GeoGebra på vgs. Versjon 2.7

GeoGebra på vgs. Versjon 2.7 Bokmål Lær å bruke et gratis program for graftegning, funksjonsanalyse og dynamisk geometri. av Sigbjørn Hals

GeoGebra på vgs. Innhold: HVA ER GEOGEBRA?... 3 HVOR KAN JEG FÅ TAK I DETTE PROGRAMMET?... 3 HVORDAN KOMMER JEG I GANG MED Å BRUKE PROGRAMMET?... 4 KOMPETANSEMÅL I LK-06 SOM GEOGEBRA PASSER TIL.... 5 OPPGAVER OG LØSNINGER MED GEOGEBRA... 8 Oppgave 1. Grafen til en funksjon. Funksjonsanalyse.... 8 Løsning på oppgave 1... 8 Oppgave 2. Skjæringspunkt og areal mellom grafer.... 10 Løsning på oppgave 2... 10 Oppgave 3. To likninger med to ukjente.... 11 Løsning på oppgave 3.... 12 Oppgave 4. Andregradsfunksjonen ax 2 +bx+c. Integral og sum av rektangler.... 13 Løsning på oppgave 4... 13 Oppgave 5. Medianer, midtnormaler og halveringslinjer for vinkler i trekanter.... 16 Løsning på oppgave 5.... 16 Oppgave 6. Konstruksjonsoppgaver... 19 Løsning på oppgave 6.... 19 Oppgave 7. Vektorregning... 24 Løsning på oppgave 7... 24 Oppgave 8. Litt algebra... 26 Løsning på oppgave 8... 27 Vedlegg med løsning av utforskende oppgave... 26 Stikkordregister..... 31 2

Hva er GeoGebra? GeoGebra er et gratis dataprogram for dynamisk geometri, laget av Markus Hohenwarter fra Østerrike og Yves Kreis fra Luxemburg. Navnet er satt sammen av ordene geometri og algebra. Med GeoGebra kan man lett konstruere ulike geometriske figurer i planet og tegne og analysere grafer og funksjoner. GeoGebra finnes på en rekke språk, og er omsatt til både bokmål og nynorsk. Programmet kan brukes med både Windows, Linux og Mac. I februar 2006 tok Markus Hohenwarter doktorgrad i matematikkdidaktikk på bruken av dette programmet. De som er flinke i tysk kan laste ned og lese doktoravhandlingen fra www.geogebra.org. Du kan forandre språket på siden fra arabisk til engelsk, og om kort tid til norsk. Da jeg spurte Markus Hohenwarter om hvorfor han ikke ville ta betalt for dette kvalitetsprogrammet, svarte han at han mente utdanning i prinsippet burde være gratis. Programmet har vunnet en rekke med priser: EASA 2002: European Academic Software Award (Sverige.) Learnie Award 2003: Austrian Educational Software Award (Østerrike.) digita 2004: German Educational Software Award (Tyskland.) Comenius 2004: German Educational Media Award (Tyskland.) Learnie Award 2005: Austrian Educational Software Award for Spezielle Relativitätstheorie mit GeoGebra (Østerrike.) Trophées du Libre 2005: International Free Software Award, category Education (Frankrike.) etwinning Award 2006: 1 st prize for Crop Circles Challenge with GeoGebra (Østerrike.) Learnie Award 2006: Austrian Educational Software Award (Østerrike.) Hvor kan jeg få tak i dette programmet? Den letteste måten å skaffe og installere GeoGebra på, er å gå til www.geogebra.org, klikke på Start GeoGebra og deretter på GeoGebra WebStart. Da blir programmet installert på datamaskinen din automatisk, samtidig som du åpner det fra nettsida første gangen. Det legger seg et ikon på skrivebordet. Når du senere klikker på dette ikonet, blir GeoGebra åpnet fra din egen maskin. Da trenger du ikke bruke nettsida. En alternativ måte å installere programmet på, er å gå til www.geogebra.org, klikke på Download og laste ned den installasjonsfila som passer til ditt operativsystem. Viktig: For at GeoGebra skal fungere, trenger du å ha installert en ny utgave av Java på datamaskinen. Java kan lastes ned gratis fra http://java.com/en/download/index.jsp 3

Hvordan kommer jeg i gang med å bruke programmet? For å komme raskt i gang, er det lurt å starte med å gjøre seg kjent med de ulike vinduene og verktøyene i GeoGebra. Nedenfor finner du en oversikt over disse: 1 2 3 4 5 6 1 Verktøylinja. Hvert ikon har en trekant i nederste høyre hjørne. Ved å klikke på denne trekanten, får du fram flere verktøy. Vi skal se på flere av disse etter hvert. 2 Angreknapp. Ved å klikke på disse pilene, kan du gå et steg fram eller et tilbake. 3 Algebravinduet. Her kommer likningene eller funksjonsuttrykkene som du har skrevet inn i inntastingsfeltet (4). Her ser vi også lengder på linjestykker, areal av mangekanter og alle målinger eller utregninger som du ber programmet om å utføre. 4 Tegneflaten. Her får du tegnet geometriske figurer eller grafer. Du kan ta av og på akser og rutenett ved å klikke på Vis og fjerne eller ta på haker foran disse ordene i menyen. Ved å høyreklikke på tegneflaten, kan du forandre verdiene langs aksene og justere mange andre egenskaper. 5 Inntastingsfeltet. I dette feltet skriver du inn kommandoer for å få fram det du ønsker på tegneflaten. Du kan for eks. skrive f(x)=x^2-5x+6 og trykke Enter. Da får du fram grafen til denne funksjonen. Skriver du de to første bokstavene i Nullpunkt, 4

kommer dette fram i inntastingsfeltet: Nullpunkt[]. For å finne nullpunktene til f(x), klikker du mellom hakeparentesene og skriver inn f, slik at det står Nullpunkt[f]. Da finner GeoGebra nullpunktene automatisk, markerer dem på grafen, og skriver koordinatene i algebravinduet. 6 Kommandofeltet. Dersom du klikker på pila til høyre for dette feltet, kommer det fram en alfabetisk kommandomeny som du kan velge fra. Velger du f. eks. Ekstremalpunkt, kommer Ekstremalpunkt[] fram i inntastingfeltet. Da klikker du mellom parentesene og skriver inn navnet på funksjonen du vil finne ekstremalverdiene til. Det kan da stå Ekstremalpunkt[f]. Kompetansemål i LK-06 som GeoGebra passer til Jeg vil først liste opp noen mål i læreplanen LK-06, der GeoGebra med fordel kan brukes. Kompetansemål etter Vg1T Tall og algebra Mål for opplæringen er at eleven skal kunne tolke, tilarbeide og vurdere det matematiske innholdet i ulike tekster bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse problemer fra ulike fag og samfunnsområder regne med potenser med rasjonal eksponent og tall på standardform, bokstavuttrykk, formler, parentesuttrykk og rasjonale og kvadratiske uttrykk med tall og bokstaver, og bruke kvadratsetningene til å faktorisere algebrauttrykk løse likninger, ulikheter og likningssystemer av første og andre grad og enkle likninger med eksponential- og logaritmefunksjoner, både med regning og med digitale hjelpemidler (Mål VG1T-T-4) omforme et praktisk problem til en likning, en ulikhet eller et likningssystem, løse det og vurdere hvor gyldig løsingen er Funksjoner Mål for opplæringen er at eleven skal kunne gjøre greie for funksjonsbegrepet og tegne grafer ved å analysere funksjonsbegrepet (VG1T-F-1) beregne nullpunkter, skjæringspunkter og gjennomsnittlig vekstfart, finne tilnærmete verdier for momentan vekstfart og gi noen praktiske tolkinger av disse aspektene (VG1T-F-2) gjøre greie for definisjonen av den deriverte, bruke definisjonen til å utlede en derivasjonsregel for polynomfunksjoner og bruke denne regelen til å drøfte funksjoner (Mål VG1-T-F-3) lage og tolke funksjoner som beskriver praktiske problemstillinger, analysere empiriske funksjoner og finne uttrykk for en tilnærmet lineær funksjon bruke digitale hjelpemidler til å drøfte polynomfunksjoner, rasjonale funksjoner, eksponentialfunksjoner og potensfunksjoner (VG1T-F-5) 5

Kompetansemål etter Vg1P Geometri Mål for opplæringen er at eleven skal kunne bruke formlikhet og Pytagoras setning til utregninger og i praktisk arbeid (VG1P-G-1) løse praktiske problemer som gjelder lengde, vinkel, areal og volum bruke varierte måleenheter og måleredskaper, og analysere og drøfte presisjon og målenøyaktighet tolke og fremstille arbeidstegninger, kart, skisser og perspektivtegninger knyttet til yrkesliv, kunst og arkitektur (VG1P-G-4) lage og kjenne igjen mønster av like eller ulike former som kan fylle hele planet Funksjoner Mål for opplæringen er at eleven skal kunne undersøke funksjoner som beskriver praktiske situasjoner, ved å fastsette skjæringspunkter, nullpunkter, ekstremalpunkter og stigning, og tolke den praktiske verdien av resultatene (VG1P-F-1) omsette mellom ulike representasjoner av funksjoner gjøre greie for begrepet lineær vekst, vise gangen i slik vekst og bruke dette i praktiske eksempler, også digitalt (VG1P-F-3) Kompetansemål etter Vg2T Geometri Mål for opplæringen er at eleven skal kunne gjøre greie for det geometriske bildet av vektorer som piler i planet, og beregne sum, differanse og skalarprodukt av vektorer og produktet av et tall og en vektor (VG2T-G-1) regne med vektorer i planet skrevet på koordinatform, beregne lengder, avstander og vinkler med vektorregning og avgjøre når to vektorer er parallelle eller ortogonale (VG2T-G-2) tegne og beskrive kurver på parameterform og beregne skjæringspunkt mellom slike kurver Kompetansemål etter Matematikk R1 Geometri Mål for opplæringen er at eleven skal kunne bruke linjer og sirkler som geometriske steder sammen med formlikhet og setningen om periferivinkler i geometriske resonnement og utregninger utføre og analysere konstruksjoner definert av rette linjer, trekanter og sirkler i planet, med og uten bruk av dynamisk programvare (Mål R1-G-2) utlede og bruke skjæringssetningene for høydene, halveringslinjene, midtnormalene og medianene i en trekant (Mål R1-G-3) gjøre greie for forskjellige bevis for setningen til Pytagoras, både 6

matematisk og kulturhistorisk (Mål R1-G-4) regne med vektorer i planet, både geometrisk som piler og analytisk på koordinatform (Mål R1-G-5) beregne og analysere lengder og vinkler til å avgjøre parallellitet og ortogonalitet ved å kombinere regneregler for vektorer (Mål R1-G-6) Funksjoner Mål for opplæringen er at eleven skal kunne gjøre greie for begrepene grenseverdi, kontinuitet og deriverbar, og gi eksempler på funksjoner som ikke er kontinuerlige eller deriverbare bruke formler for den deriverte til potens-, eksponential- og logaritmefunksjoner, og derivere summer, differanser, produkter, kvotienter og sammensetninger av disse funksjonene bruke førstederiverte og andrederiverte til å drøfte forløpet til funksjoner og tolke de deriverte i modeller av praktiske situasjoner (Mål R1-F-3) tegne grafer til funksjoner med og uten digitale hjelpemidler, og tolke grunnleggende egenskaper til en funksjon ved hjelp av grafen (Mål R1-F-4) finne likningen for horisontale og vertikale asymptoter til rasjonale funksjoner og tegne asymptotene (Mål R1-F-5) bruke vektorfunksjoner med parameterframstilling for en kurve i planet, tegne kurven og derivere vektorfunksjonen for å finne fart og akselerasjon Kompetansemål etter Matematikk R2 Funksjoner Mål for opplæringen er at eleven skal kunne forenkle og løse lineære og kvadratiske likninger i trigonometriske uttrykk ved å bruke sammenhenger mellom de trigonometriske funksjonene derivere sentrale funksjoner og bruke førstederiverte og andrederiverte til å drøfte slike funksjoner (Mål-R2-F-2) omforme trigonometriske uttrykk av typen a sin kx + b cos kx, og bruke de til å modellere periodiske fenomener gjøre greie for definisjonen av bestemt integral som grense for en sum og ubestemt integral som antiderivert (Mål R2-F-4) regne ut integral av de sentrale funksjonene ved antiderivasjon og ved hjelp av variabelskifte, ved delbrøkoppspaltning med lineære nevnere og ved delvis integrasjon tolke det bestemte integralet i modeller av praktiske situasjoner og bruke det til å regne ut areal av plane områder og volumer av omdreiiningslegemer (Mål R2-F-6) I dette korte heftet kan jeg selvsagt ikke få vist alt som GeoGebra kan brukes til i forhold til læreplanmålene i LK-06. Her vil jeg bare gi noen varierte illustrerende eksempler, og håper at dette gir en innføring i programmet og være til inspirasjon for videre arbeid på egen hånd. 7

Oppgaver og løsninger med GeoGebra Oppgave 1. Grafen til en funksjon. Funksjonsanalyse a) Tegn grafen til funksjonen f(x)= 1 3 x3 + 2x 2 3x 18. (Mål VG1T-F-1) b) Finn nullpunktene til funksjonen.(mål VG1T-F-2, VG1T-F-5, VG1P-F-1) c) Finn ekstremalpunktene. (Mål VG1T-F-2, VG1T-F-5, VG1P-F-1) d) Finn vendepunktet og likningen for vendetangenten. (Mål VG1T-F-1, VG1T-F-5) e) Finn arealet som er avgrenset av x-aksen og grafen over x-aksen. (Mål R2-F-6) f) Bruk GeoGebra til å studere hvordan den deriverte forandrer seg med x. (Mål VG1T-F-3, R1-F-3) Løsning på oppgave 1 a) Åpne GeoGebra. Klikk på Vis. Hak av for Rutenett. Skriv i inntastingsfeltet nederst på skjermen: f(x)=1/3x^3+2x^2-3x-18. Trykk Enter. Vi ser nå at viktige deler av grafen ikke er med på tegneflaten. Høyreklikk et sted på tegneflaten, velg Egenskaper og la x gå fra 8 til 5. Klikk på y-aksen og la y gå fra 20 til 10. Klikk på Bruk. 8

b) Skriv i inntastingsfeltet: Nullpunkt. Når du har skrevet de to første bokstavene kommer hele ordet fram automatisk. Klikk mellom klammeparentesene og skriv f (fordi funksjonen heter f). Trykk Enter. Du kan nå lese av nullpunktene i algebravinduet. (Feltet til venstre for der grafen er tegnet.) GeoGebra merker også av nullpunktene på grafen. Alternativt kan du klikke på pila ved Kommando til høyre for inntastingsfeltet og bla deg nedover til du finner ordet Nullpunkt. c) Skriv inn Ekstremalpunkt[f] og klikk Enter. Du finner ekstremalpunktene på grafen og i algebravinduet. d) Skriv inn Vendepunkt[f] og trykk Enter. Klikk på den lille trekanten nede i høyre hjørne på dette ikonet, og velg Tangenter. Klikk på vendepunktet F og deretter på grafen. Likningen for vendetangenten kommer opp i algebravinduet. e) Skriv i inntastingsfeltet: Integral[f,-6,-3] og trykk Enter. Arealet er 11,25. 9

Oppgave 2. Skjæringspunkter og areal mellom grafer a) Tegn grafene til disse funksjonene: (Mål VG1T-T-4, VG1T-F-1) f(x) = x 2 g(x) = x + 6 b) Finn skjæringspunktene mellom grafene. (VG1T-F-1, VG1P-F-1) c) Finn arealet som er avgrenset av de to grafene. (Mål R2-F-6) Løsning på oppgave 2 a) Lag en ny tegning ved å klikke Fil, Ny og svar Nei på spørsmålet om du vil lagre fila du har jobbet med. Skriv inn f(x)=x^2 og trykk Enter. Skriv inn g(x)=x + 6 og trykk Enter. Dersom du vil flytte litt på tegningen, for å få grafene mer midt på skjermen, kan du klikke på dette ikonet og dra koordinatsystemet med grafene dit du vil. 10

b) Skriv i inntastingsfeltet: Skjæring[f,g] og trykk Enter. c) Skriv i inntastingsfeltet: Integral[g,f,-2,3] og trykk Enter. Vi skriver g foran f, fordi grafen til g ligger lengst oppe. Oppgave 3. To likninger med to ukjente a) Bruk GeoGebra til å løse likningssettet (Mål VG1T-T-4) 2x + y = 13 4x 5y = 5 b) La GeoGebra ordne likningene på formen y = a x + b. (Mål VG1T-T-4) c) Finn den minste vinkelen mellom disse linjene. d) Åpne ei ny fil og bruk GeoGebra til å lære om stigningstall og konstantledd for lineære funksjoner, slik instruksene nedenfor viser. Klikk på Fil og velg Ny. Svar Nei for å lagre fila. Skriv i inntastingsfeltet nede på siden i programmet: a = 2 og trykk Enter. Skriv i inntastingsfeltet b = 3 og trykk Enter. Skriv f(x) = a*x + b OBS. Ikke glem stjerne som gangetegn mellom a og x. Du må ha * når det er a, b, c osv som konstanter i stedet for tall. Høyreklikk på a i algebravinduet og velg Vis objekt. Du får nå en glider på tegneflaten. 11

Gjør det samme og lag en glider for b. Flytt på en glider om gangen og se hva som skjer når du forandrer a og når du forandrer b. Forklar med egne ord hvordan stigningstallet og konstantleddet påvirker grafen til funksjonen. (Mål VG1P-F-3) Løsning på oppgave 3 a) Skriv 2x+y=13 i inntastingsfeltet og trykk Enter. Skriv 4x-5y=5 i inntastingsfeltet og trykk Enter. Vi ser nå at grafene skjærer hverandre når x = 5 og y = 3. Om vi vil, kan vi klikke på ikonet for å sette inn punkt, føre musa over skjæringspunktet, slik at begge linjene blir mørkere, og klikke. Da får vi koordinatene til skjæringspunktet (5, 3) i algebravinduet. b) Høyreklikk på en av likningene i algebravinduet og velg y = ax + b. Gjør det samme med den andre likningen. Da får du dem på denne formen: c) Lag et punkt på hvert av vinkelbeina, slik figuren til venstre øverst på neste side viser. Klikk på ikonet for å måle vinkler. Klikk så på punktet på høyre vinkelbein, på skjæringspunktet mellom linjene og til slutt på punktet på venstre vinkelbein. Altså: høyre, spissen, venstre eller B, A og C. Da får du størrelsen på vinkelen mellom de i to linjene i algebravinduet. 12

d) Følg oppskriften i oppgaveteksten. Dersom du vil utvide området for glideren, høyreklikker du på den og velger Egenskaper. Du kan da f.eks. forandre området til intervallet fra 10 til 10. Oppgave 4. Andregradsfunksjonen ax 2 +bx+c. Integral og sum av rektangler. a) Bruk GeoGebra til å lære hvilken effekt forandring av konstantene a, b og c har for grafen til funksjonen f(x) = a x 2 + b x + c. (Mål VG1T-F-1, VG1T-F-5) b) Bruk GeoGebra til å lære om sammenhengen mellom integral og sum av rektangler. (Mål R2-F-4) Løsning på oppgave 4 a) Åpne ei ny fil i GeoGebra. Skriv inn a = 1 og trykk Enter, skriv inn b= -6 og trykk Enter og skriv inn c = 5 og trykk Enter. Skriv inn f(x) =a*x^2+b*x+c. Trykk Enter. Høyreklikk på konstanten a i algebravinduet og merk av for Vis objekt. Du få nå en glider på tegneflaten. Gjenta det samme for konstantene b og c. Høyreklikk på glideren a, velg Egenskaper og forandre minimumsverdien til 10 og maksimumsverdien til 10. Høyreklikk på glideren b, velg Egenskaper og forandre minimumsverdien til 30 og maksimumsverdien til 30. Gjenta det samme for glideren c som for b. Skriv Ekstremalpunkt[f] i inntastingsfeltet og trykk Enter. Høyreklikk på bunnpunktet (3, 4), velg Egenskaper og hak ut for Vis spor. Flytt på glideren c. Prøv å finne et uttrykk for likningen til den beine linja som bunnpunktet lager når vi forandrer på c og holder de andre konstantene uendret. 13

Dersom du vil styre glideren mer nøyaktig, kan du klikke på c i algebravinduet og bruke pilene på tastaturet for å flytte glideren. (Se vedlegget bak i dette heftet for forklaring og fasit på denne utforskende oppgaven.) Klikk på denne pila for å fjerne sporene og få grafen tilbake til utgangspunktet. Flytt på glideren a. Prøv å finne et uttrykk for likningen til den beine linja som bunnpunktet lager når vi forandrer på a og holder de andre konstantene uendret. Klikk på tilbakepilen for å få grafen tilbake til utgangspunktet. Flytt på glideren b. Prøv å finne et uttrykk for likningen til den kurven som bunnpunktet lager, når vi forandrer på b og holder de andre konstantene uendret. b) Klikk på Fil, velg Ny og svar Nei på om du vil lagre. Skriv inn funksjonen f(x) = x 3 8x 2 + x + 42 Høyreklikk et sted på grafvinduet og velg Egenskaper. La verdiene på x- aksen gå fra 3 til 9 og verdiene på y-aksen fra 40 til 50. Klikk Bruk. Finn nullpunktene slik du gjorde i oppgave 1 b. Du ser at nullpunktene er ( 2, 0) og (3, 0). For å finne det ubestemte integralet skriver du Integral[f] og trykker Enter. Vi får nå både plottet grafen til fjerdegradsfunksjonen og får uttrykket for denne i algebravinduet. Alle uttrykkene i algebravinduet blir oppgitt med desimaler (dersom det ikke er hele tall.) Vil du ha eksakte uttrykk for et integral eller den deriverte av en funksjon, slik at svaret inneholder brøk, rottegn, e eller π, kan du heller bruke for eksempel Derive 6.0. For å finne det bestemte integralet når x [ 2, 3], skriver du Integral[f,-2,3] Da får du denne figuren. (Se figuren på neste side. Der er det tatt med en tangent også på tegningen.) 14

Verdien av integralet står både på figuren og i algebravinduet. Vi kan utnytte gliderne til å se at integralet er det samme som summen av uendelig mange rektangler. Skriv n=100, høyreklikk på n i algebravinduet og merk av Vis objekt. Høyreklikk på glideren for n, velg Egenskaper og la n gå frå 1 til 100 med Animasjonsskritt lik1. Skriv SumOver[f,-2,3,n] og flytt på glideren for å se hvordan summen av rektanglene nærmer seg verdien for integralet når n øker. Vi kan selvsagt gjøre det samme for SumUnder[f,-2,3,n]. 15

Oppgave 5. Medianer, midtnormaler og halveringslinjer for vinkler i trekanter I læreplanen for R1 står det at en skal kunne utlede og bruke skjæringssetningene for høydene, halveringslinjene, midtnormalene og medianene i en trekant (Mål R1-G-3) Denne oppgaven er egnet som en innledende innføring i problemene, før en går løs på de teoretiske bevisene. a) Bruk GeoGebra til å finne ut om medianene (linjestykkene fra et hjørne til midt på motstående side) alltid vil skjære hverandre i samme punkt. (Mål R1-G-3) b) Bruk GeoGebra til å finne ut om midtnormalene på sidene i en trekant alltid vil skjære hverandre i samme punkt. (Mål R1-G-3) c) Bruk GeoGebra til å finne ut om halveringslinjene for vinklene i en trekant alltid vil skjære hverandre i samme punkt. (Mål R1-G-3) Løsning på oppgave 5 a) Åpne ei ny fil i GeoGebra og tegn en vilkårlig trekant. Det gjør du slik: Klikk på den vesle trekanten nede til høyre på ikonet for linjer og velg Mangekant. Klikk på tegneflaten omtrent slik figuren viser, i rekkefølge A, B, C, A. OBS. Det er viktig å klikke i det samme punktet som vi startet med for å avslutte trekanten. Avsett punktene i rekkefølge mot klokka. 16

Klikk på den vesle trekanten nede i høyre hjørne på ikonet for punkt, og velg Midtpunkt eller sentrum. Klikk etter tur på hver av sidene i trekanten. Velg Linjestykke mellom to punkter og trekk opp de tre medianene. Plasser et punkt i skjæringspunktet ved å velge verktøyet for skjæring mellom to objekter. Klikk etter tur på to av medianene. Prøv å flytte på hjørnene og se hvordan skjæringspunktet flytter seg. OBS. Husk å klikke på flytteverktøyet (pila oppe til venstre) først. b) Åpne ei ny fil og lag en tilfeldig trekant med verktøyet Mangekant. Bruk verktøyet Midtnormal og klikk etter tur på hver av sidene i trekanten. Plasser et punkt i skjæringspunktet, slik det er forklart i oppgave 5 a). Flytt på hjørnene for å se hvordan skjæringspunktet mellom midtnormalene flytter seg. 17

b) Åpne ei ny fil og lag en tilfeldig trekant med verktøyet Mangekant. Bruk verktøyet Halveringslinje for vinkel og klikk på hjørnene i denne rekkefølgen: A : BAC B : CBA C : ACB 18

Oppgave 6. Konstruksjonsoppgaver Oppgavene a, b, c og d er hentet fra oppgaveheftet cosinus 3MX fra Cappelen. (a = 6.207, b, c og d = 6.200) a) Sirkelen S er gitt ved likningen x 2 + y 2 = 100. (Mål R1-G-2) S har to tangenter l og m som går gjennom punktet A(2,14) Tangentene rører S i punktene B og C. Finn koordinatene til B og C. b) I et koordinatsystem er en sirkel S 1 gitt ved likningen x 2 + y 2 22x + 4y + 61 = 0. Finn sentrum og radien i sirkelen. (Mål R1-G-2) c) En annen sirkel S 2 har sentrum i ( 1, 3) og radien 5. Vis at sirklene S 1 og S 2 tangerer hverandre. (Mål R1-G-2) d) Finn koordinatene til tangeringspunktet. (Mål R1-G-2) e) Konstruer nipunktsirkelen. (Mål R1-G-2) Løsning på oppgave 6 a) Åpne ei ny fil i GeoGebra. Vis akser og rutenett. Skriv x^2+y^2=100 i inntastingsfeltet og trykk Enter. Gi sirkelen nytt navn fra c til S ved å høyreklikke på den, velge Egenskaper og Gi nytt navn. Klikk på Bruk. Vel forminskingsverktøyet og klikk en gang omtrent på origo. Skriv A=(2,14) i inntastingsfeltet og trykk Enter. (OBS. Dersom du skriver a = (2,14) får du ikke et punkt, men en vektor.) Klikk på verktøyet for tangenter, klikk på punktet A og deretter på sirkelen. 19

Finn tangeringspunktene ved å bruke verktøyet for Skjæring mellom to objekter, slik det er forklart i oppgave 5a, Vi leser av i algebravinduet at tangeringspunktene er ( 6, 8) og (8, 6). b) Åpne ei ny fil i GeoGebra. Vis akser og rutenett. Skriv i inntastingsfeltet x^2+y^2-22x+4y+61=0 og trykk Enter. Omdøp sirkelen fra c til S 1 ved å skrive S_1 i vinduet for å gi nytt navn. Klikk Bruk. Zoom ut ved å velge Forminsk og klikk i origo som i oppgave 6a. Velg verktøyet Midtpunkt eller sentrum og klikk på sirkelen. Vi kan nå lese av i algebravinduet at sentrum er (11, 2). 20

c) Skriv i inntastingsfeltet: C=(-1,3) og trykk Enter. Likningen for sirkelen er omformet slik at vi kan lese av både sentrum og radius direkte. Vi ser at radius er 64 = 8. En alternativ måte å finne radius på er å velge verktøyet Linjestykke mellom to punkter, klikke i sentrum og deretter på et sted på sirkelen. Vi får da at lengden på linjestykket (radius) er 8. Omdøp dette linjestykket til r 1. Velg Sirkel definert ved sentrum og radius, klikk i punktet C, skriv inn 5 i feltet for radius og klikk Bruk. Omdøp sirkelen til S 2. Trekk et linjestykke mellom A og C. Vi ser at lengden på dette blir 13. Da radius i S 1 er 8 og radius i S 2 er 5, må disse to sirklene bare ha ett felles punkt. d) En alternativ måte å vise at disse tangerer hverandre på, er å velge verktøyet Skjæring mellom to objekter. Klikker vi etter tur på de to sirklene, ser vi at skjæringspunktene D og E har felles koordinater (3,62, 1,08) Dette er tangeringspunktet. 21

e) Her er en punktvis fremgangsmåte for å konstruere nipunktsirkelen: Klikk på Vis og pass på at det ikke er haket av for Akser og Rutenett. Klikk på nedtrekkstrekanten nede i høyre hjørne på knappen for linjer. Velg Linjestykke. Lag en trekant ved å trekke opp linjestykkene AB, BC og CA. Dersom du vil ta bort navnene på linjestykkene, høyreklikker du på ett av dem og fjerner haken for Vis objekt. Gjenta for alle linjestykkene. Finn nå midtpunktene på hvert av linjestykkene. Det gjør du ved å klikke på nedtrekkstrekanten på punktknappen A. Velg Midtpunkt eller sentrum. Klikk på de to endepunktene for et linjestykke. Gjenta for alle linjestykkene. Nå kan du finne fotpunktene for høydene fra hvert av punktene A, B og C. Dette gjør du ved å velge verktøyet Vinkelrett linje. Start med å klikke på punktet A og deretter på linjestykket BC. Gjenta for de to andre punktene B og C. Vi vil nå markere fotpunktene. Vi velger da verktøyet for å finne skjæringspunkt. Klikk etter tur på skjæringspunktene for linjene, der fotpunktene er. Pass på at begge linjene blir mørke og tykkere før du klikker. Klikk også på punktet der alle tre høydene skjærer hverandre i trekanten. Dette punktet kaller vi ortosenteret. Trekanten skulle nå se slik ut: Vi vil ikke ha høydene som lange linjer, men som linjestykker. Høyreklikk etter tur på disse lange linjene og fjern merkene foran Vis objekt. 22

Velg nå verktøyet for linjestykker igjen, og merk av slike linjestykker mellom et hjørne og fotpunktet for høyden. Gjenta for alle tre høydene. Høyreklikk på linjestykkene og fjern merkene foran Vis navn. Vi kan få høydene stiplet ved å høyreklikke på dem, velge Egenskaper, velge ei stiplet linje under Linjestil og klikke Bruk. Nå gjenstår det å finne midtpunktene mellom hvert av hjørnene og ortosenteret. Velg verktøyet for midtpunkt (se punkt 6 i denne forklaringen) og finn de siste tre punktene. Figuren skal nå se slik ut: Til slutt skal vi tegne sirkelen gjennom de 9 aktuelle punktene. Vi velger nå verktøyet for å tegne en sirkel ut fra tre punkt: Klikk på tre fritt valgte punkt av de ni som ligger på nipunktsirkelen. Da er figuren ferdig. Klikk på pila oppe til venstre på skjermen (verktøyet for å flytte på punkt og andre deler av figuren.) Klikk på ett av hjørnene i trekanten, flytt på punktet med musetasten nede og se hvordan nipunktsirkelen forandrer seg. 23

Oppgave 7. Vektorregning a) Vi har vektorene v =[6,4] og u = [-2,3]. Tegn vektorene som piler i koordinatsystemet. (Mål VG2T-G-1, R1-G-5) b) Finn ut om vektorene står på hverandre. (Mål VG2T-G-2, R1-G-6) c) Hva blir summen av vektorene? (Mål VG2T-G-2, R1-G-6) d) Regn ut w = 1 v + 2 u. (Mål VG2T-G-2, R1-G-6) 2 e) Du starter i punktet A, som har koordinatene (10, 1). Hva er koordinatene til B om w = AB? (Mål VG2T-G-2, R1-G-6) Løsning på oppgave 7 Først litt om vektorer i GeoGebra: Dersom du skriver A=(2,5) får du punktet A. Dersom du skriver a=(7,3) får du vektoren a avtegnet som ei pil med start i origo og som ender i punktet (7,3) Dersom du skriver A + a, får du avtegnet et punkt B, som har koordinatene til endepunktet for en vektor a med start i A. Skriver du v = A + a, får du tegnet en vektor med start i origo og som ender i punktet B. a) Åpne en ny GeoGebra-fil. Vis akser og rutenett. Skriv v=(6,4) og trykk Enter. Skriv u=(-2,3) og trykk Enter. 24

b) Skriv inn: Skalarproduktet=u*v og trykk Enter. Vi ser at Skalarproduktet blir 0. u v c) Skriv: sum=u+v og trykk Enter. Vi ser at summen av vektorene blir [4, 7], men GeoGebra skriver verktorkoordinater slik: (4, 7). Skriver vi Sum i stedet for sum, får vi et punkt fordi vi startet med stor bokstav. Vi trenger ikke skrive Skalarproduktet= eller sum=, men det gjør det lettere å se hva vi har regnet ut. Vi kunne ha skrevet bare u*v og u+v. Da hadde GeoGebra gitt navn på resultatene. d) Skriv w=1/2*v+2*u og trykk Enter. Vi får tegnet svaret som en vektor med start i origo og som ender i ( 1, 8). I algebravinduet står det w=(-1,8). Vi kan se at dette stemmer med utregningene: 1 [6,4] + 2 [-2,3] = [3,2] + [-4,6]=[3 4,2+6]=[-1,8] 2 25

e) Skriv A=(10,1) Skriv B=A+w og trykk Enter. Vi ser at koordinatene til B blir (9,9) Dersom vi skriver vektor[a,b] og trykker Enter, finner vi at denne vektoren (som GeoGebra kaller z) har koordinatene [ 1, 8]. Dette skriver GeoGebra slik: (-1,8). Vi ser at z = w. Oppgave 9 Oppgave 8. Litt algebra Hittil har det vært mye funksjoner og geometri og lite av algebra. Algebra-delen til GeoGebra avgrenser seg stort sett til å finne uttrykk for den deriverte, ubestemte integral og utregning av parenteser som inneholder x. GeoGebra kan altså utføre litt algebra med bokstaven x. Alle andre bokstaver må være definerte tallverdier. a) Du skal finne en tredjegradsfunksjon som har ekstremalpunkt for x 1 = 3 og x 2 = 7. Konstantleddet i tredjegradsfunksjonen er 0. b) Finn den femtederiverte av x 2 sin(x). c) Multipliser ut (x 2) 4. 26

Løsning på oppgave 8 a) Åpne ei ny GeoGebra-fil. Merk av for Vis algebravindu. Klikk og dra i kanten mellom algebravinduet og tegneflaten slik at algebravinduet blir litt bredere. Skriv: f(x)=(x+3)(x-7) og trykk Enter. Skriv: Integral[f] og trykk Enter. Du får at den søkte funksjonen g(x) = 1 3 x3 2x 2 22x Høyreklikk på f(x) i algebravinduet og fjern haken for Vis objekt. Høyreklikk på tegneflaten, klikk på x-akse:y-akse og la forholdet være 1:10 Bruk verktøyet for å flytte tegneflaten og flytt på grafen slik at du får med både toppunktet og bunnpunktet. b) Åpne ei ny GeoGebra-fil. Skriv f(x) = x^2*sin(x) og trykk Enter. Vi finner den deriverte ved å skrive f (x), den dobbelderiverte ved å skrive f (x) og den femtederiverte ved å skrive f (x) Skriv g(x) =f (x) og trykk Enter. Vi får da at g(x) = -20 cos(x) +x 2 cos(x) +10 x sin(x) c) Lag ei ny GeoGebra-fil. Skriv Polynom[(x-2)^4] og trykk Enter. Da får du at (x 2) 2 = x 4 8x 3 +24x 2 32x +16 Her er en interessant variant, der vi utnytter glidere og kan bruke dette til å finne binomialkoeffisienter. Skriv inn n=1 og trykk Enter. Skriv a=1 og trykk Enter. Skriv f(x) = (x-a)^n og trykk Enter. Høyreklikk etter tur på n og a og lag glidere for disse ved å hake av for Vis objekt. Høyreklikk på gliderne, velg Egenskaper og la de gå frå 1 til 5. La animasjonsskrittene være 1. Klikk på verktøyet for å flytte objekter, og flytt på glideren for n. 27

Vi finner binomialkoeffisientene når a = 1. Flytt på glideren for a og se hvordan utregningen forandrer seg. Dette var noen smakebiter på hvordan en kan bruke GeoGebra i forhold til de nye læreplanmålene i LK-06. Lykke til med bruken av programmet i klasserommet. Her er det nesten bare fantasien som setter grenser for hva en kan få til. Send gjerne spørsmål, innspill og kommentarer til: sigbjorn.hals@sfj.no Sigbjørn Hals Mobilnr. 90519333 28

Vedlegg. Utfyllende forklaring og fasit på den utforskende oppgaven (nr. 4 a) Når vi forandrer konstanten c i funksjonen f(x) = a x 2 + b x + c, vil ekstremalpunktet bli løftet opp eller ned langs symmetrilinjen for grafen. Symmetrilinjen har likningen x = b 2 a. Når vi forandrer konstanten a i funksjonen f(x) = a x 2 + b x + c, vil ekstremalpunktet følge ei bein linje med likningen y = b 2 x + c. 29

Når vi forandrer konstanten b i funksjonen f(x) = a x 2 + b x + c, vil ekstremalpunktet følge en parabel med likningen y = a x 2 + c. 30

Stikkordregister: A Algebra.... 27 Algebravinduet.... 4 Andregradsfunksjonen.... 13 Angreknapp... 4 Animasjonsskritt.... 15 Areal under en graf... 10 B Binomialkoeffesienter... 28 D Den deriverte.... 27 E Ekstremalpunkt... 8 F f(x).... 8 Forandre navn på objekter.... 19 Forstørring og forminsking... 19 G Glider.... 13 Grafen til en funksjon.... 8 I Innstillinger av tall langs aksene... 8 Inntastingsfeltet.... 5 Integral og sum av rektangler... 13 Integral... 10 J Java... 3 K Kommandofeltet.... 5 Kompetansemål i LK-06... 5 Konstruksjonsoppgaver.... 19 L Likningen for en sirkel.... 19 Linux... 3 M Mac... 3 Mangekant... 16 Markus Hohenwarter... 3 Medianer, midtnormaler og halveringslinjer for vinkler... 16 Midtpunkt eller sentrum... 17; 21; 23 N Nipunktsirkelen... 23 Nullpunkt... 8 O Ortosenteret.... 23 P Polynom... 28 S Sentrum i en sirkel.... 20 Skalarproduktet.... 26 Skjæringspunkt... 10 SumOver.... 15 SumUnder.... 15 T Tegneflaten.... 4 To likninger med to ukjente.... 11 Tredjegradsfunksjon.... 8 U Utforskende oppgave.... 13 Utforskende oppgave. Løsning.... 30 V Vektorkoordinater... 26 Vektorregning.... 25 Vendepunkt... 8 Verktøylinjen.... 4 31