Skriftlig eksamen i Matematikk 2, 4MX25-10 30 studiepoeng ORDINÆR EKSAMEN 31. mai 2013. Sensur faller innen tirsdag 25. juni 2013. BOKMÅL Resultatet blir tilgjengelig på studentweb første virkedag etter sensurfrist, dvs. onsdag 26. juni 2013 (se http://www.hist.no/studentweb). Vi gjør oppmerksom på at frist for eventuelt å be om begrunnelse er 1 uke fra karakteren er bekjentgjort iht. lov om universiteter og høgskoler. Timer: 6 timer Hjelpemidler: Kalkulator Informasjon: Oppgavesettet er på 8 sider inklusive vedlegg og består av 4 oppgaver. Alle oppgavene skal besvares og svarene begrunnes. Oppgavene teller i utgangspunktet likt, men den endelige karakteren vil bygge på en helhetsvurdering av besvarelsen. OPPGAVE 1 Grafen i Vedlegg 1 viser et utsnitt av farten som en syklist holder i en kort tidsperiode på 20 sekunder. a) Hva er farten når det er gått 3 sekunder? Hva er akselerasjonen da? Skisser grafen i besvarelsen din og vis hvordan du kommer fram til svarene. b) Hva er den største farten syklisten har i løpet av disse 20 sekundene? Når skjer det? c) Fra grafen skal du gi en kort beskrivelse av farten i disse 20 sekundene. Gi også en beskrivelse av hvordan du tenker deg at veien kan være utforma. (Hint: Er det for eksempel stigning, helling nedover eller flat vei?) 1
d) Vi antar at farten er gitt ved: v(t) = { Bruk denne informasjonen for å finne den største farten syklisten har i løpet av disse 20 sekundene. e) Bruk funksjonen i d) til å finne ut hvor langt syklisten har sykla i løpet av disse 20 sekundene. f) Gi en kort skisse av hvordan du kan arbeide med denne konteksten i en 10. klasse. OPPGAVE 2 Elevene i en 10. klasse har fått utdelt et kvadratisk ark hver. Hvert ark har sidekanter på 24 cm. Fra det store kvadratet skal de klippe vekk fire mindre like store kvadrater og deretter brette arket til ei eske med lokk og to ekstra sidekanter (se figur nedenfor). Finn det største volumet som eska kan ha. 2
OPPGAVE 3 Klasse 10A på Totnes ungdomsskole består av 12 elever. Blant elevene skal det ved skoleårets start velge en hovedtillitsvalgt og en vararepresentant. Den første som velges blir hovedrepresentant og den andre blir vara. Læreren bestemmer seg for å utnytte denne situasjonen i en matematikktime og ber elevene drøfte hvor mange måter dette kan gjøres på. Følgende elevdialog finner sted: Espen: Det er jo tolv elever totalt og det skal velges to, så da blir vel det bare tolv delt på to, altså seks måter. Truls: Nei, det er ikke slik du må tenke! Det er tolv måter å velge hovedtillitsvalgt på og elleve måter å velge vara. Så det blir tolv pluss elleve som vil si 23 måter. Anne: Hvorfor tar du pluss? Truls: Fordi man må jo legge sammen mulighetene Anne: Jeg tror du skal gange dem sammen, og da får man jo 132 muligheter. Espen: Men det blir jo alt for mange vi er jo bare 12 i klassen! a) Løs oppgaven som elevene har fått. b) Drøft elevenes utsagn i dialogen over og legg vekt på hvorfor disse er korrekte eller ikke korrekte. I kombinatorikk omtales fire relevante begrep: «ordnet utvalg», «uordnet utvalg», «med tilbakelegging» og «uten tilbakelegging». c) Beskriv problemet over ved hjelp av disse begrepene, og gi en kort begrunnelse. d) I denne klassen er det 10 jenter og 2 gutter. Hvor mange kombinasjoner gir en jente som enten hovedtillitsvalgt eller vararepresentant (men ikke jenter i begge verv)? e) Hva er sannsynligheten for at både hovedtillitsvalgt og vararepresentanten blir jenter? 3
OPPGAVE 4 Ove er på tivoli og prøver et lykkehjul. Lykkehjulet er delt inn i 4 like store sektorer. De fire sektorene har ulike farger. Det er bare hvis pilen havner på den røde sektoren at det blir gevinst. a) Forklar hva som menes med at sannsynligheten for antall gevinster er binomialfordelt. b) Hele Oves familie prøver seg på lykkehjulet, og totalt snurres hjulet 20 ganger. Hvilket antall gevinster har høyest sannsynlighet? c) Finn sannsynligheten for minst to gevinster. Vis utregning. Familien får totalt kun 2 gevinster og de mistenker at den tivoliansatte bruker en teknikk når han snurrer lykkehjulet som gir færre gevinster enn det burde bli. d) Sett opp en passende ensidig hypotesetest og avgjør hvorvidt familien har grunn til sine mistanker. Prøv med både 5 % og 10 % signifikansnivå. Lykke til! 4
Vedlegg 1 5
Vedlegg 2 6
7
8