Eksame : ECON Statstkk Exam: ECON Statstcs UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Eksamesdag: Fredag. ma 8 Sesur kugjøres: Torsdag. ju Date of exam: Frday, May, 8 Grades wll be gve: Thursday Jue Td for eksame: kl. 9: : Tme for exam: 9: a.m. : oo Oppgavesettet er på X sder The problem set covers X pages Eglsh verso o page Tllatte hjelpemdler: Alle trykte og skreve hjelpemdler, samt lommekalkulator er tllatt Resources allowed: All wrtte ad prted resources, as well as calculator s allowed Eksame blr vurdert etter ECTS-skalae. A-F, der A er beste karakter og E er dårlgste ståkarakter. F er kke bestått. The grades gve: A-F, wth A as the best ad E as the weakest passg grade. F s fal. Oppgave V har e kortstokk beståede av 6 kort. På av dsse står det skrevet JA på forsde mes det står NEI på forsde av de adre kortee. Hvs ma får se kortet med baksde vedt mot seg, er det kke mulg å se om det står JA eller NEI på forsde. A. Ata kortstokke blr stokket godt og lagt ed på bordet e buke med baksde opp. Hva er sasylghete for at det øverste kortet buke er et JA-kort Hva er sasylghete for at de to øverste kortee buke begge er JA-kort B. La geerelt A og B være to begveheter. Da gjelder () A= ( A B) ( A B) Forklar relasjoe () ved et Ve-dagram. Ata PA= ( ) og PB ( A ) Hva blr da PA ( B) 5
() Ata at sasylghetee oppgtt fortsatt gjelder. Hvlke verd må PB ( ) ha hvs A og B er uavhegge begveheter Hva blr så fall PA ( B) C. V veder tlbake tl stuasjoe pukt A. La J være begvehete at det øverste kortet buke er et JA-kort, og J begvehete at det est øverste kortet er et JAkort. Forklar tutvt, eller ved e beregg, at PJ ( ) = PJ ( ) D. Kortstokke stokkes grudg og legges som før på bordet e buke med baksde opp. Ett og ett kort åpes deretter fra toppe av buke og edover tl første JAkort dukker opp. La X være atall kort som må sus tl første JA-kort dukker opp. Hvs kortstokke er grudg ok stokket, vl alle mulge rekkefølger av kortee buke ha samme sasylghet, og de stokastske varabele X vl ha e fordelg gtt tabell : Tabell Fordelge for X X 5 6 5 PX ( = x) 5 5 5 5 5 Vs at PX= ( ) = som gtt tabelle. 5 [Ht: Merk at begvehete ( X = ) er ekvvalet med begvehete N N J - dvs. der de to øverste kortee er NEI-kort og det tredje kortet fra toppe et JA-kort (der begvehete N betyr at -te kort fra toppe er et NEI-kort).] Vs at EX ( ) = og Var( X ) 9 E. Å stokke e kortstokk godt er vaskelgere e folk flest tror. Jes meer at ha valgvs stokker kortee godt ok, me er vllg tl å gjeomføre følgede test: Ekspermetet beskrevet pukt D gjetas = gager. I hvert forsøk stokker Jes kortee så godt ha meer er tlstrekkelg, legger deretter kortee på bordet e buke med baksde opp, åper ett og ett kort fra toppe og edover buke tl første JA-kort dukker opp og regstrerer tl slutt hvor mage kort som må sus før JA-kortet vser seg. La for forsøk X betege atall kort som må sus tl det første JAkortet kommer ( =,, K,). Ata at X, X, K, X er uavhegge og detsk fordelt, med felles forvetg, EX ( ) = µ og varas, Var( X ) = σ. Hvs stokkge er god ok, er de felles fordelge kjet og gtt tabell. Dette utgjør vår ull-hypotese. Hvs stokkge kke er god ok, vl de felles fordelge være ukjet med ukjet forvetg og varas.
Gjeomsttlg X-verd for de stokke-forsøkee tl Jes ble,98. Sett opp og gjeomfør (basert på dette resultatet) e test med sgfkasvå 5% for hypotese: H : µ = =, mot H : µ, Bereg p-verde for teste og formuler e koklusjo. [Ht: Bruk setralgreseteoremet. Merk at både µ = og σ = er 9 kjete uder H, som dette tlfellet er det eeste v treger å vte for å kue berege krtske verder og p-verd. ] Oppgave Et problem ved spørreudersøkelser er å få påltelge svar på sestve spørsmål. For å skre aoymtete beytter e forsker følgede tervju-metode. Ata spørsmålet er, "Har du kjøpt smuglersprt år". Forskere vser respodete (dvs. persoe som blr tervjuet) e kortstokk av samme type som oppgave der JA står på av kortee og NEI på. Respodete får opplyst hvor mage av kortee som har JA og hvor mage som har NEI. Respodete blr bedt om kke å svare drekte på spørsmålet, me stedet å trekke et kort og s om det som står på kortet stemmer eller kke. For eksempel hvs respodete faktsk kke har kjøpt smuglersprt og trekker et kort med NEI på, så svarer vedkommede at det som står på kortet stemmer. Deretter blr kortet lagt tlbake kortstokke ute at forskere får se hva som står på det. For ekelthets skyld vl v dee oppgave se bort fra de tlfellee der respodete ekter å svare eller lyver, og atar stedet at alle gr et av to mulge svar, det stemmer, eller det stemmer kke, og at alle sakker sat. A. Metode brukes på et ret tlfeldg utvalg av vokse persoer fra befolkge. Gjør rede for at atall persoer utvalget som svarer, "det som står på kortet stemmer", ka atas å være bomsk fordelt. B. La q være de relatve adele som vlle ha svart, "det som står på kortet stemmer", dersom forskere hadde tervjuet hele de vokse befolkge. La p være adele befolkge som har kjøpt smuglersprt. Det ka vses (jfr. pukt D) at sammehege mellom p og q er gtt ved () p q = La X være atall som svarer "det som står på kortet stemmer" et tlfeldg utvalg på vokse. Forklar hvorfor pˆ = X
er e forvetgsrett estmator for p. Vs at stadardavvket (SD) for ˆp er (uttrykt ved q): ( ) SD( ˆ) q p = q X C. Kostruer et 95% kofdestervall for p basert på qˆ [Ht: Ta utgagspukt et 95% kofdestervall for q, som v ka skrve ( AB, ), der A og B er stokastske varable som oppfyller PA ( q B) =,95 (tlærmet). Dette tervallet ka du så overføre tl et tervall for p ved å vse at begvehete ( A q B) er ekvvalet med begvehete ( B p A). ] Hvor mage observasjoer tregs for at legde, L = B A, på kofdestervallet for q kke skal overskrde,6 Bereg også hvor mage observasjoer som tregs for at legde på tervallet for p kke skal overskrde,6. D. Vs relasjoe () pukt B. [Ht: Betrakt tervju-stuasjoe med e tlfeldg trukket respodet og før begvehetee: K = Respodete har kjøpt smuglersprt år S = Respodete svarer at det som står på kortet stemmer J = Det står JA på kortet som respodete trekker N = Det står NEI på kortet som respodete trekker Gjør rede for og utytt at S = ( K J) ( K N), som er e dsjukt uo. Merk også at det som står på kortet, åpebart er uavhegg av om respodete har kjøpt smuglersprt eller kke. ] ENGLISH VERSION Problem We have a deck of cards cosstg of 6 cards. O of the cards the word YES s wrtte o the frot sde whle NO s wrtte o the remag cards. A vewer lookg at backsde of a card caot see whether YES or NO s wrtte o the frot sde. A. Suppose that the deck s shuffled well ad put o the table oe ple wth the backsde up. What s the probablty that the top card the deck s a YES card
What s the probablty that the two top cards the deck both are YES cards B. Let, geeral, A ad B be two evets. The t s always true that () A= ( A B) ( A B) () Expla the relato () by a Ve dagram. Suppose PA= ( ) ad PB ( A ) What s the PA ( B) 5 Suppose that the probabltes gve stll hold. What must be the value of PB ( ) f A ad B are depedet evets If so, what s PA ( B) C. We retur to the stuato secto A. Let J be the evet that the top card the deck s a YES card, ad J the evet that the secod card from the top s a YES card. Expla tutvely, or by meas of a calculato, that PJ ( ) = PJ ( ) D. The deck s shuffled well ad put o the table as before, a ple wth the backsde up. The cards the deck are the tured oe by oe from the top utl the frst YES card appears. Let X be the umber of cards that have to be tured utl the frst YES card shows up. If the deck of cards has bee shuffled suffcetly well, all possble ordergs of the 6 cards the deck wll have the same probablty, ad the radom varable X wll have a dstrbuto as gve table : Table The dstrbuto of X X 5 6 5 PX ( = x) 5 5 5 5 5 Show that PX= ( ) =, as gve the table. 5 [Ht: Note that the evet ( X = ) s equvalet wth the evet N N J -.e., where the two top cards are NO cards ad the thrd card from the top s a YES card. (The evet N meas that the -th card from the top s a NO card.)] Show that EX ( ) = ad Var( X ) 9 E. To shuffle a deck of cards well s more dffcult tha most people thk. Jes thks that he usually shuffles the cards well eough, but agrees to perform the followg test: The expermet descrbed secto D s repeated = tmes. I each tral Jes 5
shuffles the cards as well as he thks s suffcet, the puts the cards o the table a ple wth the backsde up, turs the cards oe by oe from the top of the deck ad dowwards utl the frst YES card shows up, ad wrtes dow the umber of cards that had to be tured utl the frst YES card appears. Let, for tral, X deote the umber of cards that has to be tured utl the frst YES card shows up ( =,, K,). Suppose that X, X, K, X are depedet ad detcally dstrbuted, wth commo expectato, EX ( ) = µ, ad varace, Var( X ) = σ. If the shufflg s suffcetly good, the commo dstrbuto s kow ad gve table. Ths costtutes our ull-hypothess. If the shufflg s ot good eough, the commo dstrbuto s ukow wth ukow expectato ad varace. The mea X-value for the shufflg-trals of Jes tured out to be,98. Set up ad perform (based o ths result) a test wth level of sgfcace 5% for the hypothess: H : µ = =, versus H : µ, Calculate the p-value for the test ad formulate a cocluso. [Ht: Use the cetral lmt theorem. Note that both µ = ad σ = are 9 kow uder H, whch, ths case, s the oly thg we eed to kow order to calculate the crtcal values ad p-value. ] Problem A commo problem wth survey vestgatos s to obta relable aswers to sestve questos. To esure the aoymty a scetst uses the followg tervew method. Assume that the questo s, "Have you bought ay bootleg (smuggled lquor) ths year". The scetst shows a deck of cards to the respodet (.e., the perso beg tervewed) of the same type as problem where YES s wrtte o of the cards ad NO o. The respodet s told how may cards have YES ad how may have NO. The respodet s asked ot to aswer the questo drectly but to draw a card stead ad tell f what s wrtte o the card s correct or ot. For example, f the respodet actually dd ot buy ay bootleg that year ad draws a card wth NO, the she or he aswers that the card s correct. The the card s put back to the deck such a way that the scetst caot see what s wrtte o t. For smplcty we wll, ths problem, gore those cases where the respodet refuses to aswer or aswers wth a le, ad assume stead that everyoe aswer oe of the two possble aswers, the card s correct or the card s ot correct, ad that obody les. A. The method s appled o a radom sample draw from the grow-up populato. Expla why the umber of people the sample aswerg, "the card s correct", ca be assumed to be bomally dstrbuted. 6
B. Let q deote the relatve frequecy of people aswerg, "the card s correct", f the scetst had tervewed the complete grow-up populato. Let p be the relatve frequecy of people the populato that have actually bought bootleg. It ca be show (see secto D) that the relatoshp betwee p ad q s gve by () p q = Let X be the umber of people aswerg "the card s correct" a radom sample of grow-ups. Expla why pˆ = X s a ubased estmator of p. Show that the stadard devato (SD) of ˆp s (expressed by q): ( ) SD( ˆ) q p = q X C. Costruct a 95% cofdece terval for p based o qˆ [Ht: Start wth a 95% cofdece terval for q, whch we may wrte ( AB, ), where A ad B are radom varables that satsfy PA ( q B) =,95 (approxmately). You ca the trasfer ths terval to a terval for p by showg that the evet ( A q B) s equvalet to the evet ( B p A). ] How may observatos are eeded order that the legth, L = B A, of the cofdece terval does ot exceed,6 Also calculate the umber of observatos eeded order that the legth of the terval for p does ot exceed,6. D. Show the relato () secto B. [Ht: Cosder the tervew stuato wth a radomly draw respodet, ad defe the followg evets: K = The respodet has bought bootleg ths year S = The respodet aswers that what s wrtte o the card s correct J = YES s wrtte o the card that the respodet draws from the deck N = NO s wrtte o the card that the respodet draws from the deck Expla ad utlze that S = ( K J) ( K N), whch s a dsjot uo. Notce also that what s wrtte o the card, evdetly must be depedet of the respodet havg bought bootleg or ot. ]