Løsning eksamen S1 våren 008 Del. Oppgaver løst med pc og enkel lommeregner. Noen gode grunner til å lære å utnytte pc-en effektivt på eksamen: I eksamensinformasjonen står det: Der oppgaveteksten ikke sier noe annet, kan du fritt velge fremgangsmåte. I Veiledning om vurderingen står det at sensor også vurderer om du kan bruke hensiktsmessige hjelpemidler. I oppgaver som krever at du bruker en bestemt fremgangsmåte kan det likevel være nyttig å bruke et egnet matematikkprogram til å finne et fasitsvar. Da sparer du tid fordi du slipper å kontrollregne flere ganger. Her tar vi bare med løsninger med pc og enkel lommeregner der det kan være raskere enn å løse oppgaven med penn og papir. De enkle kalkulatorene vi bruker er Sharp EL-506, Casio fx-8 ES og Texas Instruments TI-30X IIB. Vi bruker her dataprogrammene GeoGebra (gratis) wxmaxima (gratis), Graph 4.3 (gratis) og Excel. Oppgave a) Hva er sannsynligheten for at Knut skal treffe blink på alle de 10 skuddene. Sharp: Trykk inn 0.7 x y 10 og Casio: Trykk inn 0.7 x 10 og TI: Trykk inn 0.7 ^ 10 og b) Hva er sannsynligheten for at Knut treffer blink høyst 8 ganger på de 10 skuddene? Åpne wxmaxima. Klikk på Sannsynlighet og på Binomisk forsøk. Fyll inn opplysningene som vist øverst på neste side og klikk OK.
PX ( 8) 0,851 c) Hva er sannsynligheten for at Knut skal få premie i n bestemt skytekonkurranse? Klikk på Sannsynlighet og på Binomisk forsøk. Fyll inn opplysningene som vist nedenfor og klikk OK. d) Knut ønsker at sannsynligheten for å få premie skal økes til 0,80. Hva må da sannsynligheten p minst være for å treffe med ett skudd økes til? Her må vi bruke samme innstilinger som i oppgave c og prøve oss fram med ulike verdier for p til vi får minst 0,8 som svar. Det oppnår vi når p er minst 0,76. (Vi holder oss til to desimaler i svaret som for den opprinnelige verdien av p på 0,70.)
Oppgave 3. Alternativ I a) Se løsning uten bruk av pc. b) Se løsning uten bruk av pc. c) Bruk grafen til f til å finne et funksjonsuttrykk for f. Vi ser at dette er grafen til en andregradsfunksjon og at grafen går gjennom punktene (1,0), (,1) og (3,0). Dette er nok til å finne funksjonsuttrykket ved andregradsregresjon. Åpne wxmaxima. Klikk på Funksjonsanalyse og Regresjon. Fyll inn opplysningene som vist nedenfor, velg andregradsregresjon og klikk OK. Du får da løsningen f '( x) x 4x 3 d) Bestem x-verdiene til de punktene på grafen til f der momentan veksthastighet er lik 1. Bruk wxmaxima. Klikk på Likninger og Løs likning. Skriv inn likningen x^+4*x-3 = -1 og klikk OK. (Husk gangetegnet mellom 4 og x.)
Vi får disse x-verdiene: x eller x Klikk på Til desimaltal nederst i vinduet på wxmaxima. Det gir løsningen: x = 0,59 eller x = 3,41. e) Skisser en mulig graf til funksjonen f ut fra det du ha funnet ovenfor, når x 0, 4 Se løsningen uten bruk av pc. (S1-elever ikke har lært om integralregning og denne deloppgaven egner seg da ikke spesielt godt for pc.) Oppgave 3. Alternativ II Løsning med Graph 4.3 a) Se løsning uten bruk av pc. b) Bruk regresjon til å finne en polynomfunksjon f av andre grad som tilnærmet beskriver utviklingen ovenfor. Åpne Graph 4.3 Klikk på dette ikonet på verktøylinja. Skriv inn tallene i tabellen og klikk OK. Klikk på Zoom og velg Alle punkter. Klikk på dette ikonet og velg Polynomisk og Orden. Klikk OK. Vi får løsningen f x x x ( ) 0,74 1,49 417 c) Tegn grafen til f og marker punktene i tabellen i det samme koordntystemet. Vi får denne figuren på neste side med Graph 4.3:
d) Bestem momenta veksthastighet i år 000. Marker den momentane veksthastigheten på grafen til f. Klikk på dette ikonet for å analysere funksjonen. Vi ser av figuren øverst på neste side at den momentane veksthastigheten f (x) i år 000 (når x = 15) er 6,74
e) I 000 var det 460 registrerte biler per 1000 innbyggere. Ettersom vekstfarten var 6,74, var tallet i 001 økt til 460 + 6,74 1 466,74. Det var 4 500 000 innbyggere i 001. Biltallet var da 466,74 4500 100 300 Løsning med wxmaxima a) Se løsning uten pc. b) og c) Åpne wxmaxima. Klikk på Funksjonsanalyse og Regresjon. Fyll inn opplysningene som vist nedenfor, velg andregradsregresjon og klikk OK.
f x x x ( ) 0,74 1,49 417 d) Det er ikke mulighet for regresjon i versjon 3,0 av GeoGebra, men dette kommer i neste versjon, som er 3,. Åpne GeoGebra. Skriv inn Funksjon[0.74x^-1.49x+417,0,0] og trykk Enter. Dette avgrenser grafen til x-verdier mellom 0 og 0. Still inn aksene slik at x-aksen går fra -5 til 5 og y-aksen fra 400 til 500. Skriv Tangent[15,f] og trykk Enter. GeoGebra kaller tangenten for a. Skriv Signing[a] og trykk Enter. Se grafen med avmerket momentan veksthastighet på neste side. Den momentane veksthastigheten når x = 15 er 6,73.
e) I 000 var det 460 registrerte biler per 1000 innbyggere. Ettersom vekstfarten var 6,73, var tallet i 001 økt til 460 + 6,731 466,73. Det var 4 500 000 innbyggere i 001. Biltallet var da 466, 734500 100 300 Oppgave 4 a) Se løsning uten bruk av pc. b) Skraver det området som er definer av ulikhetene i et koordinatsystem. Åpne GeoGebra. Still inn aksene slik at både x- og y-aksen går fra 0 til 0.
Vi bruker figuren som vi får i GeoGebra som en støtte for å tegne figuren på papir, slik den er skissert i løsningen uten pc. Husk at både x og y skal være mindre eller lik 0. Det går ikke fram av GeoGebra-figuren. For Kari gjelder ulikheten y x 18 Vi skriver da Kari(x) = -x+18 og trykker Enter.. 1 For Arne gjelder ulikheten y x 1,5 Vi skriver Arne(x) = -1/x+1.5 og trykker Enter. For Harald gjelder ulikheten y x 13. 3 Vi skriver Harald(x) = -/3x+13 og trykker Enter. Bruk ev. mangekantvertøyet og lag en mangekant mellom de aktuelle punktene. Dette er ikke nødvendig fordi vi ser det avgrensede området uten bruk av en mangekant..
c) Finn ut den største inntekten Kari, Arne og Harald til sammen kan oppnå per dag. Åpne wxmaxima. Klikk på Likninger og velg Lineær optimering. Skriv inn ulikhetene slik det går fram av figuren nedenfor og klikk OK. wxmaxima gir denne løsningen: Den største inntekten er 850 kroner. Den får de ved å plukke 15 kasser epler og 3 kasser pærer.
d) Se løsning uten bruk av pc.