Eksempelundervisning utforsking Nord-Gudbrandsdalen mars 2015 Anne-Gunn Svorkmo Astrid Bondø Svein H Torkildsen
Oversikt aktiviteter kursdag - tema Utforsking Aktivitet Link til aktivitetene (ligger bakerst i presentasjonen). Kopiorginaler i mappen 20 Eksempelundervisning på Mattelyst. Fra domino til heksamino Til topps Dele Bøker Ta femten Pakk rektanglene tett! Froskespill Like mange! Kurssted (skole) Denne aktiviteten var felles og ble gjennomført ved alle kursstedene. Vågåmo b-skule Dovre u-skule Dovre skule Heidal skule (u) Heidal skule (u) Loar skule Dovre skule Skjåk u-skule Heidal skule (u) Dovre u-skule
Utforskende undervisning Mange har dårlig selvtillit i matematikk og husker matematikkundervisningen fra skoletiden uten særlig glede. De husker en matematikkundervisning hvor læreren står ved tavlen og presenterer regler. Men fremtidens matematikkundervisning vil bli annerledes, om Wæge får det som hun vil. Side 17
Matematikk er moro! Ludviksenutvalget, Fremtidens skole s 17 Matematikk handler ikke om bare å huske regler. Tradisjonell matematikkundervisning legger stor vekt på å vise hvordan man finner det riktige svaret. Å vite hvorfor og det å se sammenhenger har fått mye mindre oppmerksomhet. Matematikk handler om å se mønstre og systemer, og i fremtiden vil vi i mye større grad involvere elevenes egen tenkning i undervisningen. Metoden heter Undersøkende matematikkundervisning. I en slik undervisningskontekst setter læreren opp læringsmålene, men lar elevene selv utforske problemene for å finne mønstre og systemer. Elevene driver aktiv matematisk utforskning og diskuterer egne løsningsstrategier med hverandre. Metoden øker både motivasjon og læringsutbytte betydelig, viser blant annet Wæges egen forskning. En av grunnene til det, er at det er lov å gjøre feil! Å lære av feilene vi gjør, er en del av matematikken det også. Når elevene får lov til å utforske et felt og diskutere hvordan de tenker med hverandre, oppdager de at matematikk slett ikke er et tørt fag som består i å huske hva læreren har sagt. I stedet blir det til et spennende og aktivt fag som utforsker virkeligheten på elevenes egne premisser. Og da oppdager de at matematikk er gøy! Kjersti Wæge, NSMO
Nosrati, Wæge: Statusrapport matematikksenteret Undersøkende matematikk Inquiry based learning Læreren presenterer en kognitiv krevende oppgave eller aktivitet observerer elevenes arbeid oppmuntrer elevene til å utvikle egne løsninger, forklare sine tankeprosesser, og å være aktiv i gruppediskusjoner leder diskusjonen i oppsummeringen Elevene får tid til å engasjere seg i oppgaven gjennomfører undersøkelser på ulike måter leter etter mønster, system og sammenhenger setter ord på og beskriver det de finner ut Arbeidet avsluttes med en oppsummering i hel klasse, der lærer og elever diskuterer elevenes løsningsstrategier og kobler de til læringsmålet for timen.
Undersøkende matematikk https://www.utdanningsforbundet.no/upload/tidsskrifter/bedre%20skole/bs_nr_1_10/bedreskole-1-10-web_fuglestad.pdf en spørrende, undersøkende og eksperimenterende måte å arbeide med matematikken på. en aktiv holdning til arbeidet med faget hos barn, elever og lærere å undre seg, stille spørsmål, undersøke, utforske, eksperimentere å bygge forståelse er viktigere enn å huske regler og prosedyrer å undersøke og finne fram sammenhenger selv, skape nye tanker og ideer som går ut over det som er kjent fra før. Med en slik tilnærming blir det ikke rett fram å svare på spørsmål som: Hva gjør jeg nå? Er det gange eller dele her, lærere?
Læring og forståelse av matematikk Å ha lært kan bety at man har lært seg regler og formler utenat Å ha lært kan bety at man har forstått reglene og hvorfor de har blitt brukt Jeg sa jeg har gitt hunden min opplæring i å regne, jeg sa ikke at den kan det! Men: Man ønsker at elevene skal forstå det de gjør, slik at undervisningen føles relevant, og dermed er noe elevene kan bruke i hverdagslige situasjoner (Wæge, 2007). 25-Mar-15 7
Matematisk kompetanse Trådmodellen Kilpatric m fl Mathematical profiency Figuren er hentet fra Kilpatrick, Swafford & Findell (2001, s. 117).
LK06 Føremål Matematikkfaget i skolen medverkar til å utvikle den matematiske kompetansen som samfunnet og den einskilde treng. For å oppnå dette må elevane få høve til å arbeide både praktisk og teoretisk. Opplæringa vekslar mellom utforskande, leikande, kreative og problemløysande aktivitetar og ferdigheitstrening. Kompetansemålene starter med Utvikle, bruke og samtale om Lage og utforske Beskrive Kjenne att, eksperimentere med, beskrive og videreføre Samle, sortere, notere og illustrere Gjennomføre undersøkingar, analysere Utvikle, bruke og grunngje Hvordan ivareta dette i undervisningen? 25-Mar-15 9
Bruk det matematiske språket aktivt! Kommunikasjon snakke og skrive seg til forståelse argumentere, forklare, beskrive, spørre oversette mellom ulike typer representasjoner læreren rollemodell spørsmål av høyere orden Hvordan tenkte du nå? Hvorfor brukte du denne framgangsmåten? Hvorfor er det en korrekt måte å løse problemet på? Kan det være flere svar? Hva skjer hvis?
Undervisningsprinsipper - Kommunikasjon To typer undervisning Tradisjonell tavleundervisning oppgaveløsing, finne riktig svar læreren forklarer elevene øver hjemmelekse oppgaveparadigmet Undersøkende utforsking, kreativitet, nysgjerrighet og samarbeid resonnement, mønster og system, problemløsing, sammenhenger, grunnleggende ferdigheter åpne oppgaver, prosjekter, problemløsing Vesterdal: Kommunikasjon mellom lærer og elev.
Undervisningsprinsipper - Kommunikasjon Tradisjonell undervisning Kommuniksajonsmønster Lærerforberedelse Spørsmål fra lærer Lærer ber elevene svare (stillhet) Elever gir tegn(rekker opp hendene) Elevsvar Lærerevaluering Lærer gir tilleggsinformasjon Topaz- og trakteffekten Leder eleven fram til «det riktige svaret»
Undervisningsprinsipper - Kommunikasjon Undersøkende undervisning Kommunikasjonsmønstre Fokusering Spørsmål som retter oppmerksomheten mot et spesielt aspekt ved en løsning eller en oppgave. Læreren trekke seg tilbake lar elevene få tenke/diskutere. I/C-modellen (inquiry co-operation) lærer opptatt av elevens perspektiv lærer spør for å forstå høyttenking sammen læreren utfordrer eleven
Samtaletrekk Lærertrekk Hva læreren gjør Fordeler Gjenta «Du sier at dette er et oddetall?» «Du sier at prosent betyr hundre?» «Så du sier at?» «er det det du mener?» Repetere «Kan du gjenta hva han sa med dine egne ord?» Resonnere «Er du enig eller uenig? Begrunn.» «Hva mener du om det?» «Hvorfor tror du det?» Tilføye «Har noen noe de vil føye til?» «Kari, du rekker opp hånda, har du noe å tilføye?» Vente «Ta den tiden du trenger. Vi venter.» Snu og snakk Snu deg og snakk med eleven ved siden av deg» Endre Har noen av dere endret tenkingen deres?» Repeterer (deler av) elevens utsagn, og ber eleven svare på om det er riktig oppfattet eller ikke. Bekrefter og avklarer. Spør en annen elev om å gjenta medelevens resonnement. Spør elevene om å bruke egne resonnement på andres resonnering. Presser på for å få fram resonnement. Prøver å få elevene til å delta i en videre diskusjon. Venter uten å si noe. Går rundt og lytter til samtalene og vurderer hvem som skal spørres. Spør om noen av elevene har endret mening. Gjør elevens ideer tilgjengelige for læreren og andre elever slik at de kan forstå dem. Elevene får «rom til å tenke» slik at de lettere kan følge med på det matematiske innholdet. Gir elevene mer tid til å fordøye en ide, samt å høre den på en annen måte. Får bekreftet at andre elever virkelig hørte ideen til eleven. Viser elevene at deres matematiske ideer er viktige og blir tatt på alvor. Inngangsdør for å få fram elevenes tenking. Posisjonerer elevenes matematiske ideer som viktige. Hjelper elevene med å engasjere seg i hverandres resonnering. Oppmuntrer elevene til å dele sine ideer. Bidrar til å etablere en norm om å se sammenhenger mellom elevenes matematiske ideer og bygge på dem. Bringer viktige bidrag fra flere elever inn i diskusjonen. Kommuniserer en forventning om at alle har viktige ideer de kan bidra med. Gir elevene mulighet til avklaringer og til å dele ideer. Gir elevene mulighet til å orientere seg mot hverandres tenking. Gir elevene mulighet til å revurdere og endre tenkingen sin etter nye innspill.
Matematikkundervisning Handler om mer enn å finne et riktig svar. Det handler også om utforskning, kreativitet, nysgjerrighet og samarbeid, og må derfor også fokusere på matematisk resonnement å lete etter mønster og systemer problemløsning sammenhenger mellom matematikken, matematikkens ideer og anvendelsesområder (f.eks. sammenhengen mellom matematikk og dagliglivet) grunnleggende ferdigheter samarbeid Vurdere Virkelig løsning Reflektere Virkelig problem Matematisk løsning Gjenkjenne beskrive Matematisk problem Bearbeide Bruke
Fra domino til heksamino Til topps Dele Bøker Ta femten Pakk rektanglene tett! Froskespill Like mange! Aktiviteter Kopiorginaler finner du i mappen 20 Eksempelundervisning i dokumentarkivet på Mattelyst.
Fra domino til heksamino 25-Mar-15 17
Domino Triomino Tetramino Hvor mange ulike puslebrikker (ulik form) kan lages med to kvadrat? Hvor mange ulike puslebrikker (ulik form) kan lages med tre kvadrat? Hvor mange ulike puslebrikker (ulik form) kan du lage med fire kvadrat? 25-Mar-15 18
Domino Triomino Tetramino 25-Mar-15 19
Pentomino Hvor mange puslebrikker kan du lage med 5 kvadrat? Kan alle brettes til eske? Areal: Bruk pentominobrikkene og lag rektangler med ulike areal. Hvilke areal er det mulig å lage med en eller flere brikker? Hva er det største arealet du kan lage? Lag rektangel med lengde og bredde: 6 x 10, 5 x 12, 4 x 15, 3 x 20 Hva blir omkretsen? Kan vi lage bruke alle brikkene og lage rektangler med 7x?, 8x?, 9x? eller 2x? Begrunn svaret! Formlikhet/målestokk: Alle pentominobrikkene kan lages i en større utgave ved hjelp av de andre brikkene (trenger ikke bruke alle de andre). 25-Mar-15 20
Eksempler på rektangler.. Areal 5 1 5 Areal 20 4 5 Areal 25 5 5 Hvor mange ulike kan du lage? Hva er det minste arealet du kan lage? Hva er det største arealet du kan lage? Ser du noe system?
Rektangler med alle brikkene løsninger - andre figurer 3x20: 2 løsninger 4x15: 368 løsninger 5x12: 1010 løsninger 6x10: 2339 løsninger
Dette bildet kan ikke vises for øyeblikket. Golombs spill Tangenten 2001: Temahefte Spill Mål for spillet: Å være den siste som legger på en brikke. Utstyr: To eller flere spillere spiller sammen ett pentominosett ett spillebrett (8x8). Regler: Spillerne velger en pentominobrikke som legges på spillebrettet. Brikken kan legges hvor som helst, men kan ikke overlappe en annen brikke. Den som ikke kan legge på en brikke når det er hans/hennes tur, har tapt. Den som legger på siste brikke er vinneren. Kommentar: Spillet vil vare i minst fem og høyst tolv trekk. Dette spillet har flere åpninger enn sjakk, og det er vanskelig å finne en vinnerstrategi. Først i 1994 klarte Hilarie Orman å vise at første spiller kan vinne. 25-Mar-15 23 Spill på nett
Heksamino Hvor mange puslebrikker kan du lage med 6 kvadrat? Kan alle brettes til terning? 25-Mar-15 24
System i tallene? Hvor mange ulike former kan du lage med ett kvadrat to kvadrat (domino) tre kvadrat (triomino) fire kvadrat (tetramino) Kvadratene må dele en sidekant. Hypotese n Hvor mange pentomino-brikker? Flere enn 5? Dobbelt så mange? Mer enn det dobbelte? Beskriv resonnement. Hvordan kan vi vite at vi har funnet alle kombinasjoner? 25-Mar-15 25 Antall kvadrat Antall ulike former 1 1 2 1 3 2 4 5 5 6 7..
Til topps med terninger 2 4 elever er passe. Fem terninger. Terningene kastes én gang. Lag regnestykker, svarene skal være fra 1 og oppover, så langt som mulig. Hver terning kan brukes én gang i hvert regnestykke. Alle de fire regningsartene kan brukes. Skriv regnestykkene. 1 = 3 2 2 = 2 3 = 3 4 = 4 5 = 5 6 = 6 7 = 5 + 2 8 = 5 + 3 9 = 4 + 3 + 2 osv. Eksempel Terningene viser: 2, 3, 4, 5, og 6. Hvor høyt kan dere komme? Høyeste tall til svar vinner. Kan spilles på tid. Matematiske utfordringer Hvilke terninger lønner det seg å få for å komme høyest? Lønner det seg med fem seksere? Verdier fra 1 og opp til 5? Skriftliggjøring? Hvordan bruke parenteser? 25-Mar-15 26
Dele bøker Utstyr: 6 bøker i A6-format Ari og Sasja har seks forskjellige bøker. De skal dele bøkene slik at begge får odde antall bøker. Hvor mange forskjellige måter kan de gjøre det på? Begrunn svaret. Forskjellige bøker teller som forskjellige måter.
Dele bøker - løsningsforslag Løsningsforslag De må fordele bøkene 1 + 5 eller 3 + 3. Fordeling 1 + 5: Ari får ei av bøkene og Sasja de fem andre: 6 måter. Motsatt fordeling gir også 6 måter. Fordeling 3 + 3: Vi ser på alle måter de seks bøkene kan fordeles på Det er tilstrekkelig å lage en oversikt som viser hvilke tre bøker en av dem kan få. Den andre får da de tre bøkene som ei igjen. Vi ser systemet 1 + 3 + 6 + 10, i alt 20 måter. Det er i alt 12 + 20 = 32 måter å fordele bøkene på.
Ta femten LAMIS skriftserie nr 4 2009: Ett ess i ermet Et kortspill for to. Legg kortene fra 1 9 foran dere på bordet. Spillerne tar ett kort hver etter tur. Kortene legges synlig på bordet foran spilleren. Hver spiller skal ha fire kort (ett kort ligger igjen på bordet). Mål: Ta kort slik at TRE KORT GIR SUMMEN 15. Begge spillerne, den ene eller ingen kan få poeng. Spill fire eller seks ganger, bytt på å ta det første kortet. 25-Mar-15 29
Pakk rektanglene tett! Utstyr: 8 rektangulære brikker med sider s og 2s der s har verdier 1-8. Rutebrett med kvadrater som har side s. Legg de åtte rektanglene på rutebrettet slik at de ikke overlapper hverandre. Trekk fire rette linjer som rammer inn rektanglene. Firkanten vil ha større areal enn de åtte brikkene til sammen. Utfordringen er å legge brikkene slik at arealet til firkanten blir minst mulig. Tegn løsningen på svararket. Areal i Eksempel: 30 19 = 570
Pakk rektanglene tett! - løsningsforslag Rektanglene er pakket sammen i et rektangel med sider 26 x 16. Arealet blir 416. Arealet til de små rektanglene til sammen er 408. Minste mulige areal er 416.
Froskespill 19-Mar-12 32
Hvor mange hopp? Hopp slik at de røde og blå brikkene bytter plass. Hopp fram til ledig naborute eller hoppe over én brikke. Hvor mange hopp? Utvid til 9 ruter og 4 brikker av hver farge. Hvor mange hopp? Hva hvis det er 11 ruter og 5 brikker av hver farge? Ser du en sammenheng? Lag en oversikt over antall frosker av hver farge og antall hopp. Let etter mønster. Beskriv det med ord. 25-Mar-15 33
Hvor mange hopp - oversikt Antall frosker Antall hopp på en side 1 3 2 8 3 15 4 24 5 35 6 48 10 n Beskriv mønsteret - oddetall og partall - mindre enn/mer enn - kvadrattall - produkt av 19-Mar-12 34
Kan det være det samme?
Kan det være det samme? n n + n 2 (n+1) 2-1 n (n + 1) + n
Like mange! Ta 13 kort fra en kortstokk som er godt blandet. Snu dem slik at bildesiden kommer opp. Stikk kortene inn i kortstokken igjen tilfeldige steder. Bland kortene en gang til. Ta 13 kort fra toppen av bunken. Snu bunken og tell hvor mange kort som har bildesiden opp. Tell hvor mange av de 39 kortene i den andre bunken som har bildesiden opp. Får du ikke samme antall, har du gjort en feil!
Bevis Bunken med 13 kort inneholder a kort som ble snudd slik at bildesiden kom opp. I bunken med 39 kort: 13 a kort med bildesiden opp Snudd bunken med 13 kort: a kort med bildesiden ned 13 a kort med bildesiden opp