1 «Matematikk med hjertebank» «Kun den kan tenne et hjerte som selv brenner» (Jon-Roar Bjørkvold) Basert på teoriene til Ostad, Vygotsky og kognitiv psykologi.
2 Innhold: Jakten på mestring, samt eksamensresultatene fra våren 2015 En kognitiv modell Metakognisjon, samt strategier (måter å lære på) Ikonisk minne, samt nærmeste utviklingssone Elevene i et flerkulturelt miljø Rammer for undervisningen Siffer og tall, samt 10-tallsystemet knyttet til penger og språket Fire ulike nivåer for undervisningen Hensiktsmessig kunnskapslager i matematikk De fire regneartene, samt brøk, prosent og desimaltall Grunnleggende sammenhenger i matematikk Begreper i matematikk Relevante matematikkoppgaver Tekstoppgaver og korttidsminnet Kritikk av metoden
3 Jakten på mestring Sikre at elevene opplever læring/endring så fort som mulig Eksempel: Dersom vi teller sekunder sammen: 1.000 = 16 minutter og 40 sekunder 1.000.000 = 11 døgn, 13 timer, 46 minutter og 40 sekunder 1.000.000.000 = 31 år, 270 døgn, 15 timer, 33 minutter og 20 sekunder Dette viser at hjernen kan prøve å lure oss når vi tolker informasjon og kunnskap.
4 Det er systemet som har en vanske ikke elevene! Eksamensresultatene i matematikk på 10. trinn for våren 2015 viser at: 14,5% fikk karakteren 1 27,1% fikk karakteren 2 Eksamensresultatene i videregående skole, Praktisk matematikk 2 året, studieforberedende for våren 2015: 11.7% fikk karakteren1 34,4% fikk karakteren 2
5 Samtalen med elevene Du kan vel ikke forvente å lære et fag, når du ikke har lest pensum, eller vet hvordan lese faget? Kan en ha vansker i et fag en ikke har lært? Vi skal begynne helt ved begynnelsen: Forståelse for sifre og tall. For noen vil enkeltemner være enkle, fordi dere vil oppdage at dere innehar kompetanse dere ikke visste dere hadde. Dersom du ikke forstår det aktuelle emnet, må du ta ansvar for å si ifra. Det er ikke noe poeng å regne rett, dersom du ikke forstår det du gjør. Sjekk fasit for hver underoppgave du gjør ( Regn ut a) sjekk fasit, regn ut b) sjekk fasit etc.)
6 En kognitiv modell
7 Metakognisjon defineres som: «Kunnskap og kontroll over egne kognitive prosesser» (Margareth. W. Matlin, side 196)
8 Strategier (måter å lære på) Det er ikke en rett strategi for læring, og «noen» som er feil. Dersom en elev har en måte/en taktikk der han/hun faktisk tilegner seg kunnskapen: Så er det en strategi. En strategi kan kreve uhensiktsmessig mye tid og energi. Lærer kan gjennom veiledning hjelpe elever til å effektivisere læringen gjennom å finslipe strategien, eventuelt å finne en annen strategi som er mer hensiktsmessig. Ønsker og håp er ikke læringsstrategier Mestring og motivasjon er ikke det samme
9 Ikonisk minne «Visuell kunnskap blir ofte sett på som noe mindreverdig.» (G. Imsen, 2003, s. 137) IT, smartboard og internett: Bygger i stor grad på ikonisk minne.
10 Ikonisk minne er altså en del av menneskets mentale kapabilitet. Elever som styres av et omfattende ikonisk minne må gjøres oppmerksom på at hjernen ikke kan trylle bildeminnene over til ord. På prøver og tester i skolen er det for liten tid til å oversette til språk, eller beskrive det som er lagret i ikonisk minne. Ikonisk minne kan være godt å bruke som nøkler eller knagger for gjenkalling av kunnskap. Men et bilde kan ikke manipuleres så fleksibelt som språket.
11 Nærmeste utviklingssone: «er avstanden mellom det faktiske utviklingsnivået, som bestemmes av barnets selvstendige problemløsning og nivået av potensiell utvikling, som bestemmes gjennom problemløsning med støtte av voksen eller i samarbeid med mer kapable medelever» (L. S. Vygotsky, 1978, s. 86)
12 Et lysbilde uten nyttig informasjon PAUSE SLIDE! Det bare fyller mellomrommet mellom det forrige og det neste lysbildet (som følger om et øyeblikk). Det er ikke nødvendig å skrive dette ned, med mindre du føler det tvunget til å gjøre det. Ingenting på denne har med fag å gjøre. Faktisk er jeg ikke sikker på hvorfor jeg gadd å lage den.
13 Elevene i et flerkulturelt miljø 1. En del av den ordinære gruppen norske elever, og innvandrere Som iboende har et ønske om å lære med bakgrunn i mestringsopplevelser 2. En del av den ordinære gruppen norske elever og innvandrere Som går på skolen, fordi «det gjør alle» 3. Mennesker som har opplevd å feile tidligere i livet når det gjelder læring: Motstand 4. Mennesker som ikke har hatt mulighet til å lære tidligere i livet: For høy grad av respekt for systemet/lærerne
14 Rammer for undervisningen To retninger i undervisning av matematikk for voksne: 1) Matematikk i hverdagslivet. 2) Grunnskolematematikk for å ta studiespesialiserende ved videregående skole. Ikke nivå-tenkning: Progresjon til den enkelte elev innenfor de ulike delemnene.
15 Hvordan undervise ved hjelp av metakognisjon Fokusere på å bygge bro over avstanden mellom eleven og «systemet». Bruke eksempler som elevene kan forstå («relevante oppgaver»). Snakke om kognisjon og måter å lære på (strategier), uten å ha svarene.
16 Siffer og tall
17
18 Slik skriver vi tall for å trene plasseringsprinsippet:
19 10-tall systemet knyttet til penger og til språket
20
21 Desimaltall:
22 Desimaltall en gang til:
23 Det er fire ulike nivåer eller plan (Marit Holm, 1998): 1. Konkrete plan 2. Halvkonkrete plan 3. Halvabstrakte plan 4. Abstrakt plan Fremstillingen av tallet 23 i de fire planene (neste lysbilde): I det en tar bilde av noe, så er en på det halvkonkrete planet. På bakgrunn av dette blir det ikke mulig å fremstille planene korrekt på papir.
24 Det konkrete Det halvkonkrete Det halvabstrakte Det abstrakte planet planet planet Planet (fysiske objekter) (bilde av fysiske objekter) lllll lllll lllll lllll 23 lll
25 Hensiktsmessig lagring vs Ikke-hensiktsmessig lagring Kunnskapslager Delemner (Ostad, 1997)
26 Sammenhengen mellom addisjon og subtraksjon
27 Sammenhengen mellom addisjon og multiplikasjon
28 Sammenhengen mellom multiplikasjon og divisjon
29 Brøk og divisjon: To sider av samme sak
30
31
32 Forståelse for enhetene innenfor brøk:
33 Konkretiseringsmateriell
34 Mer konkretiseringsmateriell:
35 Grunnleggende sammenhenger i matematikk
36 Addisjon med flersifrede tall
37 Subtraksjon med flersifrede tall
38 Multiplikasjon med flersifrede tall
39 Vis alle utregningene elevene spør etter!
40 Brøk (uekte brøk, blandete tall)
Et metakognitivt tankekart over grunnleggende emner i matematikk X 100 41 % x y a,b x= y+z + - Tallforståelse 10-tall systemet 2 3 X : Iris S. Krokmyrdal, 2006
42 Når det gjelder elever som skal lære matematikk, som de ikke forsto noen ting av i grunnskolen, bør en starte med å slå fast at de mystiske, tidvis magiske tingene som skjer med tall i matematikk ikke er reelle. Det finnes ikke flygende tall som skifter fortegn, og en stryker ikke vekk tall uten videre. Det er alltid en matematisk forklaring, som elevene må få forståelse for før de kan ta i bruk «snarveiene» (f.eks.: «flytt og bytt» i ligninger). I praksis har det vist seg at når elever har mangler i matematikkunnskapene sine, kan det metakognitive kartet fungere som et rammeverk som tydeliggjør hvilke kunnskaper elevene må tilegne seg. Når elever sliter i faget matematikk, blir ofte fokus rettet mot hvilke sider i læreboken elevene må jobbe med, og hvilke oppgaver de bør gjøre. Elever får da en opplevelse av at de jobber for å ta igjen de andre i klassen. En av de voksne elevene, som mottok undervisning etter modellen, og som hadde hatt spesialundervisning i grunnskolen, fremmet at: Nå er fokuset på hva jeg skal kunne og ikke på hva jeg skal gjøre, eller hva jeg har å ta igjen. Den individuelle målsettingen med opplæringen blir dermed styrende for undervisningen.
43 OBS: Først reprodusere, så skape. For å dekke inn formell føring! Samtidig trener en å bruke språket som verktøy i problemløsning/læring. Samtale med elevene: Leste du pensumboken i matematikk da du strøk/ikke fikk til matematikk i skolen? Hvordan er lesing i matematikk sammenlignet med andre fag?
44 Behovet for endring Læring defineres ofte som: En relativt varig endring av handling, som er et resultat av erfaring.
45 Begrepsprøve i matematikk
46 Prøven blir da:
47 Forklare poenget med begrepene
48 Hvor bevisst er vi lærere med språket i matematikk? Finn X X Den er her!
49 Relevante matematikkoppgaver, fordi: Når en leser forekommer ordene i en språklig kontekst, og meningen av ordene forstås ut fra dette. I tillegg farges fortolkningen av bakgrunnskunnskapene en har. Måten morsmålet er bygget opp på har dermed en påvirkning på hvordan, og hva en legger merke til i verden. (Golden, 2009)
50 Relevante matematikkoppgaver Forståelse for ny kunnskap i faget matematikk er erfaringsbetinget, men den er også aldersbetinget. Dersom en elev ikke har noe relevant å knytte den nye kunnskapen til, så framstår kunnskapen som meningsløs. Uttrykket relevante matematikkoppgaver kan defineres som oppgaver i matematikk der elevene har erfaringsbakgrunn. Det vil si at elever fra en subkultur i Norge, fra en landsdel, eller flerspråklige elever kan ha behov for andre eksempler når en introduserer et delemne i matematikk. Det er en rekke matematikkoppgaver som kan synes relevante, men som er konstruerte ut fra et vokabular og har lite med realiteten å gjøre. Påfølgende eksempler er hentet fra matematikkbøker som benyttes i norsk grunnskole.
51 Tekstoppgaver og KTM Word problems require considerable working memory because children must read and represent the problem, determine the best strategy for solving the problem and carry out that solution strategy in working memory (Carr og Hettinger s. 41 i Royer, 2003 )
52 Eksempler: Nina har like mange mynter av hvert slag: enkroner, femkroner, tikroner og tjuekroner. Til sammen utgjør myntene 144 kroner. Hvor mange mynter har Nina til sammen? På en grillkveld ble det grillet kun pølser og koteletter. 80 % av gjestene spiste koteletter og 60 % spiste pølser. Alle gjestene spiste. Hvor mange prosent av gjestene spiste bare pølser, hvor mange prosent spiste bare koteletter og hvor mange prosent spiste både pølser og koteletter? En saftblanding A inneholder 1/8 ren saft og resten vann. En annen saftblanding B inneholder 5/8 ren saft og resten vann. Vi vil lage en ny saftblanding av disse to. Vi tar 3 deler av blanding A og en del av blanding B. Hvor stor del av den nye saftblandingen er ren saft?
53 Kritikk av metoden! Et moment en bør være oppmerksom på og kritisk overfor, når en arbeider med den beskrevne metoden, og som kan oppstå i spesialundervisning med voksne elever: Metoden krever at eleven våger å være ærlig og snakke om det han/hun tenker når han/hun arbeider med matematikk. Når en gjennom en årrekke har erfart at en er mislykket i faget matematikk, er det mange som har utviklet en rekke symptomer på angst i forhold til faget. Noen av disse elevene har helt klart utviklet angst i forhold til matematikkfaget. Dette kan observeres gjennom de vanlige autonome reaksjonene som oppstår ved angst. Det er dermed svært viktig at lærer/spesialpedagog er bevisst sin rolle, slik at han/hun ikke glir over mot en psykologrolle. Dersom det skulle skje, vil lærer/spesialpedagog befinne seg i et felt han/hun ikke er ment å gå inn på, og sannsynligvis ikke har faglig kompetanse til å mestre. Eleven vil i så tilfelle befinne seg i en situasjon der han/hun ikke kan være trygg på å bli ivaretatt. Åpen dialog med eleven rundt dette momentet blir sentralt for å ivareta eleven, og for å sikre at en ikke trør ut av rollen som lærer/spesialpedagog.
54 Referanser: Baddeley, Alan D. (1999). Essentials of Human Memory. Hove (UK): Psychological Press. Golden, A. (2009). Ordforråd, ordbruk og ordlæring. Gyldendal Norsk Forlag AS, 3. utgave, 2. opplag 2011. Imsen, G. (2005). Elevenes verden. Innføring i pedagogisk psykologi. Universitetsforlaget. Matlin, M. W. (2009). Cognitive psychology. John Wiley & Sons, Inc. Vygotsky, L.S. (1987). Mind in society. The development of higher psycological processes Harvard University Press, Cambridge, Massachusetts, London, England.