1 Tall og tallsystemer. Plassverdibegrepet

1 Tall og tallsystemer. Plassverdibegrepet Kan kråka telle? En jeger bygger et skjulested ved en samlingsplass for kråker. Når han kommer neste dag, flyr kråkene når de ser ham. Jegeren venter i skjulestedet, men kråkene kommer ikke tilbake. Neste dag har han med en kamerat, som etter en stund forlater skjulestedet. Men kråkene kommer ikke. Så prøver jegeren med to kamerater, som etter en stund forlater skjulestedet. Kråkene kommer ikke. Først når han bringer fire kamerater og disse etter en stund forlater skjulestedet, kommer kråkene tilbake. 1.1 Noen historiske glimt Fortellingen ovenfor påstås å være sann. I alle fall er det rimelig å hevde at mennesket, selv på de mest primitive stadier, har hatt begreper om tall og telling. Nøyaktig hvordan dette først skjedde er umulig å si, da det jo er så lenge siden. Men det er lett å tenke seg en rekke eksempler og situasjoner som førte til tallene. Menneskets særtrekk er jo nettopp å kunne regulere sine omgivelser og påvirke framtiden ved hjelp av tenkning og planlegging. Det ble f.eks. viktig å vite hvor mange medlemmer en familie eller stamme hadde, og hvor mange måneder (måner) vinteren eller tørketiden varte. Særlig i overgangen fra nomadetilværelse til dannelse av fastboende samfunn, økte behovet for både aritmetiske og geometriske begrep. Spesialisering og byttehandel oppsto, og det ble viktig å kjenne landområder og tomters størrelser. Typiske er de store elvekulturene, langs Nilen i Egypt, langs Eufrat og Tigris i Babylonia, og ved elver lenger mot øst. Å vise antall ved hjelp av fingrene er rimeligvis en svært gammel aktivitet. Også å sette merker (eller legge fram gjenstander) ble tidlig brukt for å holde rede på antall. Særlig interessant er funnet av et 30 000 år gammelt ulvebein fra 1937 i Tsjekkoslovakia. På beinet er det skåret inn i alt 55 hakk. Disse er plassert i grupper på 5 og 5. Videre er de 25 første hakkene og de 25 neste satt i egne adskilte grupper, se gjentegningen. Figur 1.1 KAPITTEL 1 9

Kanskje har en jeger på denne måten holdt regnskap over antall skinn gjennom en jaktsesong, eller kanskje handler det om opptelling av helt andre objekter. Vi må anta at den som har laget hakkene har behersket følgende to viktige begrep; nemlig for det første ideen om en-til-en korrespondanse mellom to typer objekter (mengden av skinn og mengden av hakk). For det andre synes også ideen om et grunntall eller basistall, her tallet 5, å være tilstede. Dette siste er, som vi skal se, helt sentralt for dannelsen av et tallsystem. På den annen side finnes det også eksempler på at folkeslag helt opp mot vår tid har klart seg med ganske primitive tallbegrep. H.C. Haddon fant i 1889 en stamme i Torresstredet som var uten skriftspråk, men som telte muntlig slik: 1: urapun 2: okosa 3: okosa-urapun 4: okosa-okosa 5: okosa-okosa-urapun 6: okosa-okosa-okosa >6: ras. Tilsynelatende har en her ikke drevet tellekunsten særlig lengre enn våre kråker ovenfor, men kråka har så vidt vi vet ikke dannet egne navn på tallene. Disse folkene hadde dessuten neppe noe stort behov for navn på større antall. Vi ser en antydning av et tallsystem med grunntall 2 ovenfor. En slik to-deling, som rimeligvis gjenspeiler toheten i våre biologisk sammenhørende par, går igjen hos flere primitive kulturer. At tallsystemer med basis 5, 10 og 20 også har forekommet ofte, henger naturlig sammen med vår biologi. Det er i teorien mulig å føre regnskap helt uten bruk av tallnavn, ved f. eks. å skrive streker eller skjære hakk. Men historikerne antar at bestemte lyder utviklet seg som akkompagnement til slike prosesser. Først var rimeligvis disse lydene/navnene forbundet med den typen objekter en telte. Jfr. med at vi også i vår tid kan si «en tylft tømmer», men «et dusin egg», eller «et par sko», men «et spann hester». Abstraksjonene av faste, felles navn på tallene som var uavhengige av konkrete assosiasjoner, antas å ha tatt relativt lang tid. Et eksempel på prosessen med danning av tallnavn kan vi se hos eskimoene. Først har de egne navn for 1, 2, 3, 4 og 5. Disse navnene gjentas så for tallene 6, 7, osv. sammen med ord som viser til andre hånd, og første og andre fot, slik: 6: en på andre hånd 7: to på andre hånd 8: tre på andre hånd 10 TALLÆRE

9: fire på andre hånd 10: alle fingre 11: en på tærne 12: to på tærne 13: tre på tærne 14: fire på tærne 15: fem på tærne 16: en på andre fot 17: to på andre fot 18: tre på andre fot 19: fire på andre fot 20: et helt menneske! Det gamle grønlandske språket var godt nok uten egne ord for større tall enn 20. Utviklingen av skriftsymboler for tall mener en i de fleste tilfeller har gått gjennom abstraksjon av måter å vise antall på ved hjelp av fingrene, eller ved å legge ut f. eks. steiner. Typiske eksempler er: For større antall ble forskjellige former for oppfinnsomhet tatt i bruk. Vi skal se litt på det gamle egyptiske tallsystemet som fantes allerede for mer enn 5 500 år siden. Kjennskap til systemet har vi fra steininskripsjoner og papyrusruller. Systemet er didaktisk og metodisk interessant, både som eksempel på matematikkfagets historiske utvikling og med tanke på begrepsdanning i skolen. Som voksne er vi så oppdratt og inngrodd med vårt 10-tallsystem slik vi kjenner det og kan regne med det, at vi sjelden tenker over de ulike abstraksjonstrinnene det består av, og som alle barn må gjennom. Bl. a. derfor vil det ha verdi å tvinge seg til å tenke innenfor andre typer systemer. Figur 1.2 viser egypternes symboler for tallene fra 1 til 9 og for 10, 100, 1000 osv. En hadde faktisk også et symbol for 10 millioner: (Egypterne drev som kjent stort) KAPITTEL 1 11

Figur 1.2 En skjønner at dette er et tallsystem med grunntall ti. Følgende eksempel viser hvordan alle slags hele tall kunne skrives ved hjelp av symbolene ovenfor: NB! Egypterne skrev motsatt vei av hva vi er vant til. Det var vanlig å samle like symboler i separate grupper, først enerne, så tierne, osv. Men legg merke til at f.eks. følgende to tall forsåvidt er like, nemlig lik vårt tall 122: Verdien av et tall fås i prinsippet alltid ved å addere tallverdien av hvert enkelt symbol. Det gamle egyptiske tallsystemet kalles et enkelt additivt system. Egypterne kunne utføre utregninger med store tall innenfor dette systemet. Nedenfor er vist et eksempel på addisjon. Eksempler på de andre regneoperasjonene vil finnes i oppgavene. 12 TALLÆRE

Den grunnleggende operasjon for både addisjon og subtraksjon består i telling. Barn bruker gjerne dette før de etterhvert lærer utenat. F.eks. kan en finne 5+3 ved å telle 3 framover fra 5, og 5 3 kan finnes ved å telle 3 bakover fra 5. Siden det gamle egyptiske tallsystemet i praksis i stor grad nettopp består i å telle opp symboler, er det rimelig at addisjons- og subtraksjonsalgoritmene blir enkle å utføre. Den neste figuren viser symbolene i det tradisjonelle Kinesisk- Japanske tallsystemet. Slik det står beskrevet her er det blitt benyttet fra 300 e.kr. Eksempel: 5625 Systemet ovenfor bruker også grunntallet ti, som vi forstår. Det er videre et siffersystem, ved at egne symboler, sifre, er innført for tallene fra 1 til 9. Disse sifrene brukes til å angi antall av både enere, tiere, hundrere, osv. En har også, som hos egypterne, egne symboler for 10, 100 og 1000, dvs. for de såkalte dekadiske enhetene (deka = 10). Det tradisjonelle Kinesisk-Japanske systemet er et eksempel på det som kalles et multiplikativt grupperingssystem. Man har funnet begynnelse til dette systemet fra 1300 1000 f.kr. Forskjellen på et slikt tallsystem og vårt nåværende sees klarest hvis vi tenker oss et multiplikativt grupperingssystem med bruk av våre sifre fra 1 til 9, og med vannrett skrivemåte. Vi måtte da finne opp egne symboler for 10, 100, 1000 osv. La oss ganske enkelt bruke ti, hu og tu for de tre første. Tallet 5625 ville da bli omskrevet slik: 5625 = 5tu6hu2ti5 KAPITTEL 1 13

Stilt opp på denne måten kan vi undre oss over at en kultur kunne skrive tallene så tungvint. Og det selv om det multiplikative system opplagt er en rasjonalisering av det additive. Vårt nåværende tallsystem er et såkalt posisjonssystem, eller plassverdisystem en av de mest betydningsfulle menneskelige oppfinnelser. Den geniale og tilsynelatende enkle rasjonaliseringen fra det multiplikative system består i å innse at egne symboler for de dekadiske enhetene egentlig er overflødig. Vi lar plassen et siffer står på fortelle hva slags dekadisk enhet det gjelder. F. eks. vet vi i vårt system at 3705 betyr 3 tusen + 7 hundre + 5. Babylonerne og mayafolket er to velkjente eksempler på at også gamle kulturer kunne utvikle et posisjonssystem. Dette kommer vi tilbake til. Et fullstendig posisjonssystem krever at det konstrueres et nytt siffer, nemlig et nullsymbol, jf talleksemplet ovenfor. Dette var en prosess som tok tid. En årsak til den sene utviklingen av et nullsymbol i vår kulturkrets kan være at tallregning lenge var knyttet til det konkrete instrumentet abakus (som f.eks. kan være en loddrett kuleramme). Den tomme plass er da tydelig markert, se figuren der tallet 2301 er konkretisert. tusen hundre ti en En abakus kunne også tegnes med parallelle streker i sanden, med små steiner som markører. (Ordet «calculus» betyr små stener, derav vårt navn kalkulasjon, eller å kalkulere). Vi tar med at de siffersymbolene vi bruker i dag stammer fra inderne og at de ble formidlet til vesten av araberne. De fortrengte de kjente romerske talltegn på ca 1400-tallet. En liten sirkel som nullsymbol skal først ha vært brukt av kineserne på 1200-tallet. Figuren nedenfor viser skjematisk utviklingen av våre talltegn. Den er tatt fra Aschehoug og Gyldendals Store Norske leksikon. Figur 1.10: Talltegn. Utviklingen av talltegn. A) Indiske tall fra 100-tallet. B) Boethius tall fra ca. 500. C) Vestarabiske tall. D) Østarabiske tall. E) Tall av Guido fra Arezzo, 1000-talet. F) Tall av Hugo von Lerchenfeld fra slutten av 1100-tallet. G) Tall av Maximos Planudes fra begynnelsen av 1300-tallet. H) Tall fra en sveitsisk logaritmetabell fra 1400-tallet. I) Trykte tall fra 1500-tallet. KF 14 TALLÆRE

Kjennskap til den historiske utviklingen av matematikkens begreper har praktisk metodisk betydning for undervisningsarbeid. Mange har pekt på at de begrep og ideer som det tok lengst tid å utvikle, ofte faller sammen med de kunnskaper barn har vanskeligst for å lære. Det vil nok være ulike oppfatninger om i hvilken grad begrepsdanningsprosessen hos barn bør eller må følge begrepenes virkelige historiske utvikling. Men det er uansett sikkert at slik historiekunnskap kan hjelpe oss i begrepsanalysene, og gi oss ideer om passende progresjon og aktiviteter i undervisningen. I boka «Begynneropplæringen» av M. Johnsen Høines, Caspar forlag, ser vi hvordan barns naturlige utvikling av både sifferskrivingen og ideen om tallsystem har paralleller til våre historiske eksempler i det foregående. Spesielt vil en se hvordan begrepsdanning og symbol/ språkutvikling er to sider av samme sak. Et mye brukt konkretiseringsmateriell for arbeidet med begrepet titallsystem og plassverdi er det såkalte 10-basemateriellet. Dette materiellet, av tre eller plastikk, består av 1-ere (små terninger), 10- ere (staver, som svarer til 10 enerterninger på rekke), og 100-ere (flater, som svarer til 10 staver ved siden av hverandre). Også 1000- ere finns (blokker, dvs. storterninger som svarer til 10 flater oppe hverandre). Skissen nedenfor viser hvordan en med dette materiellet kan arbeide seg fram mot plassverdibegrepet via mer primitive nivåer, svarende til den historiske utvikling. Hundrere Tiere Enere Additivt grupperingssystem 2 3 5 Multiplikativt grupperingssystem 2 3 5 Posisjonssystem Et annet velbrukt konkretiseringsmateriell er pinner og tierbunter av pinner. Naturlige skriftsymboler for 1 og 10 ville da være og. Men 3-sifrede tall blir det mer tungvint å framstille. Det må nevnes at verdien av slikt ferdig konkretiseringsmateriell for begrepstrening ikke lenger er like selvsagt og enestående. I boken «Begynneropplæringen», hvor begrepsdanning og symbol- og KAPITTEL 1 15

språkutvikling ansees som to sider av samme sak, vil vi se hvordan f.eks. barns egne tegninger ofte er bedre som meningsbærere enn ferdigfabrikerte plastklosser o.l. Til slutt vil vi peke på at glimt fra tallbegrepenes historiske utvikling kan ha en verdi i seg selv i matematikkundervisningen. L-97 nevner arbeid med ulike kulturers måte å skrive tall på, på flere klassetrinn. Denne type stoff har ofte vist seg fint for variasjon og motivasjon, fra 1. klasse til ungdomstrinnet. Også i spesialpedagogisk sammenheng kan det utnyttes. Undersøkelser har vist at regnevansker selv i de høyere klassetrinn ofte skyldes svikt i oppfatningen av selve posisjonssystemet. Det vil rimeligvis kunne være mer motiverende for eldre elever med slike vansker å arbeide med historiske tallsystemer enn fortsatt terping med materiell og oppgaver som hører til på barnetrinnet. Dette stoffet gir også gode muligheter til tverrfaglig arbeid. Oppgaver Oppgave 1.1 Hvordan ville fortidsmennesket som skar hakkene i det 30 000 år gamle ulvebeinet (sannsynligvis) skrevet eller markert tallene 17 og 63? Oppgave 1.2 Tenk over og forklar hvilke forskjeller det er på vårt nåværende tallsystem og det gamle egyptiske. Oppgave 1.3 Se på det egyptiske addisjonsregnestykket foran (side 10). Forsøk å forklare trinn for trinn hvordan framgangsmåten kan ha vært, med vekt på opptelling av symboler. Oppgave 1.4 Se på det egyptiske subtraksjonsproblemet nedenfor. Løs det og forklar hvordan du tenkte. Oppgave 1.5 Sammenlign og diskuter vanskegraden i egyptisk addisjon og subtraksjon slik som ovenfor med den måten barna lærer dette på i vårt tallsystem. 16 TALLÆRE

Oppgave 1.6 Se på den gamle Kinesisk-Japanske tallskrivemåten (side 11). a) Forstår du hvordan tallet 5625 er dannet? b) Skriv om disse tallene til gammelt Kinesisk-Japansk: 3981, 62, 602. c) Tenk over: Hva er den prinsipielle forskjellen på dette systemet og det gamle egyptiske? d) Hva er forskjellene på dette tallsystemet og vårt 10-tallsystem? Oppgave 1.7 Romertallene dominerte lenge i vesteuropeisk kultur. Dette er et additivt system med følgende symboler: 1 5 10 50 100 500 1000 I V X L C D M a) Finn verdiene av disse romertallene: 1) CCCXXII 2) DCCLXV 3) MXXX b) Etterhvert kom det inn et subtraksjonsprinsipp når et mindre tall ble skrevet foran et større. Dette ga en viss rasjonalisering. En skrev f.eks. IV i stedet for IIII. Hvilket tall er dette: MMCDXCIII. c) Skriv som romertall: 1) Ditt fødselsår 2) 1993 3) År 2000. 1.2 Posisjonssystemer Vi ser her nærmere på begrepet plassverdi og ulike posisjonssystemer. Utgangspunktet er at en vil beskrive et stort antall objekter på en oversiktlig og ordnet måte. Vi starter da med å samle objektene i basisgrupper av en bestemt størrelse, f.eks. ti i hver gruppe som i vår kultur. Det blir da en mengde til overs med færre enn ti objekter (her tar vi også med det tilfellet der vi ikke får noe til overs). I ti-tallsystemet lar vi alle antall mindre enn ti få sine egne talltegn: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Antallet objekter i mengden som ble til overs er da første siffer (lest fra høyre i vår kultur) i tallet vi søker 1-erne. For å bestemme andre siffer gjentas denne prosessen, der en nå betrakter tiergruppene som objekter, som samles sammen ti og ti. Antallet objekter som blir til overs (dvs. opprinnelige tiergrupper) utgjør da det andre sifferet 10-erne, osv. Eksempel 1 De fleste har vært med å telle opp penger etter en basar, innsamling eller lignende. Sitter vi med en masse kronestykker foran oss samler vi dem i tierstabler, disse stablene samler vi igjen ti og ti, se illustrasjonen. De kronestykkene som ikke ga en hel tierstabel blir første siffer (igjen lest bakfra) i kronebeløpet, de stablene som ble til overs KAPITTEL 1 17