB er 60, er ASB = 60. Videre er SA = SB = 5 cm. Da må BAS = ABS = 60. ABC er altså likesidet. AB er derfor 5 cm. c Aschehoug Undervisning www.lokus.no Side 5 av 9

6.10 a β Vi skal bevise at α =. BSC er likebeint fordi BS og CS er radier i sirkelen. Dermed er CBS = α. Vinkelsummen i en trekant er alltid 180. Da er BSC = 180 ( α + α) = 180 α. ( α) Videre er β = 180 BSC = 180 180 = α. β Vi har bevist at hvis AC er en diameter, så er β = α α =. b Vi ser på det tilfellet at S ligger utenfor periferivinkelen. Av figuren ser vi at α = BCD ACD, og at β = BSD ASD. Fra oppgave a har vi at BSD ASD BCD = og ACD = BSD ASD BSD ASD β Dette gir α = BCD ACD = = =. Aschehoug Undervisning www.lokus.no Side 6 av 9

6.11 a Siden AB er diameter, utgjør buen AB halve sirkelen, det vil si 180. b Buen AB er halve omkretsen av sirkelen. Buen AB er derfor 1 πr = πr = π 6 cm = 18,8 cm. c C = 90. Thales setning innebærer at når AB er diameter i en sirkel og C ligger på sirkelbuen, er C = 90. 6.1 a ABC ACD fordi C = ADC = 90 A er felles i begge trekantene. Da er B= ACD, for vinkelsummen i en trekant er 180. Når vinklene i to trekanter er parvis like store, er trekantene formlike. AC 5 Forholdstallet n1 = =. AD 3 b For de to trekantene kan vi skrive AB AC = AC AD AB 5 = 5 3 55 5 AB = = 8,3 3 3 c d ABC CBD fordi C = CDB= 90 B er felles i begge trekantene. Da er A= BCD, for vinkelsummen i en trekant er 180. Når vinklene i to trekanter er parvis like store, er trekantene formlike. Vi kan beregne CD ved Pytagoras: AC = AD + CD CD = AC AD CD = = 5 3 4 AC 5 Forholdstallet er n = =. CD 4 ACD CBD fordi ADC = CDB = 90 ACD = CBD siden de begge er komplementvinkler til BCD. Da er A= BCD, for vinkelsummen i en trekant er 180. Når vinklene i to trekanter er parvis like store, er trekantene formlike. CD 4 Forholdstallet er n3 = =. AD 3 Aschehoug Undervisning www.lokus.no Side 7 av 9

e f A A A ABC 5 4 AB CD 3 100 50 = = = = 6 3 AD DC 34 = = ACD = CBD A A A A ABC ACD A A ABC CBD CBD ACD 6 5 3 4 16 4 DB DC 3 3 64 3 = = = = = 6 3 50 3 50 5 5 = = = = = n 6 18 9 3 1 50 3 50 5 5 = = = = n 3 = 3 16 4 3 3 3 3 16 4 = = = = = n 6 18 9 3 3 Vi ser at forholdet mellom arealene er n. 6.13 De to trekantene er formlike. Da kan vi skrive a b = d e Vi omformer: a e= b d Vi dividerer med be : a e b d = be be a d = b e 6.14 a Siden M 1 og M er midtpunktene på tilsvarende sider i to formlike trekanter, er også M 1 og M tilsvarende punkter. x n = x b 1 Aschehoug Undervisning www.lokus.no Side 8 av 9

6.15 a De to trekantene har parvis like store vinkler, men sidene er ikke like lange. Vi ser at trekantene er ikke kongruente. b De to trekantene og har begge to sider som er like, og =. 1 ABC1 ABC AB BC1 BC De har A felles. Vi ser at de to trekantene ikke er kongruente. Sidene AC og AC er forskjellige. 6.16 I disse to trekantene er AB = DE. Den motstående vinkelen til disse to sidene er lik i de to trekantene ( C = F), og en av de hosliggende vinklene er like ( A = D). Siden vinkelsummen i en trekant er 180, må også den andre hosliggende vinkelen være lik. Dermed er én side og de to hosliggende vinklene like, og trekantene er kongruente ifølge fjerde kongruenssetning. Aschehoug Undervisning www.lokus.no Side 9 av 9

6.17 ACD BCD fordi linja l er midtnormalen til AB, og da er AD = BD og AC = BC CD er felles side i de to trekantene. I de to trekantene er altså sidene parvis like. Da er de to trekantene kongruente. 6.19 a Vi merker av AB = 8 cm. Vi slår en sirkel om A med radius 6 cm og en sirkel om B med radius 7 cm. Der sirklene skjærer hverandre, er C. b To trekanter med parvis like sider er kongruente. 6.0 Vi tegner linja AB = 6 cm. I A konstruerer vi en vinkel på 45. C er skjæringspunktet mellom denne og parallellen til AB i avstanden 5. For å konstruere parallellen gjør vi følgende: I B oppreiser vi en normal og finner et punkt D 5 cm fra B. I D oppreiser vi nok en normal. På denne måten blir høyden CE = 5 cm. Aschehoug Undervisning www.lokus.no Side 10 av 9

6.1 Vi konstruerer først en vinkel på 90 i punkt C. Vi avsetter AC = 7 cm. Vi slår en bue med radius 9 cm om A. Der denne buen treffer det andre vinkelbeinet til C, er B. 6. a b AC = BC = 10 cm. ABC er likebeint. c Vi bruker pytagorassetningen for å regne ut høyden h i trekanten: h + 4 = 10 h = 100 16 = 9, Høyden er 9, cm. g h 8 cm 9, cm A = = = 36,7 cm Aschehoug Undervisning www.lokus.no Side 11 av 9

6.3 Vi velger centimeter som enhet og setter av AB = 8 cm. Vi konstruerer en vinkel på 75 i A. Vi slår en bue med radius 8 cm om B. Der denne sirkelbuen treffer det venstre vinkelbeinet i A, er C. 6.4 a 1 Vi avsatte linjestykket AB lik 7cm. Vi konstruerte en vinkel på 60 med toppunkt i B og halverte den etterpå. 3 Vi slo en sirkelbue om A med radius 5 cm og fikk C 1 og C. Oppgaven har to løsninger: ABC1 og ABC Trekanten er ikke entydig bestemt, for vi kjenner to sider og den motstående vinkelen til den korteste av dem. Aschehoug Undervisning www.lokus.no Side 1 av 9

b Vi bruker sinussetningen: sin ACB sin B = AB AC sin ACB sin 30 = 7 5 7sin30 sin ACB = = 0,700 5 ACB = 44, Dette betyr at ACB = 44,. Da er BAC = 180 ( 44, + 30 ) = 105, 6. Vi bruker så cosinussetningen for å finne BC : BC = AC + AB AC AB cos BAC BC = 5 + 7 5 7 cos105,6 = 9,8 BC = 9,8 = 9, 6 Lengden av BC er 9,6 cm. AC1B = 180 44, 4 = 135, 6 Da er BAC1 = 180 ( 135, 6 + 30 ) = 14, 4. Vi bruker så cosinussetningen for å finne BC1: BC = AC + AB AC AB cos BAC1 BC = 5+ 7 57cos14,4 = 6,0 1 1 1 1 1 = 6, 0 =,5 BC Lengden av BC 1 er,5 cm. c Et ekstra krav kunne ha vært at C < 90, eller at A var oppgitt. 6.5 Vi ser av figuren at det er ikke mulig å konstruere en trekant med GH = 10 cm og HI = GI = 4 cm, for de to sirklene om G og H med radius lik 4 cm har ingen skjæringspunkter. Aschehoug Undervisning www.lokus.no Side 13 av 9

6.6 Når alle tre sidene i en trekant er gitt, får vi enten én løsning eller ingen løsning. Se også figuren i oppgave 6.5. 6.7 a I en likebeint trekant er vinklene ved grunnlinja like store, dvs. at de to andre vinklene er 180 90 = 45. b Vinklene i trekanten er gitt, men ingen av lengdene er gitt. Det fins uendelig mange trekanter med disse vinklene. c Vi avsetter linjestykket AB = 7 cm. Vi konstruerer en vinkel på 90 med toppunkt i A og halverer den etterpå. Vi gjør tilsvarende i punkt B. Der disse vinkelhalveringslinjene skjærer hverandre, er C, og vinkel C blir da 90. Aschehoug Undervisning www.lokus.no Side 14 av 9

6.8 a Vi avsatte et linjestykke og merket av punktet A. Vi konstruerte en vinkel på 60 med toppunkt i A. Vi avsatte AC lik 4 cm. Vi slo en sirkelbue om C med radius 7 cm og fikk B. Vi slo en sirkelbue om A med radius 10 cm og fikk B. Vi kopierte ABC i Bog fikk C. AC 4 = CB 7 B C BC og ABC ABC AC 4 Da er =. CB 7 b Vi bruker først sinussetningen for å finne ABC. sin AB C sin A = AC B C sin AB C sin 60 = 4 7 sin 60 4 sin AB C = 7 AB C = 9,66. Dermed er B = 9,66. Vi bruker cosinussetningen for å finne AC: AC = AB + BC AB BC cosb 7 7 AC = 10 + AC 10 AC cos 9,66 4 4, 065AC + 30, 414AC 100 = 0 AC = 4,9 eller AC = 9,8 Lengden av AC er 4,9 cm. Aschehoug Undervisning www.lokus.no Side 15 av 9

6.9 a En femkant kan vi dele i tre trekanter. b En sekskant kan vi dele i fire trekanter. c En tikant kan vi dele i åtte trekanter. Aschehoug Undervisning www.lokus.no Side 16 av 9

6.30 a Vi avsatte linjestykket AC lik 6,5 cm. Vi slo en sirkelbue om A med radius 4 cm og en sirkelbue om B med radius 4 cm. Der disse to sirkelbuene skar hverandre, er B. Vi slo en sirkelbue om A med radius 7 cm og en sirkelbue om C med radius 6 cm. Der disse to sirkelbuene skar hverandre, er D. b Vi konstruerte en vinkel på 90 i punktet H. Vi slo en sirkelbue om H med radius 5 cm og fant G. Vi slo en sirkelbue om G med radius 8 cm og fant E. Vi slo en sirkelbue om E med radius 4 cm og en sirkelbue om G med radius 5 cm. Der de sirkelbuene skar hverandre, er F. Aschehoug Undervisning www.lokus.no Side 17 av 9

c Vi avsatte IJ = 6 cm. Vi konstruerte en normal med i I og en normal i J. Vi avsatte IL = 4 cm og JK = 4 cm. Vi trakk KL. d Vi avsatte linjestykket MN = 8 cm. Vi konstruerte en vinkel på 75 med sentrum i N. Vi avsatte linjestykket NO = 5 cm. Vi slo en sirkel om M med radius 5 cm og en sirkel om O med radius 8 cm. Vi trakk parallellen med MN gjennom O. Vi avsatte OP = 6 cm. Aschehoug Undervisning www.lokus.no Side 18 av 9

6.31 Vi avsatte linjestykket AB = 6 cm. Vi konstruerte en normal til AB i B og avsatte BC = 6 cm. Vi fikk da punkt C. Vi konstruerte en vinkel på 60 med toppunkt i C og avsatte CD = 10 cm. Vi konstruerte en vinkel på 75 med toppunkt i D og trakk en linje. Vi slo en sirkelbue om A med radius på 6 cm. Der denne sirkelbuen traff høyre vinkelbein i D, fant vi punkt E. 6.3 a En regulær trekant kalles likesidet trekant. b En regulær firkant kalles kvadrat. 6.33 a (Her fins det ulike løsningsmåter.) Vi har delt sekskanten i seks regulære trekanter. CAE = 60 fordi ACE er likesidet. ACDF er et rektangel, og CAF = 90. EAF = 90 60 = 30. Tilsvarende er BAC = 90 60 = 30. Da er BAF = A = 30 + 90 + 30 = 10. Vinkelen i en regulær sekskant er 10. Aschehoug Undervisning www.lokus.no Side 19 av 9

6.34 Deloppgavene a, b, c og d er vist i figuren. e De åtte punktene som ligger på sirkellinja, danner en regulær åttekant. f ASB = 90 siden ABCD er et kvadrat. ASE = 45 siden SE er midtnormal. 180 45 ASE er likebeint, og SAE = SEA = = 67,5. Tilsvarende er SEB = 67,5. Da er AEB = 67,5 = 135. Vinklene i en regulær åttekant er 135. 6.35 Vi avsatte linjestykket DC lik 1 cm. Vi konstruerte en vinkel på 75 med toppunkt i D. Vi trakk linja l. Vi slo en sirkelbue om D med radius 6 cm. Der sirkelbuen traff l, fant vi A. Vi konstruerte en vinkel på 30 med toppunkt i A. Vi trakk linja m. Vi slo en sirkelbue om A med radius 5 cm. Der sirkelbuen traff m, fant vi B. Vi trakk hjelpelinja BC. Vi fant midtpunktet på BC og konstruerte buen BC som er en halvsirkel. Aschehoug Undervisning www.lokus.no Side 0 av 9

6.37 b Vi merker av de tre punktene i koordinatsystemet. Vi konstruerer midtnormalen på AB og midtnormalen på BC. Der midtnormalene krysser hverandre, ligger sirkelens sentrum. Vi konstruerer sirkelen. 6.38 a Vi tegner en trekant i et dynamisk konstruksjonsprogram. Vi konstruerer midtnormalene på de tre sidene og finner omsenteret. Vi kan dra hjørnene slik at vi ser at når trekanten er rettvinklet, faller omsenteret på en av sidene i trekanten. Aschehoug Undervisning www.lokus.no Side 1 av 9

b Vi tegner en trekant i et dynamisk konstruksjonsprogram. Vi konstruerer midtnormalene på de tre sidene og finner omsenteret. Vi kan dra hjørnene slik at vi ser at når en av vinklene i trekanten er større enn 90, faller omsenteret utenfor trekanten. 6.40 Aschehoug Undervisning www.lokus.no Side av 9

6.41 a Når trekanten er likesidet, faller omsenteret og innsenteret sammen. b Når trekanten er likebeint, faller den ene vinkelhalveringslinja sammen med midtnormalen. Se figuren. Aschehoug Undervisning www.lokus.no Side 3 av 9

6.43 a Vi trekker medianene AE og BF og deretter hjelpelinja EF. Fordi F og E er midtpunkter, er AF = FC og BE = EC. Da vet vi at AB EF. ABC FEC, med forholdstallet n =. Da har vi at AB = EF. GAB GEF, siden GA B = GEF og GBA = GFE. AG AB EF Altså får vi at = = = =. G E EF EF 1 Vi har vist at medianene BF og AE skjærer hverandre i et punkt som deler dem i forholdet : 1. AG b Hvis skjæringspunktet ikke er det samme som G, dvs. hvis G G, må. GE Altså må antakelsen være feil. G = G. 6.44 Vi kaller tyngdepunktet i trekanten G. Se figuren. Dette punktet deler medianene i forholdet : 1. Det gir x = 9 x 1 x= 18 x 3x = 18 x = 6 Det er altså 6 cm fra tyngdepunktet i trekanten til hjørnet C. Aschehoug Undervisning www.lokus.no Side 4 av 9

6.45 Her har det dessverre skjedd en ombytting av lengdene i oppgaveteksten: Det er AD som er 6, mens CE er 9. (Gjelder 1. og. opplag.) Då blir konstruksjonen seende slik ut: Løsninger til innlæringsoppgavene Aschehoug Undervisning www.lokus.no Side 5 av 9

6.47 Vi leser av ortosenterets koordinater til omtrent (5,6,,9). 6.48 I et dynamisk konstruksjonsprogram kan vi dra i hjørnene mens vi observerer hvor ortosenteret er. a Ortosenteret er identisk med et av hjørnene i trekanten når den er rettvinklet. b Ortosenteret faller utenfor trekanten når en av vinklene i trekanten er større enn 90. Aschehoug Undervisning www.lokus.no Side 6 av 9

6.49 Cevas setning er oppfylt, for AF BD CE,945,84 4, 11 = = 1 FB DC CA 1,95 3,867 4,68 6.50 a AB er parallell med DE, for C = D = 90. Firkanten er derfor et trapes. b Arealet av et trapes er gitt ved ( a+ b) a+ b a+ b A ACDE = h= ( a+ b) = c Trekantene ACB og BDE er kongruente, så CBA + EBD = 90. Videre er CBA + ABE + EBD = 180. Det gir ABE + 90 = 180, og dermed er ABE = 90. A = A + A + A ab ab cc 1 A ABCD = + + = ab + c d ABCD ΔACB ΔBDE ΔABE e For å bevise pytagorassetningen setter vi de to arealuttrykkene i oppave b og d lik hverandre. Det gir ( a+ b) 1 = ab + c ( a+ b) = ab+ c a + ab+ b = ab+ c a + b = c Aschehoug Undervisning www.lokus.no Side 7 av 9

6.51 a DCE = 90 fordi BE = BD = BC = a. Slår vi en sirkelbue om B med radius a, vil punkt C ligge på denne sirkelbuen. Etter Thales' setning er da DCE = 90. b ACD og BCE er begge komplementvinkler til DCB. De må derfor være like store. c CBE er likebeint siden BE = BC = a. Da er vinklene ved grunnlinja CE like store, dvs. BCE = CEB. d e ACD AEC fordi A er felles i begge trekantene. ACD = BCE = CEB Siden vinkelsummen i en trekant er 180, må også den tredje vinkelen være lik i de to trekantene, dvs. ADC = ACE. Vi har vist at vinklene er like i de to trekantene, og da er trekantene formlike. AE AC a + c b = gir = AC AD b c a ( a+ c) ( c a) = b ac a + c ac = b a + b = c Aschehoug Undervisning www.lokus.no Side 8 av 9

6.5 Arealet av ABF er like stort som arealet av BCF: 1 BC Fordi BEC er kongruent med ABF, er også arealet av BEC lik 1 BC. Videre er arealet av BEC like stort som arealet av JEB, som utgjør halve rektangel JKEB. 1 Arealet av rektangel JKEB er derfor BE JB= AB JB = BC = BC, som setning 4 side 76 sier. Aschehoug Undervisning www.lokus.no Side 9 av 9