LØSNING: Eksame 17. des. 2015 MAT100 Matematikk, 2015 Oppgave 1: økoomi a I optimum av T Rx er dt Rx 0 1 som gir d Ix Kx 0 2 dix dix dkx dkx 0 3 4 dvs. greseitekt gresekostad, q.e.d. 5 b Gresekostad ekstrakostade ved å produsere e ekstra ehet 1 1 Tilsarede gjelder også for greseitekt. Me det treger ma ikke eve på eksame. 1
c Det totale resultatet T Rx for Ello er gitt ved: T Rx def. Ix Kx 6 p x Kx 7 p x ax 2 + bx + c 8 p x ax 2 bx c 9 p bx ax 2 c, q.e.d. 10 d Det totale resultatet T Rx oppår sitt optimum, i dette tilfellet maksimum, år de deriverte er lik ull: stigigstallet 0 11 d T Rx d p bx ax 2 c 0 12 0 13 p b a2x 0 14 p b a2x 15 x max p b 2a, q.e.d. 16 2
e De 2. deriverte av T Rx: 2 d 2 T Rx 2 d 2 2 p bx ax 2 c d p b 2ax 17 18 2a 19 er egativ side a > 0. Dermed er T Rx kokav og betigelse i lig.5 represeterer et maksimum og ikke et miimum av T Rx. f Det maksimale totale resultatet T R max T Rx max er: T R max T Rx max 20 p bx max ax 2 max c 21 p b p b 2a 2 p b a c 22 2a p b2 2a p b2 4a c 23 p b2 4a c 24 2 2. derivasjosteste. Se formelsamlige. 3
g Atall liter såpe må Ello produsere per måed for å maksimere T Rx: x max lig.16 p b 2a 25 22 10 NOK liter 2 0.001 NOK 6 000 liter 26 liter 2 h Maksimalt resultat T R max som Ello ka oppå per måed: T R max lig.24 p b 2 4a c 27 22 10 2 4 0.001 3 000 NOK 33 000 NOK 28 4
Oppgave 2: fiasmatematikk a Formel S a : Formele S a beskriver summe av oppspart kapital år ma setter av samme kapitale K ved begyelse av hver termi i atall termier. Summe S a er da oppspart beløp è termi etter siste termi. Formel K 0 : K 0 beskriver de åverdie ma må ha dersom ma skal ta ut/betale tilbake samme beløp K i termier fremover. Begge formlee gjelder ku dersom rete r er kostat over alle termiee. I tillegg må selvsagt også rete være positiv r > 0, dvs. ma ka ikke ha r 0. b Formele for S a var oppgitt i oppgave: S a K1 + r 1 + r 1 r 29 Løser med hesy på K alee: S a K1 + r 1 + r 1 r S a 1 + r rs a 1 + r K 1 + r 1 r K 1 30 1 + r r 31 [ 1 + r 1 1] 1 + r 1 32 som gir: K rs a [ ], q.e.d. 33 1 + r 1 + r 1 5
c Oppgave dreier seg om oppsparigauitet. Dersom ma øsker å spare til S a 100 000 NOK etter 4 år, è termi etter at siste beløp er satt av, så er det bare å bruke formle fra oppgave 2b år ma skal fie det måedelige beløpet K ma må sette av: K rs a [ ] 34 1 + r 1 + r 1 0.00375 100 000 [ ] NOK 35 1 + 0.00375 1 + 0.00375 48 1 1898.23 NOK 36 Du må sette av K 1898.23 NOK per måed for å få 100 000 NOK etter 4 år. d Formele for S a var oppgitt i oppgave: S a K1 + r 1 + r 1 r 37 Løser med hesy på alee: S a K1 + r rs a K1 + r S a K1 + r 1 + r 1 r 1 + r 1 r 1 38 K1 + r r 39 1 + r 1 flytter 1 på adre side 40 rs a K1 + r + 1 1 + r 41 6
Ta logaritme l på begge sider av forrige ligig. Da får ma: rs l1 + r a l K1 + r + 1 rs a l1 + r l K1 + r + 1 1 l1 + r 42 43 som gir: l rs a K1+r + 1 l1 + r, q.e.d. 44 e Også dee oppgave dreier seg om oppsparigauitet. Vi fie hvor mage måeder vi må sette av beløpet fra oppgave 2c, dvs. K 1898.23 NOK 45 for å oppå samme totale oppsparte beløp, S a siste beløp er satt av, år rete har økt til: 100 000 NOK, è måed etter at r 0.06 12 0.005 46 Atall måeder vi må spare: l rs a K1+r + 1 l1 + r 0.005 100 000 l + 1 1898.231+0.005 l1 + 0.005 47 46.7 47 48 Det tar altså 47 måeder, dvs. ku è måed kortere tid dersom rete økes til 6 % i året. 7
Oppgave 3: priselastisitet og logistikk a Se vedlegg A. b At E p x > 0 betyr at e prisøkig vil gi e økig av etterspørsel. 3 c Priselastisitete E p x: E p x d xp p dp xp d c p 2 dp 2p 49 p c p 2 50 p c p 2 51 2p2 300 p 2, q.e.d. 52 d Når prise er p 5 så er tilhørede priselastisitet: E p x 2p2 300 p 2 53 2 52 300 5 2 2 11 0.18 54 3 Det er svært sjelde at et marked har dee type dyamikk. For oe luksusvarer ka det muliges være slik. Me dette treger ma ikke eve på eksame. 8
e Tolkig: Dersom prise p på cotaiertrasport øker med 1 % så vil etterspørsele mike med 0.18 %. Altså reduksjosfaktore er 0.18. f Side E p x %-vis edrig i etterspørsel %-vis edrig i pris 55 så ser vi at: %-vis edrig i etterspørsel E p t } {{ } 0.18 %-vis edrig i itekt } {{ } 5 % 56 0.18 5 % 57 0.9 % 58 g Priselastisitete er øytralelastisk år: E p x 1 59 Priselastisitete E p x er gitt ved lig.52. Dermed ka vi løse med hesy på p alee: 2p2 1 60 300 p 2 2p 2 1 300 p 2 300 p2 61 9
2p 2 300 p 2 62 3p 2 300 63 p 2 100 64 som gir p 10 65 side prise ikke ka være egativ. Priselastisitete er øytralelastisk, dvs. E p x 1, dersom prise er 10 000 NOK per cotaier for trasport mellom Norge og USA. 10
Oppgave 4: logistikk og lagerkostader a Dette er et miimerigsproblem uder e bibetigelse. Derfor er dette e situasjo som er godt eget for å bruke Lagrage multiplikator. Av åpebare gruer er x 1 0 og x 2 0. Dessute er bibetigelse: gx 1, x 2 x 1 + x 2 100 66 Lagrage-fuksjoe blir dermed: F x 1, y 1 Cx 1, x 2 λ gx 1, x 2 67 hvor Cx 1, x 2 x 2 1 + 400x 1 + x 2 2 + 300x 2. De stasjoære puktee til F x 1, x 2 er: F x 1, x 2 x 1 0, F x 1, x 2 x 2 0 68 Cx, x 2 x 1 λ gx 1, x 2 x 1 0, Cx 1, x 2 x 2 λ gx 1, x 2 x 2 0 69 21 + 400x 1 + 400x 1 x x 1 + x 22 + 300x 2 x x 2 + x 22 + 300x 2 λ x 1 + x 2 x 1 λ x 1 + x 2 x 2 0 70 0 71 2x 1 + 400 λ 0 72 2x 2 + 300 λ 0 73 2x 1 + 400 λ 74 2x 2 + 300 λ 75 11
De to ligigee i lig.74 og 75 samme med bibetigelse utgjør 3 uavhegige ligiger. Vi har 3 ukjete, x, y og λ. Dermed er dette et ligigssystem som ka ha e bestemt etydig løsig. Vi ka å bruke isettigsmetode 4 og elimiere λ via lig.74 og 75: λ λ 76 2x 1 + 400 2x 2 + 300 77 2x 1 2x 2 100 78 x 1 x 2 50 79 Deretter setter lig.79 i i bibetigelse: x 1 + x 2 100 80 x 2 50 + x 2 100 81 2x 2 150 82 x 2 75 83 som gir, f.eks. via lig.79, x 1 x 2 50 75 50 25. Miimal lagerkostad for Cx 1, x 2 itreffer altså for x 1, x 2 25, 75. For å miimere lagerutgifte C mi bør Hustadmarmor: x 1 25 tuse to av type 1 slurry i take 84 x 2 75 tuse to av type 2 slurry i take 85 4 Med isettigsmetode meer vi her rett og slett at ma setter e ligig i i e ae. 12
b I oppgave 4a fat vi at x 1 25 og x 2 75 vil miimere kostade Cx 1, x 2. Derfor: C mi C25, 75 86 25 2 + 400 25 + 75 2 + 300 75 NOK 38 750 NOK 87 De miimale lagerkostade per uke for Hustadmarmor er 38 750 NOK. 13
Vedlegg: Kadidatummer: -2-1 0 1 E p x Elastisk: Etterspørsele er følsom for prisedrig. Nøytralelastisk: Etterspørsele har samme følsomhet som prise. Uelastisk: Etterspørsele er lite følsom for prisedrig. Dette vedlegget skal legges ved i di besvarelse.