Matmatsk modllrng av hjrnn Gaut T. Envoll Fyskk, Insttutt for matmatsk ralfag og tknolog Unvrsttt for mljø- og bovtnskap, 143 Ås 1. Introduksjon Et vktg utvklngstrkk dagns naturvtnskap r dn økt bruk av matmatsk mtodr bologsk forsknng. Dtt skylds stor frmskrtt forstålsn av bologsk systmr, tablrng av ny ksprmntll tknkkr, mtodsk frmskrtt matmatsk modllrng av komplks systmr og kk mnst dn norm utvklngn av datamasknrs kapastt for numrsk brgnngr og smulrngr. Dt 0. århundr så også dn ndlg gjnfornngn mllom d tr naturvtnskaplg bassdsplnr fyskk, kjm og bolog. Fyskk og kjm bl svst sammn vd avdkkngn av kvantmkankkn og Schrödngrlgnngn 195, og kjm og bolog lkdan vd avdkkngn av DNA-molkylts roll som bærr av arvstofft 1953. Fortsatt r undrvsnng naturvtnskap båd vdrgånd skol og på unvrsttsnvå hovdsaklg dlt opp ttr d tradsjonll dsplnr, hvor båd mtodkk og tradsjon r gansk forskjllg. Mns fyskr og kjmkr har bltt systmatsk skolrt matmatkk og matmatsk modllrng, har studr bolog og mdsn tradsjonlt lagt ltn vkt på dtt. En utfordrng vl bl å fnn ut hvordan dn ny utvklngn bologfagt skal gjnspls måtn v undrvsr naturvtr vårt århundr [1,]. Nvrobolog r n av d bologsk subdsplnr hvor brukn av matmatkk har fått størst gjnnomslag. En vktg grunn tl dtt kan spors tlbak tl Hodgkn og Huxlys [3] mponrnd konstruksjon av n matmatsk modll for gnrrng og forflytnng av lktrsk spnnngspulsr kalt aksjonspotnsalr langs aksonr, n utvkst på nvront (nrvclla) som sørgr for sgnaltransport mllom nrvcllr (s fgur 1). Modlln r basrt på n kvvalnt lktrsk-krts bskrvls av cllmmbrann og har snr bltt utvdt tl å omfatt hl nvronr. I dag har n drfor n rmlg god matmatsk bskrvls av sgnalbhandlngsgnskapn tl tt nvron. Et nklt nvron r kk spslt smart; hjrnns fantastsk gnskapr følgr av t ntrkat samspll mllom mllardr av nrvcllr koblt sammn t komplkst nttvrk. En r fortsatt langt unna n forståls av dnn nttvrksoppførsln, mn dn matmatsk nvronbskrvlsn har gtt t rmlg sold utgangspunkt for matmatsk studr av nttvrksgnskapr. Slk modllrng vl vær t nødvndg lmnt for å kunn forstå koblngn mllom dagns kjnt gnskapr tl nkltnvronr og målngr av hjrnaktvtt på systmnvå md, for ksmpl, lktro- llr magntncfalograf (EEG,MEG), postronmsjonstomograf (PET) llr funksjonll magntsk rsonans avbldnng (fmri). I artkkln vl jg først kort dskutr hvorfor n lagr matmatsk modllr dt hl tatt og drttr g n kort bskrvls av hvordan nvronr modllrs. Md utgangspunkt arbd fra vår gn nystartd grupp brgnngsorntrt nvrovtnskap vd Unvrsttt for mljø- og bovtnskap på Ås [4], vl jg drttr g ksmplr på nttvrksmodllrng.. Hvorfor lag matmatsk modllr? Matmatkk r naturns språk, sa Gall, og fyskkns stor prosjkt har nttopp vært utvklng av matmatsk modllr som bskrvr naturn. I fyskkutdannlsr vrdn ovr 1
r hovdvktn lagt på å lær å bruk d matmatsk fyskklovn. I bologn r dt annrlds. Evolusjonstorn llr torn for hvordan DNA-molkylt kodr nformasjon r ltn grad fundrt matmatkk, og n bolog blr kk nødvndgvs ovrbvst om dn potnsll nyttn av matmatsk modllrng gjnnom stt studum. Sdn matmatkkns språk r vansklg og tdkrvnd å lær, hvorfor r dt kk bdr å formulr modllr vanlg språk? Én vktg grunn r at matmatsk modllr gr mr prss utsagn om naturn nn modllr formulrt ord. Prss utsagn r vktg sdn d gjør dt lttr å skll mllom god og dårlg modllr (falsfsrng). Mns matmatsk modllr gjør dt mulg å g kvanttatv forutsglsr ( Hvor my? ), vl forutsglsr fra modllr ord typsk kun vær kvaltatv ( I hvlkn rtnng? ). Et nklt ksmpl fra fyskkn r bskrvlsn av fallnd objktr jordas tyngdflt. Fra Nwtons lovr følgr dt, for ksmpl, at tdn dt tar før n stn sluppt fra høydn h trffr bakkn økr md kvadratrotn av høydn, dvs. t=(hg) 1/ hvor g r tyngdns akslrasjon. Dtt r t vsntlg mr prsst utsagn nn kun å s at falltdn økr md høydn. En annn fordl md matmatsk modllr r at matmatkkns prss struktur skrr at matmatsk argumntr holdr slv om argumntasjonn r lang og bstår av mang suksssv ldd. Argumntr basrt på kvaltatv modllr kan n oft kun stol på hvs argumntasjonsrkkn r kort. Matmatsk modllr nvrovtnskap kan grovt stt grupprs tr typr: dskrptv, mkanstsk og ntrprtv [5]. Målt for dskrptv (llr statstsk) modllr r å bskrv ksprmntll data kompakt, mn nøyaktg. Slv om slk modllr kan vær motvrt av kunnskap om dn undrlggnd nvrobologn, r målt hovdsaklg å bskrv fnomnr matmatsk, kk å forklar opphavt. I mkanstsk modllrng, som tlsvarr tradsjonll fyskk-typ modllrng, r målt å forklar systmrs oppførsl ut fra dt n vt om systmts bstanddlr. For ksmpl, vl n mkanstsk nvral nttvrksmodll ta utgangspunkt kjnt gnskapr tl nvronn som utgjør nttvrkt. For ntrprtv modllr r målt å modllr funksjonn tl nvral systmr, dvs. å rlatr nvral aktvtt tl prosssrng av nyttg nformasjon for dyrt. Informasjonstor bnytts typsk slk modllrng [5]. Intprtv modllrng r unk for bologn. Spørsmålt om hvorfor n stn fallr mot bakkn r kk fruktbart; gravtasjonslovn r kk tablrt ford dn r nyttg for stnr. Lvnd systmr har mdlrtd utvklt sg undr t volusjonsmssg trykk, og hvorfor -spørsmål r rlvant. For mr dskusjon om matmatsk modllrng nvrobolog, s [6]. 3. Kort ntroduksjon tl hjrnn og nrvcllr Mnnskts hjrn bstår av mnst 100 mllardr nvronr. I pattdyr r hjrnbarkn n promnnt struktur. Som llustrrt fgur 1 bstår dn av t foldt, tynt lag av cllr lokalsrt rtt undr hjrnns ovrflat. En bt av mnnskrs hjrnbark r kvaltatvt lk btr fra hjrnbarkn tl nklr pattdyr som katt llr rott; dn stor forskjlln sr ut tl å vær at v har mr av dn. Hjrnbarkn har n karaktrstsk lagdlt struktur (tradsjonlt oppdlt sks lag) hvor ulk nvrontypr fortrnnvs r possjonrt bstmt dybdr. Ulk dlr av hjrnbarkn har ulk funksjonr. Synsdln r, for ksmpl, lokalsrt bakhodt, mns dln som gr oss høyr sosal gnskapr, r lokalsrt lngr frm. Grovt stt sr mdlrtd mkrostrukturn hjrnbarkn gansk lk ut ovr dt hl. Dtt ndkrr at volusjonn kan ha funnt frm tl n ffktv og flksbl brgnngsmssg grunnnht ( hjrnbark-krts ) som kan bruks for å løs dt stor spktrum av oppgavr vår hjrn må håndtr.
Hjrnn nnholdr også n rkk andr mndr strukturr. En slk struktur r thalamus som formdlr sansnntrykk fra snsorsk systmr tl hjrnn, for ksmpl synsnntrykk fra øyt. Fgur 1: Vnstr: Tvrrsntt av mnnskhjrn. Nvronn hjrnbarkn r lokalsrt t -4 mllmtr tykt lag undr hjrnns ovrfalt (grått bånd). Dn nnflt boksn llustrrr hjrnbarkns lagdlt struktur hvor ulk nvrontypr r fordlt ulk lag. Boksn vsr også to nvronr md cllkroppr lokalsrt hnholdsvs lag 4 og 5. (Tradsjonlt dls hjrnbarkn sks lag, mn skssn boksn r lag og 3 slått sammn). Høyr: Skjmatsk llustrasjon av nrvcll. I fgur 1 vss også n skss av t nvron hvor d sntral bstanddln r nntgnt: D grnlgnnd dndrttn mottar sgnalr fra andr nvronr som sprs lktrsk tl cllkroppn. Hvs n tlstrkklg mngd lktrsk strøm ankommr cllkroppn nnn t t vsst tdsvndu, gnrrs n pulslgnnd lktrsk forstyrrls (aksjonspotnsal) md n varght på omtrnt t mllskund. Aksjonspotnsalt forflyttr sg drttr ndovr aksont md n typsk hastght på 10-100 mtr skundt. På synapsr ndn av aksont rsultrr ankomst av t aksjonspotnsal at bstmt sgnalmolkylr slpps løs dn smal kløftn som skllr to nvronr. Dss molkyln skranglr (dffundrr) raskt ovr tl spsll rsptorr på mottagrclln hvor d rsultrr t lktrsk sgnal mottagrcllns dndrttr, og hl prosssn kan start på nytt. Aksjonspotnsalr syns å vær dn vktgst bærrn av nformasjon mllom nvronr. Formn og varghtn på aksjonspotnsaln som t nvron sndr ut varrr lt, så nformasjonn må vær lagrt rkkn av utsndngstdspunktr. Mn hvordan nformasjonn r nnkodt dnn tdsrkkn r pr dag uavklart. Nvronr dls to hovdkatgorr, kstatorsk og nhbtorsk. Ekstatorsk cllr økr sannsynlghtn for at mottagrnvronr fyrr t aksjonspotnsal, mns nhbtorsk cllr rdusrr sannsynlghtn. 4. Modllrng av nrvcllr Dvrs modlltypr for nvronr bnytts. D skllr sg båd bruksområd og gradn av bofyssk dtaljr som nkludrs. 4.1 Kompartmntal modllrng 3
Kompartmntal modllrng ( compartmntal modllng ), llustrrt fgur, rprsntrr dt høyst dtaljnvåt. Hr dls nvront opp dlr ( kompartmntr ) som r så små at dt lktrsk potnsalt kan antas konstant nnad dln. Hvr dl bskrvs som n ltn lktrsk krts, hvor strømmn bærs av onr (kk lktronr som datamasknr). Dn vktgst dynamsk varabln r spnnngn ovr cllmmbrann, mmbranpotnsalt. Dn matmatsk lgnngn som bskrvr tdsutvklngn av potnsalt følgr av Krchhoffs strømlov som sr at lktrsk strøm Fgur : Illustrasjon av prnsppt bak konstruksjon av n kk kan forsvnn. kompartmntal modll fra t morfologsk rkonstrurt nvron. Pyramdalnvront ksmplt r hntt fra [7]. Fgur llustrrr oppbygnngn av n kompartmntal modll basrt på anatomsk rkonstrurt dndrttrær. Dn matmatsk lgnngn som bskrvr tdsutvklngn av mmbranspnnngn V dl nummr fgurn r gtt vd dv s j g, + 1( V+ 1 V ) g 1, ( V V 1) = c + I + I. (1) dt D to lddn på vnstrsdn av lgnngn rprsntrr strømmn mllom dl og nabodln +1 og -1. Først ldd på høyr sd rprsntrr strømmn som skylds cllmmbranns kapastv gnskapr, andr ldd rprsntrr strømmr dl pga. synaptsk nput fra andr nvronr, mns trdj ldd rprsntrr strømmr fra dvrs andr onkanalr. Ionkanalr som bstår av protnr som trr sg fram og tlbak gjnnom cllmmbrann, r oft slktv vd at d kun slppr gjnnom én ontyp. Strømmn gjnnom onkanaln avhngr dssutn oft på n nfløkt måt av, for ksmpl, mmbranpotnsal llr onkonsntrasjonr. Synaptsk nput fra andr cllr formdls va ddkrt onkanalr som åpns av bstmt sgnalmolkylr. I Hodgkn og Huxlys modll for aksjonspotnsalr aksonr (hos blkksprut) var tr onkanalstrømmr nkludrt: n natrumkanal, n kalumkanal og n lkkasjkanal som samlt opp andr bdrag. D fant at gnrrngn og forflytnngn av aksjonspotnsalr skyldts natrum- og kalumstrømmr md n særsklt spnnngs- og tdsavhngght [3]. I dn full nvronmodlln vl dt vær én lgnng av typn vst lgnng (1) for hvr dl, og lgnngssttt må løss numrsk for å fnn mmbranspnnngn ovr hl nvront. Dn matmatsk løsnngn r prnsplt gr, og ddkrt (og grats!) datasmulrngsvrktøy r utvklt for dtt, for ksmpl, NEURON[8] llr GENESIS[9]. Mr nformasjon om kompartmntal modllrng kan fnns [5,9,10,11]. 4. Fornkld nvronmodllr Slv om nvronrs dndrttstruktur kan rkonstrurs nøyaktg (jfr. fgur ), r dt svært vansklg å bstmm all modllparamtr n full kompartmntal modll (for ksmpl, tttht og romlg fordlng av ulk onkanalr). I prakss stts paramtr oft vd ducatd gussng og vd å justr dm slk at modllrngsrsultatn oppfatts som rmlg. Md mang justrbar modllparamtr kan n stå far for å kunn få bra samsvar md aktull ksprmntll målngr, slv om modlln bunn og grunn r fl. 4 s j
En bnyttr drfor også fornkld nvronmodllr som dn vlstudrt ntgratand-fr modlln [5]. I dnn modlln antas at mmbranpotnsalt r dt samm ovr hl dndrttstrukturn (slv forgrnd dndrttstrukturr kan oppfyll dtt hvs grnn kk r for tynn). Vdr brgns kk slv forløpt tl aksjonspotnsalt. I stdt brgns mmbranpotnsalt kun nntl dt passrr n forutbstmt trsklvrd for fyrng. Da rgstrrr n gansk nklt at nvront avfyrr t aksjonspotnsal på dtt tdspunktt, og mmbranpotnsalt stts tlbak tl utgangsvrdn (oft hvlpotnsalt, dvs. mmbranpotnsalt tl nvront når dt kk mottar synaptsk nput). Slv md dnn drastsk fornklngn r dt fortsatt vansklg å fnn analytsk matmatsk løsnngr. En må drfor som n hovdrgl ty tl numrsk smulrngr også hr, mn d krvr mndr datarssursr nn kompartmntal modllr. En trdj typ matmatsk modllr som bnytts my nttvrksbrgnngr, r såkalt fyrngsratmodllr [5]. Hr modllrs kun sannsynlghtn for at t nvron fyrr t aksjonspotnsal, som typsk varrr på n my saktr tdsskala nn varghtn av t aksjonspotnsal (~1 ms). En stor fordl md slk modllr r at d r formulrt som dffrnsal- llr ntgro-dffrnsallgnngr slk at vltablrt matmatsk analystknkkr kan nyttggjørs. I non tlfllr r hvrt nvron rprsntrt ndvdult modlln (s ksmpl avsntt 5), mn oft bnytts nvral fltmodllr hvor, for ksmpl, populasjonr (gruppr) av nvronr rprsntrs som t kontnurlg kstrbart mdum (s ksmpl avsntt 6). 5. Nttvrksmodllrng tdlg synsban 5.1 Oppbygnng av tdlg synsban Synssansn har stått sntralt studr av nrvsystmt. En vktg grunn kan vær at mnnskr r vsull skapnngr dn forstand at n stor dl av hjrnn r avsatt tl bhandlng av synsnntrykk, og at dt drfor r spslt ntrssant å prøv å forstå dnn sansn. En annn grunn r at dt r ksprmntlt og bgrpsmssg nklr å studr synsnrvsystmt nn nrvsystmr knyttt tl andr sansstmul (hørsl, lukt tc.). Når lys trffr øyt kstrs nrvcllr ntthnna på baksdn av øyt. Flr typr nvronr r nvolvrt sgnalprosssrngn ntthnna, mn utgangssgnalt som snds vdr rtnng hjrnbarkn går ut fra såkalt rtnal gangloncllr. Aksonn fra ganglonclln utgjør dn optsk nrv som ovrførr vsull nformasjon form av aksjonspotnsalr vdr tl n hjrndl kalt dorsal latral gnculat nuclus (dlgn) som gjn r n dl av thalamus. Thalamus r plassrt mdt nn hodt og har som n hovdfunksjon å formdl sansstmul fra dt ytr sanssystm tl hjrnbarkn. D såkalt rléclln dlgn mottar vsull sgnalr fra gangloncllr og sndr barbdt nformasjon vdr tl dn prmær vsull hjrnbark bakhodt. Fra prmær vsull hjrnbark snds så sgnalt vdr tl andr dlr av hjrnbarkn og ttr vdr prosssrng danns n ndr rprsntasjon av dn vsull omvrdnn. Bgrpt rsptorsk flt r kanskj dt vktgst bgrpt studr av synsnrvsystmt. Et nvrons rsptorsk flt rfrrr tl dt bgrnsd områdt av synsfltt som påvrkr aktvttn, dvs. fyrngn av aksjonspotnsalr, nvront. Vsull stmulrng av t områd nnnfor t nvrons rsptorsk flt kan vrk båd forstrknd (kstatorsk) og hmmnd (nhbtorsk) på aktvttn. For rtnal gangloncllr og rlécllr dlgn r d rsptorsk flt små srkulær områdr, og d framvsr såkalt sntr-prfr antagonsm. Dtt btyr at nvronr har størst rspons når n stmulrr md n srkulær lysflkk (på mørk bakgrunn) som akkurat dkkr dt såkalt rsptorsk fltsntrt. Blysnng av t områd rtt utnfor dtt fltsntrt vl drmot bdra tl dmpnng av rsponsn. Dt rsptorsk fltt kan drfor bskrvs som t tlnærmt srkulært kstatorsk områd omgtt av t rngformt nhbtorsk områd. Nvronr som 5
rspondrr på lysflkkr på dnn måtn kalls on-cllr. Off-cllr har motsatt rsponsgnskapr, dvs. at d får størst aktvtt for n mørk flkk omgtt av n lysbakgrunn. Dn antagonstsk sntr-prfr organsrngn gjør systmt bdr gnt tl å mål ndrngr lysntnstt nn tl å mål ntnsttn sg slv. I synshjrnbarkn har rsptorsk flt n mr komplks form, og n fnnr nvronr som rspondrr mst på avlang stmul og/llr stmul som bvgr sg. I ntthnna og dlgn dannr on- og off-clln to rmlg uavhngg nttvrk som hvr for sg dkkr hl synsfltt. I tllgg kan hvr av dss nvrontypn dls opp tr ulk klassr (kalt X, Y og W katt) ut fra drs fysologsk gnskapr. Dss nvronpopulasjonn syns også stor grad å vår dkoblt opp tl hjrnbarkn slk at n har sks rmlg uavhngg nttvrk som formdlr ulk typ nformasjon om dt vsull nput. Dnn nformasjonn bnds så sammn hjrnbarkn og gr oss n mntal rprsntasjon av hva v sr. Fgur 3: llustrasjon av DOG-modlln for bskrvls av rsptorsk flt for nvronr ntthnn og dlgn. VENSTRE: Eksmpl på rsptorsk-flt funksjon g(r) lgnng () hvor paramtrn A 1 =1, A =0.85, a 1 = 0.6 gradr og a = 1. gradr r valgt. HØYRE: Rspons for sntrrt srkulær flkk som funksjon av flkkdamtr for samm DOG-modll, lgnng (3). 5. Dskrptv modllrng av rsptorsk flt En rkk dskrptv modllr har bltt forslått for å bskrv rsptorsk flt tl nvronr ntthnna, dlgn og prmær synshjrnbark [5]. Et ksmpl r dffrnc-of-gaussans - modlln (DOG-modlln) som bskrvr dn srkulær sntr-prfr organsrngn av romlg rsptorsk flt for nvronr ntthnna og dlgn, g A π a A π a () r r a = 1 1 1 r a. () Hr r A 1 og A vktparamtr, og a 1 og a (a > a 1) bskrvr tlvarnd dt rsptorsk flts romlg utstrknng. Dnn rsptorsk-flt funksjonn g(r) bskrvr ndrng aktvtt (f.ks., antall aksjonspotnsalr avfyrt nnnfor t bstmt tdsvndu) t bstmt nvron når n ørltn tstflkk av lys vss possjon r synsfltt. Possjonn r=0 tlsvarr sntrpunktt nvronts rsptorsk flt. Synsfltt har to romlg dmnsjonr, og possjonsvktorn r r drfor todmnsjonal, r=[x,y]. DOG-modlln har mdlrtd srkulær symmtr, så rsponsn tl tstflkkn avhngr bar av dstansn r= r fra sntrpunktt. 6
Paramtrn DOG-modlln kan bstmms vd å tlpass formln lgnng () tl rsultatn fra t tstflkk-ksprmnt. Mn modlln vll hatt bgrnst ntrss hvs dn kun kunn bskrv rsponsn tl tt ksprmnt. Mang nvronr dt tdlg synssystm frmvsr mdlrtd lnær rsponsgnskapr, dvs. rsponsn tl andr vsull stmul kan fnns vd lnær summasjon ovr bdrag fra mang tnkt tstflkkr. For ksmpl kan rsponsn R(d) tl n srkulær lysflkk (kk nødvndgvs ltn) md damtr d fnns fra t nklt ntgral, d π * * d 4a1 d 4a R( d) = L g( r) dθ rdr = L ( A1 ( 1 ) A ( 1 )), (3) 0 0 hvor konstantn L * avhngr av flkkns lumnans. Tlsvarnd kan rsponsn tl all mulg stmul brgns når paramtrn A 1, A,, a 1 og a r kjnt. Et ksmpl på n DOG rsptorsk-flt funksjon md tlhørnd brgnt flkkrspons R(d) r vst fgur 3. En lggr mrk tl at flkkrsponskurvn har t maksmum for n damtr d max på rundt gradr. Dtt maksmum tlsvarr ovrgangn fra dt kstatorsk sntrområdt tl dn nhbtorsk prfrn, og d max tlsvarr drfor dt rsptorsk flts sntrdamtr. 5.3 Mkanstsk modllrng av rsptorsk-flt gnskapr dlgn I vår grupp vd UMB på Ås har v non år arbdt md matmatsk modllrng av sgnalprosssrngn dn tdlg synsban, md t særlg fokus på dlgn (s, for ksmpl, [1-14]). Arbdt har bltt gjort samarbd md dn ksprmntll gruppn tl Paul Hgglund vd Fysologsk nsttutt på Unvrsttt Oslo. Vårt mål r å utvkl mkanstsk modllr for hvordan rsponsgnskapr tl nvronr dlgn bstmms av gnskapn tl nrvclln krtsn og drs synaptsk forbndlsr. Et slkt prosjkt forutsttr n rlatvt dtaljrt ovrskt ovr d bologsk gnskapn tl bstanddln krtsn. Sammnlgnt md andr hjrndlr r dlgn-krtsn av bgrnst komplkstt, og arbd utført d sst tårn har sørgt for at krtsns oppbygnng r rmlg godt kjnt [15]. En skjmatsk ovrskt ovr krtsn r gtt fgur 4. Fgur 4: Skjmatsk llustrasjon av dlgn-krtsn. D nvolvrt nvrontypr r rtnal gangloncllr (g), dlgn rlécllr (r), dlgn ntrnvronr (), thalamsk rtkulær (TRN) nvronr (t), og nvronr prmær synshjrnbark (h). Ekstatorsk forbndlsr r vst som hltrukn lnjr, nhbtorsk forbndlsr som stpld. I tllgg mottar nvronn dlgn og TRN modulatorsk nput (prkkt lnj) fra n hjrndl kalt branstm rtcular formaton (BRF). Rléclln dlgn blr kstrt av rtnal gangloncllr. I tllgg får d nput fra nhbtorsk ntrnvronr, som gjn kstrs fra rtnal cllr. Vdr får rléclln 7
tlbakkobld nput fra nhbtorsk nvronr n hjrndl kalt thalamc rtcular nuclus (TRN). I tllgg r dt n massv tlbakkoblng fra nvronr hjrnbarkn tl rlécllr, ntrnvronr og TRN-nvronr. Dnn tlbakkoblngn vsr at dt tdlg synssystm r mr nn t passvt kamra; hjrnbarkn r slv md og bstmmr hvordan synsnformasjon skal samls nn. Som t ksmpl på nttvrksmodllrng dt tdlg synssystm vl jg hr bskrv non hovdtrkk t prosjkt hvor rsponsn tl dlgn rlécllr tl srkulær lys llr mørk flkkr bl modllrt md utgangspunkt ksprmntr utført Paul Hgglunds grupp [1]. Ruksnas, Fjld og Hgglund målt aksjonspotnsalr for X-typ rlécllr dlgn katt [16]. For slk nvronr kommr dt kstatorsk nput fra ntthnna stor grad fra n nkl gangloncll. Md n nkl lktrod plassrt utnfor rléclla kan n tllgg tl nvronts aksjonspotnsalr også mål såkalt S-potnsalr som har bltt vst å korrspondr tl t aksjonspotnsal hos nputnvront ntthnna. En har drfor båd t mål på nput tl og output fra dn aktull rléclla. Stmulusflkkn bl vst t halv skund, og vd å gjnta forsøkt mang gangr bl såkalt post-stmulus td hstogrammr (PSTHr) for målt aksjonspotnsalr og S- potnsalr rgstrrt (s fgur 5, vnstr). Fra dss målngn bl mdlr fyrngsrat (ssnslt mdlr antall aksjonspotnsalr) mns stmulus r på, brgnt, og dnn mdlr ratn bl brukt som mål på dn nvral aktvttn. Dtt forsøkt bl gjntatt for t stt av flkkdamtr, og t ksmpl på damtravhngghtn av rsponsn r vst tl høyr fgur 5. Hr obsrvrr n at båd rtnalt nput og output fra rléclla har t maksmum for hvr sn bstmt flkkdamtr, kvaltatvt samsvar md forutsglsn fra n DOG-modll (s fgur 3, høyr). En sr også at dtt maksmumt nntrffr for n ltt mndr damtr for outputkurvn (rlécll-rsponsn) nn for nputkurvn (gangloncllrsponsn). Vdr sr n at rsponsn for vldg stor flkkdamtr rlatvt stt r mndr for rlécllrsponsn, dvs. stor såkalt sntr-prfr antagonsm. Dss obsrvasjonn var gjnnomgånd for d X-clln som bl studrt. Fgur 5: Eksmplrsultatr for X rlécll dlgn fra Ruksnas t al. [16]. VENSTRE: Post-stmulus td hstogram (PSTH) for flkkdamtr d=1.6 gradr for rtnalt nput (S-potntalr, ovr) og rlécll-aksjonspotnsalr (undr). PSTHn som r funnt vd å mdl rsultatr fra mang rptsjonr av stmul, gr t mål på dn tdsavhngg fyrngsratn (aksjonspotnsalr/skund). Dn horsontal strkn vsr tdn stmult r på (0.5 skundr). HØYRE: Mdlr fyrngsrat, funnt vd tdsmdlng av PSTHr av typn vst tl vnstr, for t stt av ulk flkkdamtr. Ufylt srklr tlsvarr rtnalt nput, fylt srklr tlsvarr rlécll-aksjonspotnsalr. D hltrukn kurvn vsr bst tlpasnng tl bskrvt matmatsk modll [1]. Målt for modllrngsprosjktt var å fnn ut om dnn ndrngn mllom nput og output kunn forstås utfra kunnskap om dlgn-krtsn. 8
For små srkulær flkkr r rsponsn tl TRN-nvronr og hjrnbarknvronr bgrnst. Md utgangspunkt også annn kunnskap om systmt fokusrt v drfor på n nkl forovrkoblt krts hvor n rlécll mottar () kstatorsk nput fra én rtnal gangloncll og () nhbsjon fra t ntrnvron som gjn drvs av kstatorsk nput fra n grupp (~5) av rtnal gangloncllr. Dnn gruppn nnbfattr ganglonclln som drvr rléclln drkt og dts omlggnd nærmst nabor som modlln r antatt å lgg samm avstand r a fra sntrnvront (s fgur 6). Fgur 6: Illustrasjon av synaptsk koblngsmønstr antatt matmatsk modll. VENSTRE: I modlln antas tt kstatorsk nput tl rléclla (r) og ( dtt tlfll) 5 nput tl tt nklt ntrnuron () som gjn gr nput tl rléclla. HØYRE: Illustrasjon av romlg fordlng av rsptorsk-flt sntr for d 5 ganglonclln som gr nput tl ntrnvront. Ganglonclla mdtn gr tllgg drkt kstatorsk nput tl rléclla. I dn nkl modlln antas at mdlr fyrngsrat for rléclla R r (d) ssnslt r n drkt funksjon av dn vktd dffransn mllom kstatorsk og nhbtorsk nput, dvs. ( B R ( d;0) B R ( d; r )) Rr ( d) = P 1 g g a, (4) hvor B 1 r ntto vkt (kstasjon mnus nhbsjon) fra dn sntrrt ganglonclla, mns B r dn total nhbtorsk vktn pga. d omkrnglggnd ganglonclln. R g (d;0) r rsponsn tl dn sntral ganglonclla tl n flkk md damtr d, som v antar r gtt vd uttrykkt for dn dskrptv DOG-modlln lgnng (3). R g (d; r a ) r rsponsn tl naboganglonclln som v antar har samm rsptorsk-flt funksjon gtt lgnng (), dvs. samm DOG-modll. Mn sdn dt srkulær stmult kk r sntrrt om drs rsptorsk flt vl damtravhngghtn tl rsponsn vær annrlds. Intgralt lgnng (3) må gjørs på nytt, og R g (d; r a ) fnns tl å vær gtt av n undlg sum av såkalt nkompltt gammafunksjonr [1]. For å unngå ufyssk ngatv fyrngsratr modlln r lkrttrfunksjonn P(x) nnført konvrtrngn fra ntto nput tl rléclla tl dts fyrngsrat, dvs. P(x)=x θ(x) hvor θ(x) r Havsds stp-funksjon gtt av θ(x<0)=0, θ(x>0)=1. I [1] tlpasst v først t DOG-modll uttrykk for R g (d;0) (analogt tl lgnng (3)) tl dn ksprmntlt obsrvrt rsponskurvn for rtnal nput tl høyr fgur 5. Md d rtnal DOG-paramtrn bstmt, kunn v drttr bruk lgnng (4) tl å tlpass d tr gjnværnd paramtrn B 1, B og r a md rlécllrsponsn tl høyr fgur 5. Som obsrvrt fgur 5 kunn d matmatsk modlln tlpasss ksmpldatan for båd rtnalt nput og rlécllrsponsn. Tlsvarnd fant v at modlln kunn tlpasss data fra 1 andr tlsvarnd målngr på X-cllr. Mn md såpass mang modll-paramtr btyr kk n vllykkt kurvtlpasnng nødvndgvs at modlln gjnsplr vrklghtn. Imdlrtd rsultrt også modllrngn konkrt forutsglsr som v kunn tst mot andr ksprmntr. V fant for ksmpl at modllprdksjonn for avstandn mllom nabogangloncllr r a og størrlsn på sntrområdt tl 9
ntrnvronrs rsptorsk flt var kompatbl md ksprmntll rsultatr fra lttraturn [1]. Uanstt llustrrr modllrngsprosjktt ovr dt gnrll problmt vd mkanstsk modllrng av nttvrksoppførsl: Antallt utgangspunktt ukjnt modllparamtr r oft stort forhold tl mngdn av tlgjnglg ksprmntll data å sammnlgn md. Fra t modllrngsprspktv vll n drfor ønsk data fra flst mulg ulk ksprmntr utført på samm systm. Falsfsrng av modllr av typn bskrvt ovr vll bl vsntlg lttr md lang målsrr fra n og samm rlécll hvor t stt av ulk vsull stmul (små og stor flkkr md ulk lumnans og possjon, gtr, rngr tc.) bl prsntrt. I modlln ovr btrakts kun romlg gnskapr tl rlécllrs rsptorsk flt, mn d tmporal gnskapn r vl så vktg og ntrssant. Matmatsk bskrvlsr for rom-td rsptorsk flt har drfor også bltt utvklt [5,13]. Fyrngsratmodllr har lkvl sn bgrnsnngr. For ksmpl, kan n rlécll vss stuasjonr gnrr n såkalt burst av aksjonspotnsalr, dvs. n grupp av ttt påfølgnd aksjonspotnsalr. En mr dtaljrt nvronmodll r nødvndg for å nkludr dnn ffktn nttvrksstudr. På UMB på Ås r v drfor også gang md mtodsk stt mr omfattnd smulrngr av dn tdlg synsban hvor hvrt nvron bskrvs md n ntgrat-and-fr-or-burst -dynamkk [14] (n gnralsrng av ntgrat-and-fr - modlln nvnt avsntt 4.). Modllrsultatn r hr ksplstt tdsrkkr for avfyrng av aksjonspotnsalr, og kk kun fyrngsratr (llr mdlr fyrngsratr som ovr). En smulrng av hl dlgn-krtsn for n dl av synsfltt vl nkludr tusnvs av modllnvronr, og mn kollga Hans E. Plssr vd UMB r md og utvklr dt gnrll nttvrkssmulrngsprogrammt NEST [17] som bnytts for ffktv mplmntrng av modlln. 6. Modllrng av populasjonr av nrvcllr hjrnbarkn Dn nkl nttvrksmodlln bskrvt ovr rlatrr nrvcllrs rspons tl ytr stmul, dtt tlfll synsstmul. My av nttvrksmodllrngn som har vært gjort httl har vært knyttt tl stmulusdrvn rsponsr, mn hjrnbarkn r mstpartn av hjrnaktvttn trolg gnrrt ntrnt. Et kjnt ksmpl r obsrvasjonn av vdvarnd fyrngsaktvtt (ovr mang skundr) nvronr prfrontal hjrnbark knyttt tl korttdsmnn [18]. Som t ksmpl på modllrng av ntrnt gnrrt aktvtt har v nylg studrt n topopulasjonsmodll hvor n kstatorsk og n nhbtorsk populasjon av nvronr (for ksmpl lokalsrt samm lag n dl av hjrnbarkn) vkslvrkr, og undrsøkt mulghtn for stabl romlg lokalsrt pulsr ( haugr ) av aktvtt [19]. I modlln antas t ndmnsjonalt kontnuum av nvronr, u t u τ t = u = u + + ω ( x x') P( u ( x', t) θ ) dx' ω ( x x') P( u ( x', t) θ ) dx', ω ( x x' ) P( u ( x', t) θ ) dx' ω ( x x') P( u ( x', t) θ ) dx' (5) Hr rprsntrr u (x,t) og u (x,t) potnsalt cllkroppn tl hnholdvs t kstatorsk og t nhbtorsk nvron possjonn x, ω nm (x) r d romlg synaptsk koblngsfunksjonn mllom populasjonn (hr antatt Gausssk), P(x) (hr antatt som Havsds stpfunksjon) gr fyrngsratn ut fra potnsalt, θ n r trsklvrdr for fyrng og τ r tdskonstantn for nhbsjon (målt rlatvt tl tdskonstantn for kstasjon). Mrk at dt kk r no kstrnt nput modlln, populasjonn drvr kun sg slv og hvrandr. 10
Sdn P(x) r modllrt som n Havsd stp-funksjon, r modlln høyst kklnær, og dn matmatsk analysn mr komplsrt nn for rlécllmodlln forrg avsntt. V går kk nn dtaljr hr, mn [19] fant v at modlln kunn undrstøtt stabl lokalsrt pulsr (dvs. passnd par av pulsr av kstatorsk og nhbtorsk aktvtt) for t vdt paramtrområd. Vdr fant v at dn nhbtorsk tdskonstantn τ kunn kontrollr stablttn tl pulsn. Pulsr som var stabl for små llr modrat vrdr av τ, kunn bgynn å oscllr når n økt τ forb n krtsk vrd (vd n såkalt Hopf-bfurkasjon). Vd yttrlgr øknng av τ fant n at pulsn kollapst fullstndg. En konklusjon fra studt var at vdvarnd stabl aktvtt (for ksmpl knyttt tl korttdsmnn) kan forklars vd n slk nkl modll, mn dtt r slvfølglg kk no bvs for at dnn mkansmn bnytts av hjrnn. 7. Sluttord Modllstudr av bologsk nvral nttvrk r startfasn. Mns n, spslt for dt tdlg synssystm, har hatt n vss suksss md å bskrv stmulusdrvn rsponsr md fyrngsratmodllr (ks. avsntt 5), har modllrngn av sammnkobld nvronpopulasjonr hjrnbarkn stort stt bgrnst sg tl kvaltatv undrsøklsr av hvlk fnomnr fornkld modllr kan frmvs (stabl pulsr, vandrnd bølgr og frontr, oscllatorsk aktvtt, tc.). Forbdrd ksprmntll tknkkr bdrar mdlrtd tl avdkkng av stadg flr dtaljr om hjrnns oppbygnng, og grunnlagt for utvklng av mr bolognær modllr for hjrnbarkn blr drfor bdr. Dtt kombnrt md stadg kraftgr datamasknr forvnts drfor å før tl n stor forsknngsaktvtt på områdt årn som kommr. En annn utfordrng r å rlatr rsultatr fra nttvrksmodllr tl ksprmntr. Dn tradsjonll nvrofysologsk mtodn md å mål aksjonspotnsalr vd hjlp av n skarp lktrod plassrt llr rtt utnfor cllkroppn, har gtt my kunnskap om nkltnvronrs oppførsl. Mn hjrnbarkn kan nformasjonn syns å vær kodt populasjonsaktvtt og kk nkltnvronr som typsk har t svært varablt og støyfullt fyrngsmønstr. Dvrs mtodr basrt på ulk fyssk prnsppr (optsk, lktrsk, magntsk) r utvklt for å studr hjrnaktvtt på populasjonsnvå ( 1mm) og systmnvå. Dss mtodn målr ulk aspktr av nvral aktvtt. For ksmpl syns d lktrsk potnsaln som måls på hodts ovrflat EEG å vær rlatrt tl lktrsk strømmr ovr dndrttrs cllmmbran som følg av synaptsk nput, og kk dn drkt fyrngn av aksjonspotnsalr. For å modllr bdrag tl EEG fra n populasjon av nrvcllr må n drfor bnytt full kompartmntal modllr (slv om n nklr modll skull vær tlstrkklg for modllr fyrngsmønstr av aksjonspotnsalr). For lktrsk og magntsk målmtodr (for ksmpl, EEG og MEG) r koblngn mot dn undrlggnd nvral aktvtt prnspp gr, mns dn tlsvarnd koblngn for hmodynamsk (ks. fmri) llr mtabolsk (ks. PET) målmtodr pr dag r mndr klar. Alt alt r dt my å ta fatt. Rfransr [1] W. Balk og D. Botstn, Introductory scnc and mathmatcs ducaton for 1 st -cntury bologsts. Scnc 303, 788-90 (004). [] G.T. Envoll, Fyskkfagt vårt århundr. Dbattartkkl om undrvsnng av fyskk vdrgånd skol. Trykkt Fra Fyskkns Vrdn, Nr.3, 75-6 (00). Kan lasts nd fra http://arkn.umb.no/~gaut/samfunn/ffv-nvoll.pdf. [3] A.L. Hodgkn og A.F. Huxly, A quanttatv dscrpton of mmbran currnt and ts applcaton to conducton and xctaton n nrv. Journal of Physology 117, 500-44 (195) 11
[4] Informasjon om forsknngsaktvttn nnn brgnngsorntrt nvrovtnskap vd UMB på Ås kan fnns på http://arkn.umb.no/~compnuro. [5] P. Dayan og L.F. Abbott, Thortcal Nuroscnc. MIT Prss, Cambrdg, 001. [6] G.T. Envoll, Mathmatcal modlng n th arly vsual systm: Why and how? Modulaton of Nuronal Sgnalng: Implcatons for Actv Vson, Vol. 334 n NATO Scnc Srs: Lf and Bhavoural Scncs, G.T. Buracas t al (rd.), pp. 135--164, IOS Prss, Amstrdam, 003. Kan lasts nd fra http://arkn.umb.no/~gaut/forsknng/nvoll_nato_003.pdf. [7] Z.F. Mann og T.J. Sjnowsk, Influnc of dndrtc structur on frng pattrn n modl nocortcal nurons. Natur 38, 363-6 (1996). Nvron lastt nd fra http://www.cnl.salk.du/~zach/patdmo.html. [8] http://www.nuron.yal.du/ [9] J.M Bowr og D. Bman (rd.), Th Book of Gnss (3. utgav), Sprngr, Nw York, 1998. [10] C. Koch og I. Sgv (rd.), Mthods n Nural Modlng (. utgav), MIT Prss, Cambrdg, 1998. [11] E. D Schuttr (rd.), Computatonal Nuroscnc: Ralstc Modllng for Exprmntalsts. CRC Prss, Boca Raton, Florda, 000. [1] G.T. Envoll og P. Hgglund, Mathmatcal modls for th spatal rcptv-fld organzaton of nonlaggd X clls n dorsal latral gnculat nuclus of cat. Vsual Nuroscnc 17, 871-86 (000). [13] G.T. Envoll og H.E. Plssr, Lnar mchanstc modls for th dorsal latral gnculat nuclus of cat probd usng drftng-gratng stmul. Ntwork: Comput. Nural Systms 13, 503-30 (00). [14] H.E. Plssr, G.T. Envoll og P. Hgglund, Mchanstc modlng of th rtnognculat crcut n cat. Nurocomputng 44-46, 973-978 (00). [15] S.M. Shrman og R.W. Gullry, Explorng th Thalamus, Acadmc. Nw York, 001. [16] O. Ruksnas, I.T. Fjld og P. Hgglund, Spatal summaton and cntr-surround anatgonsm n th rcptv fld of sngl unts n th dorsal latral gnculat of cat. Comparson wth rtnal nput. Vsual Nuroscnc 17, 855-70 (000). [17] http://www.nst-ntatv.org/ [18] X.J. Wang, Synaptc rvrbaton undrlyng mnmonc prsstnt actvty. Trnds n Nuroscnc 4, 455-63 (001). [19] P. Blomqust, J. Wyllr og G.T. Envoll, Localzd actvty pattrns n two-populaton nuronal ntworks. Physca D (005). 1