( ) = ( ) = ( ) = + = ( ) = + =

6. Lineær modell I modell A (foregående side) la vi til grunn en tanke om like stor tilvekst pr. tidsenhet. Vi kan lage tabell: År 989 990 99 992 993 994 År etter 989 0 2 3 4 5 Antall elever 00 5 30 År 995 996 997 998 999 År etter 989 6 7 8 9 0 Antall elever 250 og tegne graf: 250 200 50 00 50 0 0 2 3 4 5 6 7 8 9 0 Oppgave 6.2 f 0 00 f 0 00 f 00 5 5 f 00 5 5 f ( ) = ( ) = ( ) = + = ( ) = + = ( ) = + = ( ) = + = ( ) = + = ( ) = + = 2 00 2 5 30 f 2 5 5 30 f 3 00 3 5 45 f 3 30 5 45 Her ser vi to måter elever har tenkt på for å finne ut hvor mange elever det er til enhver tid. Som lærer ønsker du at elevene skal finne en formel som er slik at de kan regne ut elevtallet et gitt år uten å måtte regne ut elevtallet alle foranliggende år. Hvordan kan du hjelpe de to elevene til å finne en slik formel? Vi har ikke trukket streker mellom punktene vi har plottet inn i figur 6., det betyr at vi ser på dette som en diskret funksjon. Elevtallet øker sjelden slik i løpet av skoleåret. KAPITTEL 6 69

Vi har mange eksempler på denne typen funksjoner (at noe vokser jevnt) som er kontinuerlige.. Ved innkjøp av epler til kr. 9,00 per kg. kan vi se på prisen vi betaler som en funksjon av antall kg. vi kjøper. Vi kan f.eks. kjøpe 3,62 kg. Definisjonsmengden vil være [ 0,. 2. Hvis vi kjører med jevn fart vil veien vi har tilbakelagt være en funksjon av tiden. 3. Et kar fylles med vann fra en kran, trykket er konstant. Vi kan se på vannmengden i karet som en funksjon av tiden. I disse tilfellene vil den matematiske beskrivelsen stemme helt overens med den virkelige situasjonen, men vi kan selvsagt stille spørsmål ved 2. Hvor realistisk er det at vi kjører med helt jevn fart? Kanskje ligger det en idealisering inne allerede? Flere eksempler? Oppgave 6.3 Tegn grafen til. og 2. Hvordan vil du beskrive dem? Vi sier at dette er lineære funksjoner fordi grafen blir ei rett linje. I eksempelet med elevtallet som øker jevnt ser vi at kryssene vi har tegnet inn ligger på ei rett linje, derfor er dette også en lineær funksjon. Formelen i elevtall-eksempelet: f( x) = 5x + 00, Df = N Formelen i eplekjøp-eksempelet: f( x) = 9 x, D f = [0, I elevtall-eksempelet er a = 5 og b = 00. I eplekjøp-eksempelet er a = 9 og b = 0. Vi kan også tenke oss funksjoner hvor a = 0, f.eks. en skole med stabilt elevtall, der vi ser på elevtall som funksjon av tiden, d.v.s. f x ( ) = 00. Oppgave 6.4 Se på situasjonene beskrevet nedenfor. Formuler funksjonssammenhenger med ord, finn formler, bestem definisjonsmengde og verdimengde og tegn grafer. a) Per plukker jordbær for en bonde, han tjener 3 kr. per kurv. b) Liv skal arrangere rekefest, hun beregner /2 kg. reker per person. 70 ALGEBRA OG FUNKSJONSLÆRE

c) Kl. 20 00 en kveld er temperaturen 0 ºC og temperaturen synker med ºC i timen fram til kl. 04 00. Hva kjennetegner disse funksjonene? Beskriv fellestrekk ved grafene. ( ) =, hvor a er kon- Alle disse funksjonene får formler av typen f x ax stant. Grafene blir rette linjer som går gjennom origo (0, 0). Slike funksjoner kalles for proporsjonaliteter og har den egenskapen at forholdet mellom funksjonsverdi og x-verdi er konstant: ( ) = a. a kalles proporsjonalitetskonstanten. f x x Vi sier at to størrelser er proporsjonale, eller at f( x) er proporsjonal med x, når det er slik at hvis x dobles, dobles f x ( ) også, ( ) hvis x tredobles, tredobles f x o.s.v. Eksempel 6. Vei i km 5 0 5 20 50 Bensin i liter 0,35 0,7,05,4 3,5 Vi ser på bensinforbruk som funksjon av veilengde. Dobles kmlengden, dobles bensinforbruket. Proporsjonalitetskonstanen blir 0, 35 0, 7 = = = 5 0 0, 07 a gir oss økning per enhet langs førsteaksen. (Plukker jeg en jordbærkurv mer, tjener jeg 3 kr. mer o.s.v ) Vi kaller a stigningstallet til linja f( x). Det betyr at hvis jeg fra et punkt på linja beveger meg en enhet mot høyre langs førsteaksen, må jeg bevege meg a enheter langs andreaksen for å finne igjen funksjonsverdien. KAPITTEL 6 7

y h(x)=ax a f(x)=(/2)x /2 g(x)= x x På figuren har vi anskueliggjort stigningstallet ved å tegne inn rettvinklede trekanter. Se på trekanten som viser: «enhet mot høyre langs førsteaksen fører til /2 enhet langs andreaksen». Vi kan like godt trekke en annen trekant: «2 enheter langs førsteaksen fører til enhet langs andreaksen» Eller : «0 enheter langs førsteaksen fører til 5 enheter langs andre» Alle rettvinklede trekanter som vi kan tegne med grafen som hypotenus vil bli formlike. Forholdet mellom vertikal og horisontal katet vil være stigningstallet a. (Her er a = 0, 5) Vi går tilbake til eksemplet med elevtallet der vi har funnet at funksjonen f( x) = 5x + 00 er en modell for hvordan elevtallet kan ha utviklet seg. Dette er ikke en proporsjonalitet. Forholdet mellom f( x) og x blir: f ( x ) 00 = 5 +, som vil forandre seg når x forandres. Også i slike funksjoner sier vi at a er stigningstallet. Vi vet at x x øker vi x med øker funksjonsverdien med a. I elevtall-eksempelet tilsvarer dette: Hvert år øker elevtallet med 5. At forandringen er konstant vil si det samme som at vi har en jevn utvikling. Stigningstallet sier noe om hvor bratt linja er: stor a gir en graf som stiger raskt liten positiv a gir en graf som stiger langsomt a = 0 gir en graf som er parallell med førsteaksen negativ a gir en graf som synker 72 ALGEBRA OG FUNKSJONSLÆRE

b i formelen forteller om hvor grafen skjærer andreaksen. Når b = 0 har vi en proporsjonalitet og grafen går gjennom origo. I elevtalleksempelet er b = 00 og grafen skjærer andreaksen i punktet (0, 00). I mange eksempler vil b være en fast avgift e.l. For eksempel strømregningen: Vi betaler kr. 695 i nettleie per år og 37 øre per kwh. Totalprisen blir en funksjon av antall kwh: f( x) = 0, 37x + 695. Selv om ( ) =, gene- vi ikke bruker strøm må vi betale de 695 kronene: f 0 695 relt har vi at f( 0) = b. I likningen f( x) = ax + b, sier vi at a og b er parametre, de bestemmer funksjonen. Forandrer vi på a og/eller b får vi en annen funksjon. Vi har til nå bare sett på funksjoner som har positive tall og 0 i definisjonsmengden. I matematikken opererer vi ofte med funksjoner der definisjonsmengden er alle tall på tallinja, R, eller alle hele tall, Z. I mange praktiske situasjoner blir definisjonsmengden begrenset til positive tall (R + eller Z + ). Om bokstaver, parametre og variable. To samtaler som illustrasjon: Det er ikke lett å begrunne bokstavregning for elevene: Elev, 8.kl: Hvorfor må vi regne med bokstaver? Lærer forsøker seg urolig: Fordi da kan vi lage regnestykker som kan gjelde alle tall. Du kan velge hvilket tall du vil i stedet for bokstavene. Eleven avbryter: Så bruk tall da vel! Student : Noen ganger sier du parametre, noen ganger variable. Jeg vet at a- er og b-er brukes i parametre- og at x-er og y-er brukes for variable. Men? Lærer: Parametrene er konstante når funksjonen er bestemt. Når vi varierer x får vi funksjonsverdiene. (Huskeregel: v for valg og for variable). Student : Men likevel, jeg forstår ikke helt forskjellen mellom de to Lærer forsøker en gang til, men merker selv at han gjentar seg. Studenten ser tomt på ham. Student 2: Når du velger en x får du en y (eller en f( x) ) ikke sant? Og vi kan tegne en graf. x og y er variable. Og når de varierer får vi liksom et bilde av funksjonen. Student : Ja det forstår jeg, men KAPITTEL 6 73

Student 2: Og så har vi noen familier av funksjoner. En familie er de rette linjene. De har alle formelen f x ax b ( ) = +. Når vi har valgt tallverdi for a og for b har vi valgt ei rett linje. Vi har bestemt funksjonen. Det er uendelig mange funksjoner som er rette linjer i samme familie Student : En funksjon har en graf. Det betyr altså at en funksjon aldri har en parameter i formelen parametrene er der bare før vi har bestemt hvilken funksjon det er. Vi vet bare familien dersom vi har a eller b Lærer stille: Takk, begge to. Oppgave 6.5 Vi kan tenke oss at vi sparer kr. 500 i måneden. Vi har kr 7500, i banken, og sier at t = 0 er i dag. Vi ser på innestående som en funksjon av tiden, t. (Her ser vi bort fra rentene) Finn et uttrykk for f( t). Hvordan tolker du f( 2 )? Hva blir definisjonsmengden her? Å finne formelen for ei rett linje Vi kan finne formelen for en lineær funksjon dersom vi har grafen. Vi vet at formelen er av typen f( x) = ax + b. b kan vi lese av som skjæringspunktet mellom grafen og andre-aksen. Når vi skal finne a må vi ta utgangspunkt i et punkt på grafen, bevege oss en enhet langs første-aksen og se hvor langt vi må bevege oss langs andreaksen før vi møter grafen igjen. Se eksempelet under. y l 2 2 6 3 2 2 l 2 2 3 2 4 5 x ( ) = + For linja l 2 ser vi at b = 2 og a = 2. Dette gir f x 2x 2. Det er ikke alltid like enkelt å lese av korrekte verdier på en graf. Da kan vi benytte oss av at vi vet at forholdet mellom forandring i funksjonsverdi og forandring i x-verdi er konstant for lineære funk- 74 ALGEBRA OG FUNKSJONSLÆRE

sjoner. Det betyr at vi kan velge to punkt som er lette å lese av på grafen. For linja l 2 velger vi punktene (0, 4) og (6, 2). Vi ser at når x øker med 6 avtar f x ( ) med 2. Forholdet blir da: 2 4 2 6 0 = =. Dette er a-en vi søker. Vi ser 6 3 av figuren at vi kunne valgt andre punkt, da ville vi fått en trekant formlik med den vi valgte. Vi kjenner til at forholdet mellom tilsvarende sider i to formlike trekanter er det samme, vi får altså samme a uansett hvilke to punkter vi velger. b leser vi av grafen til å være 4. Formelen her blir g( x) = x + 4. 3 Å finne formel for ei linje når vi kjenner et punkt og stigningstallet Vi kan nå tegne linja og finne formelen ved å se på grafen. Vi kan også finne formelen uten å tegne graf først. Eksempel 6.2 Vi vet at punktet (2, 4) ligger på ei linje som har 2 som stigningstall. Vi skal finne en formel av typen ax + b. Her kjenner vi allerede a, i tillegg kjenner vi et par sammenhørende verdier. Vi vet da at f( 2) = 4, dette bruker vi slik: f( 2) = ( 2) 2 + b = 4, vi løser denne likningen med hensyn på b, og finner at b = 8, og altså: f( x) = 2x + 8. Generelt: Kjenner vi et punkt x, y ved å sette: y = ax + b b = y ax ( ) og stigningstallet a finner vi b og vi har formelen. Alternativt kan vi bruke den såkalte ettpunktsformelen: y y = a( x x ) KAPITTEL 6 75

Å finne formelen for ei linje når vi kjenner to punkt på linja Eksempel: Vi vet at punktene (, 3) og (5, 9) ligger på ei linje. Vi kan nå finne stigningstallet ved å se på forholdet mellom forandring i funksjonsverdi og forandring i x-verdi. Her: 9 3 6 3 5 = 4 = 2 = a Kjenner vi stigningstallet a, finner vi skjæringspunktet med andreaksen, b som i eksempelet foran. Det er det samme hvilket av de to punktene vi bruker i utregningen. ( ) og ( x y ) finner vi a Generelt: Hvis vi kjenner punktene x, y 2, 2 slik: a y2 y =. Alternativt kan vi bruke topunktsformelen: x x 2 y y y y = 2 ( x x x x ) 2 Oppgave 6.6 f( x) = 5x + 0 Finn en praktisk situasjon som kan beskrives med denne formelen. Tegn funksjonens graf. Hva betyr stigningstallet i situasjonen du har valgt? Bestem definisjonsmengden. Hvis vi ser bort fra den valgte situasjonen, hva vil du da si om definisjonsmengden? Oppgave 6.7 Anders har sommerjobb som bærplukker, han har en fast daglønn og får i tillegg en fast sats per kilo bær han plukker. En dag plukket han 50 kg. bær og tjente 300 kr, dagen etter plukket han 65 kg bær og tjente 360 kr. Se på daglønn som en funksjon av kg plukkede bær og tegn dette inn i et koordinatsystem. Finn en formel som uttrykker denne sammenhengen, og gjør greie for hva de ulike tallene/symbolene i formelen uttrykker. Hva er funksjonens definisjonsmengde? Oppgave 6.8 Lisbeth og Rune er på biltur. De sitter i baksetet og noterer hvor langt de kjører. kvarter: 2 km, 2 kvarter: 28 km, 3 kvarter: 53 km, 4 kvarter: 73 km, 5 kvarter: 83 km, 6 kvarter: 83 km, 7 kvarter: 00 km, 8 kvarter: 23 km. 76 ALGEBRA OG FUNKSJONSLÆRE

Tegn inn tallene i et koordinatsystem. Sett et kvarter lik cm langs x-aksen og 0 km lik cm langs y-aksen. a) Hva tenker vi hvis vi trekker en sammenhengende graf mellom punktene? Hvilke forutsetninger gjør vi når vi tegner rette linjer som bilde/ modell for bilturen? b) Trekk rette linjestykker mellom punktene, vi får i alt 8 linjestykker. Bestem stigningstallet for hvert av dem. Dette stigningstallet er uttrykk for fart, finn benevning for farten. c) Hva er gjennomsnittsfarten for hele turen? Tegn inn grafen vi får om farten hadde vært konstant hele tiden. Les av diagrammet når farten var over eller under gjennomsnittsfarten. d) Kan vi finne en metode slik at vi direkte ut fra diagrammet kan lese av når fartsgrensen på 80 km/t ble overskredet? I oppgave 6.8 har vi arbeidet med den deriverte til funksjonen Stigningstallet er et uttrykk for farten, det er den deriverte til funksjonen. Den deriverte er konstant for den rette linja. Den er like bratt hele tida, eller farten er konstant. Noen vil kjenne igjen skrivemåten: f'. Vi har at f'( x) = a når f( x) = ax + b. Mer om derivasjon i kapittel0. Oppgave 6.9 Vi ser på tilbakelagt vei som funksjon av tiden. Grafen ved km 200 siden av er en illustrasjon av dette. Bestem funksjonens formel, og forklar de enkelte ledd. Hvor stor fart har bilen, hvordan 50 00 50 leser du av farten? 2 3 4 timer Oppgave 6.0 a) Ei rett linje går gjennom punktet (5, 7) og har stigningstall 2,5. Tegn og finn likningen for linja. b) Ei rett linje går gjennom punktene (2, 5) og (5, ). Tegn denne og bestem funksjonsforskriften. c) Ei rett linje går gjennom punktene ( 2, 4) og (3, 3,5). Tegn og finn formel. d) Ei linje er parallell med den i b) men går gjennom punktet (3, 2). Kan du finne likningen for denne? KAPITTEL 6 77

Oppgave 6. Tabellen under viser hvor stor prosentdel heltidsansatte kvinner i skolen utgjør av alle heltidsansatte i skolen i tidsrommet 986 992. Tegn dette inn i et koordinatsystem. Lag en lineær modell for dette. Vurder modellen din. Synes du den er god? Med utgangspunkt i modellen du har laget: Hva vil du si om utviklingen videre fremover? År 986 987 988 989 990 99 992 %-del 39,5 42,2 43,3 44, 44,7 45,6 46,4 Oppgave 6.2 Nedenfor ser du et utklipp fra en brosjyre om bilutleie. Du skal leie en bil for helgen. Du har da to ulike pristilbud å velge mellom. Illustrer de to tilbudene grafisk i et koordinatsystem. Personbiler Pris- DAG WEEKEND UKE gruppe 00 km Fri km 250 km Fri km 700 km Fri km Over km A 500 800 042 250 2500 3600,95 Fri km dagspriser er fallende ved lengre leieforhold Bruk illustrasjonen til å bestemme for hvilke kjørelengder de to tilbudene er best. Finn formel for hvert av tilbudene. Hvordan fungerer den grafiske fremstillingen som en hjelp til å vurdere lønnsomheten her? Er det andre måter du heller ville gjort dette på? Oppgave 6.3 Du tar på deg å sortere og distribuere noen reklamehefter for et firma. Innenfor visse rammer får du selv påvirke lønnsbetingelsene. Du får en fast pris for oppdraget og en sum per hefte i tillegg. Sett opp tre forslag til lønnsavtaler. Se på summen du får utbetalt som funksjon av antall hefter. Hold avtalene opp mot hverandre, diskuter lønnsomhet. Viser noen av avtalene direkte proporsjonalitet i forholdet mellom lønn og antall hefter? Forklar hvordan en slik funksjon vil være. Hvis du ikke allerede har gjort det, tegn grafer og finn formler. Alle disse grafene vil bli rette linjer, kan du forklare hvorfor det blir slik? 78 ALGEBRA OG FUNKSJONSLÆRE

Oppgave 6.4 Du arbeider i 7. 8. klasse og du vil bruke oppgave 6.3 til å arbeide med formalisering. Lag en oppgavetekst der du først lar eleven regne ut lønn etterhvert som du varierer antall brosjyrer. Led dem videre til å utvikle/se sammenheng med funksjonsformelen. Vær nøye med å skrive denne oppgaven ut slik du vil legge den fram for elevene. 6.2 Eksponentiell modell Når vi har arbeidet med den rette linja har vi tenkt additivt, vi har lagt til like stor verdi for like lange tidsintervall (x-verdier). I en eksponentiell modell tenker vi multiplikativt, vi multipliserer med like stor verdi for like lange tidsintervall (x-verdier). Arbeidsoppgave Oppgaven under kan arbeides med av barn fra 2. 3. klasse og oppover til studenter. Den er hentet fra materialet: Leik med tall, Caspar forlag. KAPITTEL 6 79