Integrasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 21. oktober 2011
Kapittel 7.4. Delbrøksoppspalting og Integrasjon av rasjonale funksjoner
3 Integrasjon av rasjonale funksjoner Delbrøksoppspalting går ut på å skrive rasjonale funksjoner som en sum av enklere rasjonale funksjoner.
3 Integrasjon av rasjonale funksjoner Delbrøksoppspalting går ut på å skrive rasjonale funksjoner som en sum av enklere rasjonale funksjoner. Eksempel 3 x + 1 x 2 x 6 = 1 x + 2 + 2 x 3
3 Integrasjon av rasjonale funksjoner Delbrøksoppspalting går ut på å skrive rasjonale funksjoner som en sum av enklere rasjonale funksjoner. Eksempel 3 x + 1 x 2 x 6 = 1 x + 2 + 2 x 3 Hvorfor?
4 Hvorfor delbrøksoppspalting Eksempel Bruk delbrøksoppspalting til å løse 3x + 1 x 2 x 6 dx 3x + 1 x 2 dx = ln x + 2 + 2 ln x 3 + c x 6
4 Hvorfor delbrøksoppspalting Eksempel Bruk delbrøksoppspalting til å løse 3x + 1 x 2 x 6 dx Svar 3x + 1 x 2 dx = ln x + 2 + 2 ln x 3 + c x 6
5 Delbrøksoppspalting Hva?
5 Delbrøksoppspalting Hva? Skrive rasjonale funksjoner P(x)/Q(x) som sum av enklere funksjoner.
5 Delbrøksoppspalting Hva? Skrive rasjonale funksjoner P(x)/Q(x) som sum av enklere funksjoner. Hvorfor?
5 Delbrøksoppspalting Hva? Skrive rasjonale funksjoner P(x)/Q(x) som sum av enklere funksjoner. Hvorfor? Enklere å integrere.
5 Delbrøksoppspalting Hva? Skrive rasjonale funksjoner P(x)/Q(x) som sum av enklere funksjoner. Hvorfor? Enklere å integrere. Hvordan?
5 Delbrøksoppspalting Hva? Skrive rasjonale funksjoner P(x)/Q(x) som sum av enklere funksjoner. Hvorfor? Enklere å integrere. Hvordan? Faktorisere nevneren Q(x)
6 Enkelt eksempel Problem Utf r delbrøksoppspalting på 3x + 1 x 2 x 6
6 Enkelt eksempel Problem Utf r delbrøksoppspalting på 3x + 1 x 2 x 6 Faktorisering x 2 x 6 = (x + 2)(x 3)
6 Enkelt eksempel Problem Utf r delbrøksoppspalting på 3x + 1 x 2 x 6 Faktorisering x 2 x 6 = (x + 2)(x 3) 3x + 1 Løs likningen x 2 x 6 = A x + 2 + B x 3
6 Enkelt eksempel Problem Utf r delbrøksoppspalting på 3x + 1 x 2 x 6 Faktorisering x 2 x 6 = (x + 2)(x 3) 3x + 1 Løs likningen x 2 x 6 = A x + 2 + B x 3 Multipliser med x 2 x 6 = (x + 2)(x 3)
6 Enkelt eksempel Problem Utf r delbrøksoppspalting på 3x + 1 x 2 x 6 Faktorisering x 2 x 6 = (x + 2)(x 3) 3x + 1 Løs likningen x 2 x 6 = A x + 2 + B x 3 Multipliser med x 2 x 6 = (x + 2)(x 3) 3x + 1 = A (x 3) + B (x + 2) for alle x..!!!
6 Enkelt eksempel Problem Utf r delbrøksoppspalting på 3x + 1 x 2 x 6 Faktorisering x 2 x 6 = (x + 2)(x 3) 3x + 1 Løs likningen x 2 x 6 = A x + 2 + B x 3 Multipliser med x 2 x 6 = (x + 2)(x 3) 3x + 1 = A (x 3) + B (x + 2) for alle x..!!! Sett x = 2. Da er 5 = A ( 5).
6 Enkelt eksempel Problem Utf r delbrøksoppspalting på 3x + 1 x 2 x 6 Faktorisering x 2 x 6 = (x + 2)(x 3) 3x + 1 Løs likningen x 2 x 6 = A x + 2 + B x 3 Multipliser med x 2 x 6 = (x + 2)(x 3) 3x + 1 = A (x 3) + B (x + 2) for alle x..!!! Sett x = 2. Da er 5 = A ( 5). Sett x = 3. Da er 10 = B 5.
6 Enkelt eksempel Problem Utf r delbrøksoppspalting på 3x + 1 x 2 x 6 Faktorisering x 2 x 6 = (x + 2)(x 3) 3x + 1 Løs likningen x 2 x 6 = A x + 2 + B x 3 Multipliser med x 2 x 6 = (x + 2)(x 3) 3x + 1 = A (x 3) + B (x + 2) for alle x..!!! Sett x = 2. Da er 5 = A ( 5). Sett x = 3. Da er 10 = B 5. Dvs A = 1 og B = 2.
7 Generell delbrøksoppspalting Problem Delbøksoppspalting: P(x)/Q(x) =?? + +??
7 Generell delbrøksoppspalting Problem Delbøksoppspalting: P(x)/Q(x) =?? + +?? Faktoriser Q(x)
7 Generell delbrøksoppspalting Problem Delbøksoppspalting: P(x)/Q(x) =?? + +?? Faktoriser Q(x) Faktorene er på formen (x + a) eller (x 2 + ax + b)
7 Generell delbrøksoppspalting Problem Delbøksoppspalting: P(x)/Q(x) =?? + +?? Faktoriser Q(x) Faktorene er på formen (x + a) eller (x 2 + ax + b) Disse kan komme i potenser (x + a) n eller (x 2 + ax + b) m
7 Generell delbrøksoppspalting Problem Delbøksoppspalting: P(x)/Q(x) =?? + +?? Faktoriser Q(x) Faktorene er på formen (x + a) eller (x 2 + ax + b) Disse kan komme i potenser (x + a) n eller (x 2 + ax + b) m Hver faktor på formen (x + a) gir bidrag til H.S.: A 1 x + a + + A n (x + a) n
7 Generell delbrøksoppspalting Problem Delbøksoppspalting: P(x)/Q(x) =?? + +?? Faktoriser Q(x) Faktorene er på formen (x + a) eller (x 2 + ax + b) Disse kan komme i potenser (x + a) n eller (x 2 + ax + b) m Hver faktor på formen (x + a) gir bidrag til H.S.: A 1 x + a + + A n (x + a) n Hver faktor på formen (x 2 + ax + b) gir bidrag til H.S.: B 1 x + C 1 x 2 + ax + b + + B n x + C n (x 2 + ax + b) m
8 Sammensatt problem Problem Løs følgende integral x 4 + x 3 + 4 x 2 + x + 1 x 5 + 2 x 3 dx + x
Problem: x 4 +x 3 +4 x 2 +x+1 dx x 5 +2 x 3 +x
Problem: x 4 +x 3 +4 x 2 +x+1 dx x 5 +2 x 3 +x Faktoriserer nevner : x 5 + 2 x 3 + x = x (1 + x 2 ) 2
Problem: x 4 +x 3 +4 x 2 +x+1 dx x 5 +2 x 3 +x Faktoriserer nevner : x 5 + 2 x 3 + x = x (1 + x 2 ) 2 Likning for delbrøksoppspalting: x 4 +x 3 +4 x 2 +x+1 x 5 +2 x 3 +x = A x + B x+c 1+x 2 + D x+e (1+x 2 ) 2
Problem: x 4 +x 3 +4 x 2 +x+1 dx x 5 +2 x 3 +x Faktoriserer nevner : x 5 + 2 x 3 + x = x (1 + x 2 ) 2 Likning for delbrøksoppspalting: x 4 +x 3 +4 x 2 +x+1 x 5 +2 x 3 +x = A x + B x+c + D x+e 1+x 2 (1+x 2 ) 2 Multipliserer med x 5 + 2 x 3 + x på V.S. og x (1 + x 2 ) 2 på H.S.
Problem: x 4 +x 3 +4 x 2 +x+1 dx x 5 +2 x 3 +x Faktoriserer nevner : x 5 + 2 x 3 + x = x (1 + x 2 ) 2 Likning for delbrøksoppspalting: x 4 +x 3 +4 x 2 +x+1 x 5 +2 x 3 +x = A x + B x+c 1+x 2 + D x+e (1+x 2 ) 2 Multipliserer med x 5 + 2 x 3 + x på V.S. og x (1 + x 2 ) 2 på H.S. x 4 +x 3 +4 x 2 +x+1 = A (x 4 +2x 2 +1)+(Bx+C) (x+x 3 )+(Dx+E) x
Problem: x 4 +x 3 +4 x 2 +x+1 dx x 5 +2 x 3 +x Faktoriserer nevner : x 5 + 2 x 3 + x = x (1 + x 2 ) 2 Likning for delbrøksoppspalting: x 4 +x 3 +4 x 2 +x+1 x 5 +2 x 3 +x = A x + B x+c 1+x 2 + D x+e (1+x 2 ) 2 Multipliserer med x 5 + 2 x 3 + x på V.S. og x (1 + x 2 ) 2 på H.S. x 4 +x 3 +4 x 2 +x+1 = A (x 4 +2x 2 +1)+(Bx+C) (x+x 3 )+(Dx+E) x Setter vi x = 0 får vi 1 = A.
Problem: x 4 +x 3 +4 x 2 +x+1 dx x 5 +2 x 3 +x Faktoriserer nevner : x 5 + 2 x 3 + x = x (1 + x 2 ) 2 Likning for delbrøksoppspalting: x 4 +x 3 +4 x 2 +x+1 x 5 +2 x 3 +x = A x + B x+c 1+x 2 + D x+e (1+x 2 ) 2 Multipliserer med x 5 + 2 x 3 + x på V.S. og x (1 + x 2 ) 2 på H.S. x 4 +x 3 +4 x 2 +x+1 = A (x 4 +2x 2 +1)+(Bx+C) (x+x 3 )+(Dx+E) x Setter vi x = 0 får vi 1 = A. x 3 + 2 x 2 + x = (B x + C) (x + x 3 ) + (D x + E) x : x
Problem: x 4 +x 3 +4 x 2 +x+1 dx x 5 +2 x 3 +x Faktoriserer nevner : x 5 + 2 x 3 + x = x (1 + x 2 ) 2 Likning for delbrøksoppspalting: x 4 +x 3 +4 x 2 +x+1 x 5 +2 x 3 +x = A x + B x+c 1+x 2 + D x+e (1+x 2 ) 2 Multipliserer med x 5 + 2 x 3 + x på V.S. og x (1 + x 2 ) 2 på H.S. x 4 +x 3 +4 x 2 +x+1 = A (x 4 +2x 2 +1)+(Bx+C) (x+x 3 )+(Dx+E) x Setter vi x = 0 får vi 1 = A. x 3 + 2 x 2 + x = (B x + C) (x + x 3 ) + (D x + E) x x 2 + 2 x + 1 = (B x + C) (1 + x 2 ) + D x + E : x
Problem: x 4 +x 3 +4 x 2 +x+1 dx x 5 +2 x 3 +x Faktoriserer nevner : x 5 + 2 x 3 + x = x (1 + x 2 ) 2 Likning for delbrøksoppspalting: x 4 +x 3 +4 x 2 +x+1 x 5 +2 x 3 +x = A x + B x+c 1+x 2 + D x+e (1+x 2 ) 2 Multipliserer med x 5 + 2 x 3 + x på V.S. og x (1 + x 2 ) 2 på H.S. x 4 +x 3 +4 x 2 +x+1 = A (x 4 +2x 2 +1)+(Bx+C) (x+x 3 )+(Dx+E) x Setter vi x = 0 får vi 1 = A. x 3 + 2 x 2 + x = (B x + C) (x + x 3 ) + (D x + E) x x 2 + 2 x + 1 = (B x + C) (1 + x 2 ) + D x + E x 2 + 2 x + 1 = B x 3 + C x 2 + (B + D) x + (C + E) : x
Problem: x 4 +x 3 +4 x 2 +x+1 dx x 5 +2 x 3 +x Faktoriserer nevner : x 5 + 2 x 3 + x = x (1 + x 2 ) 2 Likning for delbrøksoppspalting: x 4 +x 3 +4 x 2 +x+1 x 5 +2 x 3 +x = A x + B x+c 1+x 2 + D x+e (1+x 2 ) 2 Multipliserer med x 5 + 2 x 3 + x på V.S. og x (1 + x 2 ) 2 på H.S. x 4 +x 3 +4 x 2 +x+1 = A (x 4 +2x 2 +1)+(Bx+C) (x+x 3 )+(Dx+E) x Setter vi x = 0 får vi 1 = A. x 3 + 2 x 2 + x = (B x + C) (x + x 3 ) + (D x + E) x x 2 + 2 x + 1 = (B x + C) (1 + x 2 ) + D x + E x 2 + 2 x + 1 = B x 3 + C x 2 + (B + D) x + (C + E) Dvs B = 0, C = 1, 0 + D = 2, 1 + E = 1. : x
Problem: x 4 +x 3 +4 x 2 +x+1 dx x 5 +2 x 3 +x Faktoriserer nevner : x 5 + 2 x 3 + x = x (1 + x 2 ) 2 Likning for delbrøksoppspalting: x 4 +x 3 +4 x 2 +x+1 x 5 +2 x 3 +x = A x + B x+c 1+x 2 + D x+e (1+x 2 ) 2 Multipliserer med x 5 + 2 x 3 + x på V.S. og x (1 + x 2 ) 2 på H.S. x 4 +x 3 +4 x 2 +x+1 = A (x 4 +2x 2 +1)+(Bx+C) (x+x 3 )+(Dx+E) x Setter vi x = 0 får vi 1 = A. x 3 + 2 x 2 + x = (B x + C) (x + x 3 ) + (D x + E) x x 2 + 2 x + 1 = (B x + C) (1 + x 2 ) + D x + E x 2 + 2 x + 1 = B x 3 + C x 2 + (B + D) x + (C + E) Dvs B = 0, C = 1, 0 + D = 2, 1 + E = 1. x 4 +x 3 +4 x 2 +x+1 x 5 +2 x 3 +x dx : x
Problem: x 4 +x 3 +4 x 2 +x+1 dx x 5 +2 x 3 +x Faktoriserer nevner : x 5 + 2 x 3 + x = x (1 + x 2 ) 2 Likning for delbrøksoppspalting: x 4 +x 3 +4 x 2 +x+1 x 5 +2 x 3 +x = A x + B x+c 1+x 2 + D x+e (1+x 2 ) 2 Multipliserer med x 5 + 2 x 3 + x på V.S. og x (1 + x 2 ) 2 på H.S. x 4 +x 3 +4 x 2 +x+1 = A (x 4 +2x 2 +1)+(Bx+C) (x+x 3 )+(Dx+E) x Setter vi x = 0 får vi 1 = A. x 3 + 2 x 2 + x = (B x + C) (x + x 3 ) + (D x + E) x x 2 + 2 x + 1 = (B x + C) (1 + x 2 ) + D x + E x 2 + 2 x + 1 = B x 3 + C x 2 + (B + D) x + (C + E) Dvs B = 0, C = 1, 0 + D = 2, 1 + E = 1. x 4 +x 3 +4 x 2 +x+1 x 5 +2 x 3 +x dx = 1 x dx + 1 1+x 2 dx + 2x (1+x 2 ) 2 dx : x
Problem: x 4 +x 3 +4 x 2 +x+1 dx x 5 +2 x 3 +x Faktoriserer nevner : x 5 + 2 x 3 + x = x (1 + x 2 ) 2 Likning for delbrøksoppspalting: x 4 +x 3 +4 x 2 +x+1 x 5 +2 x 3 +x = A x + B x+c 1+x 2 + D x+e (1+x 2 ) 2 Multipliserer med x 5 + 2 x 3 + x på V.S. og x (1 + x 2 ) 2 på H.S. x 4 +x 3 +4 x 2 +x+1 = A (x 4 +2x 2 +1)+(Bx+C) (x+x 3 )+(Dx+E) x Setter vi x = 0 får vi 1 = A. x 3 + 2 x 2 + x = (B x + C) (x + x 3 ) + (D x + E) x x 2 + 2 x + 1 = (B x + C) (1 + x 2 ) + D x + E x 2 + 2 x + 1 = B x 3 + C x 2 + (B + D) x + (C + E) Dvs B = 0, C = 1, 0 + D = 2, 1 + E = 1. x 4 +x 3 +4 x 2 +x+1 x 5 +2 x 3 +x dx = 1 x dx + 1 1+x 2 dx + 2x (1+x 2 ) 2 dx = ln x + arctan x 1 1+x 2 + c : x
10 Hva kan gå galt? P(x) kan ikke ha lik eller høyere orden enn P(x). Problem Integrer 2x 3 x 2 10x 5 x 2 dx x 6
10 Hva kan gå galt? P(x) kan ikke ha lik eller høyere orden enn P(x). Problem Integrer 2x 3 x 2 10x 5 x 2 dx x 6 Problem? No problem!! Polynomdivisjon løser problemet
11 Løsning Løsningen er polynomdivisjon: (2 x 3 x 2 10 x 5 ) : (x 2 x 6) = 2x 3 x 2 10x 5 x 2 dx x 6
11 Løsning Løsningen er polynomdivisjon: (2 x 3 x 2 10 x 5 ) : (x 2 x 6) = 2x 2x 3 x 2 10x 5 x 2 dx x 6
11 Løsning Løsningen er polynomdivisjon: (2 x 3 x 2 10 x 5 ) : (x 2 x 6) = 2x (2 x 3 2 x 2 12 x ) 2x 3 x 2 10x 5 x 2 dx x 6
11 Løsning Løsningen er polynomdivisjon: (2 x 3 x 2 10 x 5 ) : (x 2 x 6) = 2x (2 x 3 2 x 2 12 x ) x 2 + 2 x 5 2x 3 x 2 10x 5 x 2 dx x 6
11 Løsning Løsningen er polynomdivisjon: (2 x 3 x 2 10 x 5 ) : (x 2 x 6) = 2x + 1 (2 x 3 2 x 2 12 x ) x 2 + 2 x 5 2x 3 x 2 10x 5 x 2 dx x 6
11 Løsning Løsningen er polynomdivisjon: (2 x 3 x 2 10 x 5 ) : (x 2 x 6) = 2x + 1 (2 x 3 2 x 2 12 x ) x 2 + 2 x 5 (x 2 x 6 ) 2x 3 x 2 10x 5 x 2 dx x 6
11 Løsning Løsningen er polynomdivisjon: (2 x 3 x 2 10 x 5 ) : (x 2 x 6) = 2x + 1 (2 x 3 2 x 2 12 x ) x 2 + 2 x 5 (x 2 x 6 ) 3 x + 1 2x 3 x 2 10x 5 x 2 dx x 6
11 Løsning Løsningen er polynomdivisjon: (2 x 3 x 2 10 x 5 ) : (x 2 x 6) = 2x + 1 + 3x+1 x 2 x 6 (2 x 3 2 x 2 12 x ) x 2 + 2 x 5 (x 2 x 6 ) 3 x + 1 2x 3 x 2 10x 5 x 2 dx x 6
11 Løsning Løsningen er polynomdivisjon: (2 x 3 x 2 10 x 5 ) : (x 2 x 6) = 2x + 1 + 3x+1 x 2 x 6 (2 x 3 2 x 2 12 x ) x 2 + 2 x 5 (x 2 x 6 ) 3 x + 1 2x 3 x 2 10x 5 x 2 dx = x 6 (2x + 1 + 3x + 1 x 2 x 6 ) dx
11 Løsning Løsningen er polynomdivisjon: (2 x 3 x 2 10 x 5 ) : (x 2 x 6) = 2x + 1 + 3x+1 x 2 x 6 (2 x 3 2 x 2 12 x ) x 2 + 2 x 5 (x 2 x 6 ) 3 x + 1 2x 3 x 2 10x 5 x 2 dx = x 6 = x 2 + x + ln x + 2 + 2 ln x 3 + c (2x + 1 + 3x + 1 x 2 x 6 ) dx
Kapittel 7.5. Integrasjonstabeller og Dataassistert algebra
13 Reduksjonsformler tan n x dx = 1 n 1 tann 1 x tan n 2 x dx (1)
13 Reduksjonsformler tan n x dx = 1 n 1 tann 1 x tan n 2 x dx (1) x n e x dx = x n e x n x n 1 e x dx (2)
13 Reduksjonsformler tan n x dx = 1 n 1 tann 1 x tan n 2 x dx (1) x n e x dx = x n e x n x n 1 e x dx (2) sin n x cos m x dx = sinn+1 x cos m 1 x m + n + m 1 m + n sin n x cos m 2 dx (3)
14 Reduksjonsformler (ln x) n dx = x (ln x) n n (ln x) n 1 dx (4) Eksempel (ln x) 3 dx
14 Reduksjonsformler (ln x) n dx = x (ln x) n n (ln x) n 1 dx (4) Eksempel (ln x) 3 dx = x (ln x) 3 3 (ln x) 2 dx
14 Reduksjonsformler (ln x) n dx = x (ln x) n n (ln x) n 1 dx (4) Eksempel (ln x) 3 dx = x (ln x) 3 3 (ln x) 2 dx = x (ln x) 3 3x (ln x) 2 + 6 (ln x) dx
14 Reduksjonsformler (ln x) n dx = x (ln x) n n (ln x) n 1 dx (4) Eksempel (ln x) 3 dx = x (ln x) 3 3 (ln x) 2 dx = x (ln x) 3 3x (ln x) 2 + 6 (ln x) dx = x (ln x) 3 3x (ln x) 2 + 6x ln x 6 dx
14 Reduksjonsformler (ln x) n dx = x (ln x) n n (ln x) n 1 dx (4) Eksempel (ln x) 3 dx = x (ln x) 3 3 (ln x) 2 dx = x (ln x) 3 3x (ln x) 2 + 6 (ln x) dx = x (ln x) 3 3x (ln x) 2 + 6x ln x 6 = x (ln x) 3 3x (ln x) 2 + 6x ln x 6x + c dx
15 Integrasjon i Maple For å integrere funksjonen f(x) = x sin 3 x i maple skriver vi > int ( x * sin^3(x), x); x ( 1/2 cos (x) sin (x) + 1/2 x) 1/4 cos 2 (x) 1/4 x 2
Kapittel 7.6. Nummerisk integrasjon
17 Nummerisk integrasjon Trapesmetoden Trapesmetoden går ut på å tilnærme integralet b a f(x) dx med n trapeser. b a f(x) dx T n = x ( ) f(x 0 ) + 2f(x 1 ) + + 2f(x n 1 ) + f(x n ) 2
18 Døme Eksempel Gitt integralet I = 1 0 sin(e x ) dx. Bruk trapesmetoden med 10 intervall til å finne eit estimat til verdien til integralet. Gi svaret med 4 desimalar.
Løsning: Steglengden er x = b a = 1 0 n 10 = 0,1.
Løsning: Steglengden er x = b a = 1 0 n 10 = 0,1. La f(x) = sin(e x ). Da gir trapesmetoden
Løsning: Steglengden er x = b a = 1 0 n 10 = 0,1. La f(x) = sin(e x ). Da gir trapesmetoden T 10 = x ( f(0) + 2f(0,1) + 2f(0,2) + 2f(0,3) + 2f(0,4) + 2f(0,5) 2 ) + 2f(0,6) + 2f(0,7) + 2f(0,8) + 2f(0,9) + f(1,0)
Løsning: Steglengden er x = b a = 1 0 n 10 = 0,1. La f(x) = sin(e x ). Da gir trapesmetoden T 10 = x ( f(0) + 2f(0,1) + 2f(0,2) + 2f(0,3) + 2f(0,4) + 2f(0,5) 2 ) + 2f(0,6) + 2f(0,7) + 2f(0,8) + 2f(0,9) + f(1,0) = ( 0,05 0,84148 + 2 0,89354 + 2 0,93959 + 2 0,97570 + 2 0,99688 + 2 0,99697 + 2 0,96858 ) + 2 0,90349 + 2 0,79320 + 2 0,63034 + 0,41078 = 0, 8724
20 Nummerisk integrasjon Simpsons Metode Simpsons metode går ut på å tilnærme f(x) med n 2 parabler for å tilnærme integralet b a f(x) dx. b a f(x) dx S n = x ) (y 0 +4y 1 +2y 2 +4y 3 + +2y n 2 +4y n 1 +y n 3 y k = f(x k )
21 Døme Eksempel Gitt integralet I = 1 0 sin(e x ) dx. Bruk Simpsonmetoden med 10 intervall til å finne eit estimat til verdien til integralet. Gi svaret med 4 desimalar.
Løsning: Steglengden er x = b a = 1 0 n 10 = 0,1. Den eksakte verdien er lik ca 0,8749571988
Løsning: Steglengden er x = b a = 1 0 n 10 = 0,1. La f(x) = sin(e x ). Da gir Simpsons metode Den eksakte verdien er lik ca 0,8749571988
Løsning: Steglengden er x = b a = 1 0 n 10 = 0,1. La f(x) = sin(e x ). Da gir Simpsons metode S 10 = x ( f(0) + 4f(0,1) + 2f(0,2) + 4f(0,3) + 2f(0,4) + 4f(0,5) 3 ) + 2f(0,6) + 4f(0,7) + 2f(0,8) + 4f(0,9) + f(1,0) Den eksakte verdien er lik ca 0,8749571988
Løsning: Steglengden er x = b a = 1 0 n 10 = 0,1. La f(x) = sin(e x ). Da gir Simpsons metode S 10 = x ( f(0) + 4f(0,1) + 2f(0,2) + 4f(0,3) + 2f(0,4) + 4f(0,5) 3 ) + 2f(0,6) + 4f(0,7) + 2f(0,8) + 4f(0,9) + f(1,0) = ( (0,1/3) 0,84148 + 4 0,89354 + 2 0,93959 + 4 0,97570 + 2 0,99688 + 4 0,99697 + 2 0,96858 ) + 4 0,90349 + 2 0,79320 + 4 0,63034 + 0,41078 = 0,8750 Den eksakte verdien er lik ca 0,8749571988
23 Feilanalyse for trapesmetoden Teorem (Feilanalyse Trapes) Hvis f (x) er kontinuerlig og f (x) M for alle x [a, b]. Så vil feilen tilfredstille E T = b a E T f(x) dx T n M (b a)3 12 n 2
24 Feilanalyse for Simpsons metode Teorem (Feilanalyse Simpson) Hvis f (4) (x) er kontinuerlig og f (4) (x) M for alle x [a, b]. Så vil feilen tilfredstille E S = b a E S f(x) dx S n M (b a)5 180 n 4