Ekstranotat, februar 205 Enkel matematikk for økonomer Innhold Enkel matematikk for økonomer... Parenteser, brøk og potenser... Funksjoner...4 Tilvekstform (differensialregning)...5 Nyttige tilnærminger...8 70-regelen... 0 Naturlige logaritmer... 0 Telleregelen... Den deriverte... 3 Noen derivasjonsregler... 4 Elastisitet... 4 Parenteser, brøk og potenser ) Vi kan sette en felles faktor utenfor en parentes: Y ty = Y(-t) der det siste uttrykket betyr Y multiplisert med parentesen (-t) (Det er vanlig å sløyfe multiplikasjonstegn foran parenteser og foran symboler, der det ikke kan misforståes.) 2) Multiplikasjon av et tall med en parentes foregår ved å multiplisere tallet med alle leddene i parentesen, slik at 4( - y) = 4-4y og c(-t) = c + ct 3) Tall i telleren i en brøk kan settes foran eller bak brøken: Notatet er under bearbeidelse, og kommentarer er velkomne til steinar.holden@econ.uio.no
c = c = c c c c 4) Minustegn kan flyttes fra telleren til foran brøken c 5c 5c ( 5) = = c c c 5) Dersom vi har en ligning, er det lov å gjøre samme operasjoner på begge sider at likhetstegnet, f.eks. trekke fra et tall, eller dele på et tall. Anta vi skal løse følgende ligning for Y: Y = z + cy Vi kan trekke fra cy på begge sider, slik at vi får Y cy = z +cy cy = z, dvs Y cy = z Vi kan sette Y utenfor en parentes: Y cy = Y(-c), slik at vi får Y(-c) = z og dele på uttrykket i parentesen (antar at -c er forskjellig fra null) c z Y = c c z Y = Her er brøken (-c)/(-c) =, slik at løsningen for Y blir c 6) Dersom vi skal legge sammen en brøk og et helt tall, eller to brøker, må de settes på felles brøkstrek 3 3 + 4 + = + = = 3 3 3 3 3 Tilsvarende regneregler gjelder selvfølgelig med symboler. 2
3 3+ 4 z + z = z + z = z = z 3 3 3 3 3 Av og til må vi utvide 3 2 3 2 5 + = + = + = 2 3 2 3 2 3 6 6 6 Tilsvarende med symboler b a b + a z + z = + z = + z = z a b a b ab ba ab Potenser vil si at et tall, grunntallet, multipliseres med seg selv flere ganger. F.eks. 2 3 = 2 2 2, og n =., dvs. multiplisert med seg selv n ganger. Noen nyttige regneregler for potenser: Eksempler n m = n+m, 2 4 = (2 2) (2 2 2 2)= 2+4 = 6 (gjelder også for n, m < ) /3 2/3 /3+ 2/3 = = = n m = n m 4 2 n m = = = 2 n = n = ( n ) m = nm ( 2 ) 3 = ( )( )( ) = 6 n k m = y y nk mk 5 2 5 2 0 3 3 3 = = 2 2 2 3 3 2 6 0 = 3
Funksjoner Funksjoner er et matematisk begrep som beskriver hvordan et tall avhenger av et eller flere andre tall. F.eks. er den prisen du må betale i kassen en funksjon av hvilke varer du kjøper, og prisen på hver av disse varene. Et annet eksempel er at ditt konsum av sjokolade og andre godsaker kan være en funksjon av hvor mye penger du har i lommeboka. Med symboler kan være kjøp av godsaker målt i kroner og Y antall kroner i lommeboka. At er en funksjon av Y, kan vi skrive som = f(y). Her har vi brukt kalt funksjonen for f(.), men vi kunne også brukte stor bokstav eller andre bokstaver for å betegne funksjonen. At er en funksjon av Y, betyr at hvor stor er, avhenger av hvor stor Y er. Hvis du f.eks. har svak viljestyrke og alltid bruker det du har, blir konsumet av godsaker målt i kroner lik antall kroner du har i lommeboka. Da blir funksjonen enkel, ved at = Y. Vi kaller den variablen som vi finner verdien på, i dette tilfellet, som funksjonsverdien eller den avhengige variablen, mens Y i dette tilfellet er argumentet til funksjonen, eller den uavhengig variablen. Produktfunksjonen viser hvor stor produksjonen er, avhengig av hvor mye som brukes av de ulike produksjonsfaktorene. F.eks. kan vi ha en produktfunksjon for vafler, der antall vafler er en funksjon av arbeidsinnsatsen, egg, melk, mel, sukker, osv. En slik produktfunksjon kan nok være vanskelig å beskrive matematisk, og økonomer velger gjerne funksjonsformer som er enkle å regne på, samtidig som beskriver de relevante sammenhengene på en akseptabel måte. Produktfunksjonen Y = F( K, N) + + sier at produksjonen Y avhenger av hvor mye vi bruker av hhv realkapital K og arbeidskraft N. Vi bruker pluss-tegnene under argumentene for å indikere at vi antar at hvis K eller N øker, vil Y også øke. Et eksempel på en spesifikk produktfunksjon som viser presist hvordan Y avhenger av K og N, er /3 2/3 Y = K N Hvis du bruker en kalkulator eller et regneark, kan du enkelt regne ut hva Y er, avhengig av hvilke verdier du velger for K og N. 4
Tilvekstform (differensialregning) Ofte er vi interessert i å se på virkningen på noen variable av at en eller flere andre variable endres. Da bruker vi gjerne den greske bokstaven (delta) for endringen, slik at y betyr endringen i y. Anta at vi har en lineær funksjon y = 5 Dersom = 2, finner vi y = 5 2 = 0. Hvis øker til 4, dvs endringen i blir = 4 2 = 2, så øker y til y = 5 4=20. Økningen i y, y = 20 0 = 0. Her finnes det en generell regneregel, som i vårt tilfelle sier at y = 5. Mer generelt har vi Regel for tilvekstform: Hvis y er en lineær funksjon av (a og b er konstante parametre) y = a + b, så er y = a. Parameteren b forsvinner, fordi den økes jo ikke selv om øker. Eksempel Anta at Y er en funksjon av variablene I og G, mens c og z er parametere Y = (z + I + G ) c Vi antar at c er et fast tall som er mindre enn en (c < ), slik at brøken /(-c) er større enn null. Vi ser på en endring i I, som vi kaller I, mens G og parameterne holdes uendret. Da blir endringen i Y, Y, gitt ved Y = I c Hvis f.eks. c = 0,5 og I = 0, så er Y = 0 = 0 = 2 0 = 20 0,5 0,5 Brøken foran I svarer til parameteren a i formelen over, mens de andre variablene og parametrene i parentesen svarer til parameteren b. Siden brøken er positiv, har vi at hvis I > 5
0, så blir Y > 0, dvs at Y øker hvis I øker. Hvis vi derimot hadde I < 0, så blir Y < 0, dvs Y reduseres hvis I reduseres. Dersom vi endrer to variable, både I og G, med I og G, mens parameterne holdes konstante, da blir endringen i Y gitt ved Y = ( I + G). c Her vil Y øke, Y > 0, hvis summen av endringene i I og G er større enn null, I + G > 0. Motsatt vil Y reduseres dersom summen av endringene i I og G er mindre enn null, dvs Y < 0 hvis I + G < 0. Regel 2 for tilvekstform: Hvis y er en lineær funksjon av og z (a, b og c er konstante parametre) y = a + bz + c, så er y = a + b z. Eksempel 2 I Keynes-modellen som presenteres i forelesningsnotat 5, er likevektsløsningen for Y gitt ved Y = (z c t c r + z b r + G) I () 0 2 2 c ( t) b og konsumfunksjonen kan skrives som = z + c ( t) Y c t c r (2) 0 2 Anta at vi skal finne virkningen av en økning i konstantleddet i konsum, dvs z > 0 på konsumet. Vi ser av () at dersom z øker, så vil det føre til at Y øker. Videre ser vi av (2) at en økning i z vil føre til økt, samtidig som en økning i Y også vil føre til økt. Virkningen av økt z på vil være summen av den direkte virkningen av z og den indirekte virkningen via Y. Vi finner først virkningen av z på Y (3) Y = z 0, c ( t) b > Vi vet at høyresiden er større enn null, siden både brøken /(-c (-t)-b ) er større enn null og z er større enn null. Økt z fører dermed til at Y øker. 6
Endringen i når både z og Y øker finner vi ved å bruke regel 2 for tilsvekstform (4) = z + c ( ) t Y Vi setter inn for Y ved å bruke (3) i (4) og får (5) = z + c ( t) Y c ( t) c ( t) b = + z c ( t) b c ( t) c ( t) b c ( t) b = z + z c ( t) b + c ( t) c ( t) b = z b c ( t) b = z > z > z 0 c( t) b I andre linje settes inn for Y. I tredje linje bruker vi at z = z c ( t) b. I fjerde linje setter vi på felles brøkstrek. I femte linje faller c (-t) mot +c (-t), og siden telleren er større enn nevner i siste uttrykket, vet vi at uttrykket må være større enn z. Økningen i er større enn den direkte økningen i z fordi Y også øker, noe som har positiv virkning på. 7
Nyttige tilnærminger I mange sammenhenger kan det være vanskelig eller tungvint å regne ut et helt korrekt svar, og mye lettere å regne ut et svar som er tilnærmet riktig. Her er noen tommelfingerregler som vanligvis gir bra tilnærminger så lenge vi ser på små tall, gjerne endringer på 0 prosent eller mindre av utgangspunktet. Resultat : Hvis X og Y er små tall, så er (+X)(+Y) ( + X + Y) Hvis du ganger ut venstresiden, får du det eksakte svaret som er + X + Y + XY. Men hvis både X og Y er små tall, vil X multiplisert med Y bli et mye mindre tall, som vi som en tilnærmelse kan sette til 0. Hvis f.eks. X = 0,05 og Y = 0,03, er det eksakte svaret (+0,05)(,0,03)=,085 og det tilnærmede svaret (+0,05+0,03) =,08, så feilen vi gjør i tilnærmingen er lik 0,005. Resultat 2: Hvis X og Y er små tall, er + X + Y + X Y Vi har at produktet (+X-Y)(+Y) = +X + XY-Y 2. Hvis både X og Y er små tall, så er produktene XY og Y 2 veldig små, dvs. tilnærmet lik null. Dermed er (+X-Y)(+Y) +X. Dersom vi deler på begge sider med +Y, og forkorter +Y på venstresiden, får vi ( + X Y )( + Y ) + X + Y + Y + X + X Y + Y som er det resultatet vi skulle vise. En viktig anvendelse av dette resultatet gjelder realrenten, der den eksakte størrelsen (+i)/(+π) +i-π. Resultat 3: Hvis Z = XY, så er Z X Y +, Z X Y dvs. at relativ endring i et produkt Z er tilnærmet lik summen av den relative endringen i hver av faktoren X og Y. Hvis vi øker Z med Z, er det eksakte svaret at Z + Z = ( X + X )( Y + Y ). Hvis vi deler med Z på begge sider blir venstresiden lik 8
Z + Z Z = + Z Z Og høyresiden blir ( X + X )( Y + Y ) ( X + X ) ( Y + Y) X Y X Y = = + + + + Z X Y X Y X Y der den første likheten følger fra at Z = XY, den andre likheten er omskriving av hver av brøkene, og den tredje tilnærmingen følger fra resultat ovenfor. Resultat 4: Hvis Z = X/Y, så er Z X Y, Z X Y dvs. at relativ endring av en brøk Z er tilnærmet lik differansen mellom relativ endring i telleren X minus relativ endring nevneren Y. Fra definisjonen av Z har vi at Z + Z = X + X Y + Y. Hvis vi deler med Z på begge sider av likhetstegnet, blir venstresiden lik Z + Z Z = + Z Z Og høyresiden blir X + X X + X Y ( X + X ) / X + X / X X = = = + Y Y + Y Z Y + Y X ( Y + Y) / Y + Y / Y X Y der vi i siste del har brukt tilnærmingen fra resultat 2. Vi setter venstre- og høyresiden sammen, og får Z X Y + + Z X Y Z X Y Z X Y 9
70-regelen Det vi kan kalle 70-regelen, er en nyttig huskeregel i forbindelse med prosentvis tilvekst. Et beløp som vokser med prosent per år, blir dobbelt så stort etter 70/ år. Dersom beløpet vokser med prosent i året (= ), blir det dobbelt så stort på 70 år. Hvis det vokser med 3,5 prosent i året, blir det dobbelt så stort på 70/3,5 = 20 år. Regelen innebærer en tilnærming som stemmer svært godt ved lave prosenter, og mindre godt ved høye prosenter. Naturlige logaritmer Den naturlige logaritme er en spesiell funksjon som har matematiske egenskaper som er meget nyttige i mange anvendelser, bl.a. innen økonomi. Vi bruker betegnelsen ln, slik at = ln X betyr at er den naturlige logaritmen til X. ( I økonomi bruker en ofte liten bokstav for å betegne den naturlige logaritmen til en variabel. Merk også at i engelskspråklige bøker er det vanlig å bruke betegnelsen log for den naturlige logaritmen.) Hvis = F(X) = ln X, så har vi som en tilnærming at X/X. Dette betyr at endringen i den naturlige logaritmen,, er tilnærmet lik relativ endring X/X, som igjen er lik prosentvis endring dersom vi multipliserer med 00. En nyttig konsekvens av dette er at hvis vi har en variabel som vokser med en fast prosentsats, dvs. en konstant prosentvis økning, så vil den naturlige logaritmen til denne variabelen vokse lineært. Hvis f.eks. folketallet i et land vokser med 2 prosent i året, vil en graf som viser folketallet bli brattere og brattere etter hvert som tiden går, mens den naturlige logaritmen til folketallet vil være en rett linje. Dette blir illustrert i figur, der X vokser med 2 prosent i hver periode. Den blå stiplete linjen viser X, mens den røde linjen viser ln X. Vi ser at X vokser stadig raskere, men logaritmen til X blir en rett linje. Figur : Naturlig logaritme 40 35 30 X 25 20 5 0 5 ln X 0 7 3 9 25 3 37 43 49 55 6 67 73 79 85 9 97 03 09 5 2 27 33 39 45 0
Telleregelen En økonomisk modell består gjerne av flere ligninger og flere variable. Variablene i modellen deler vi inn i endogene og eksogene variable. De endogene variable er de variable som vi bruker modellen til å regne ut verdien på. De eksogene variable er de variable som får sin verdi gitt utenfor modellen. Det betyr at dersom vi skal regne ut hva de endogene variablene blir, med tall, så må vi vite på forhånd hvilke verdier de eksogene variablene har. Telleregelen sier at en modell kan bestemme verdien på like mange variable som det er uavhengige ligninger, slik at vi kan ha like mange endogene variable som det er uavhengige ligninger. Merk imidlertid at eksempel 4 viser tilfeller der telleregelen ikke gjelder. Eks. Like mange variable som ligninger gir determinert modell: Modellen Y= 2 X + Y = 4 har to ligninger, og vi kan finne verdien til de to variablene X og Y: X = 2 og Y = 2. Eks 2 Flere variable enn ligninger gir ikke determinert modell: Modellen Y + Z = 2 X + Y + Z = 4 har to ligninger og tre variable, og dersom vi ikke har mer informasjon, kan vi ikke finne verdien på noen av variablene. Men dersom vi i tillegg får vite verdien på en av variablene, f.eks. Z = 0, som egentlig innebærer at vi får en ligning til, og dermed har like mange ligninger som variable, da kan vi regne ut X og Y (og får X = Y = 2).
Eks 3 Flere ligninger enn variable gir inkonsistent modell Modellen X + Y = 2 X + 2Y = 4 2X 2Y = 0 er inkonsistent det finnes ikke verdier for og y som gjør at alle ligningene er oppfylt. Eks 4 Telleregelen gjelder ikke ved lineært avhengige ligninger I telleregelen over har vi oppgitt at ligningene må være uavhengige, noe som litt løst innebærer at de må gi informasjon som ikke allerede er innebygget i de andre ligningene I modellen Y + X = 2 2Y + 2X = 4 er det ikke mulig å finne verdiene for og y, til tross for at det er to ligninger og to variable (f.eks. er Y = 2 og X = 0 en mulig løsning, mens Y = -2 og X = 4 er en annen mulig løsning). De to ligningene er lineært avhengige, og inneholder den samme informasjon. 2
Den deriverte En viktig egenskap ved en funksjon Y = F(X) er hvordan funksjonsverdien Y avhenger av en økning i argumentet X. Et matematisk begrep for dette er den deriverte, som sier hvor mye Y øker dersom X øker «veldig lite». I figur 2 viser kurven hvordan Y avhenger av X, og stigningen på kurven viser dermed hvor mye Y øker ved en liten økning i X. Anta at vi starter fra punktet X 0, som har den tilhørende Y-verdien Y = F(X 0 ). Så øker vi X med X, dvs. slik at det blir X 0 + X. Y øker dermed fra F(X 0 ) til F(X 0 + X). Vi er interessert i forholdet mellom økningen i Y og økningen i X når X øker svært lite, dvs. hva brøken F(X 0 + X ) F(X 0) blir når X nærmer seg null. Av figuren kan du med litt godvilje X akseptere at dette forholdet blir lik helningen på tangenten til kurven, dvs. helningen på den rette linjen som går gjennom punktet (X 0, F(X 0 )), og som har samme stigningstall som kurven i dette punktet. Helningen til denne kurven er den deriverte til funksjonen, og den viser dermed hvor mye Y øker dersom X øker svært lite. Vi bruker F (X) som betegnelse på den deriverte av funksjonen F(.). Figur 2 Den deriverte. Y=F(X) F(X 0 + X) Tangent med stigningstall F (X 0 ) F(X) F(X 0 ) X 0 X 0 + X X Figurtekst. Den deriverte til en funksjon i et punkt X 0, med betegnelse F (X 0 ), er lik helningen eller stigningstallet til tangenten i punktet X 0. Helningen er lik forholdet mellom økningen i Y og økningen i X, når økningen i X, X, går mot null. 3
Det økonomiske begrepet er grenseproduktiviteten eller marginalproduktiviteten 2. En praktisk tilnærming er at den deriverte er lik økningen i Y hvis X øker med en enhet. Noen derivasjonsregler y er en funksjon av, y = f(). Vi bruker y =f () som betegnelse på den deriverte Eksempel/kommentar y = c (c er en konstant) => y = 0 y = 5 => y = 0 y = a => y = a y = 3 => y = 3 y = a => y = a a- y = 3 => y = 3y 3- = 3y 2 y = / = - => y = - -- = - 2 = -/( 2 ) (husk at -n = / n ) y = e => y = e (eksponsialfunksjonen, der e = 2,7828.) y = ln => y = / (ln står for naturlig logaritme ) y = a => y = a ln a, a > 0. Produktet av to funksjoner: y = f()g() => y = f ()g() + f()g () Eksempel: y = 5 ln her er f() = 5, og g() = ln, slik at f () = 5, g () = / Kjerneregelen: y = 5 ln + 5 / = 5ln +5 y = f(g()) => y = f (g()) g () Eksempel: y = e 2 her er f(g()) = e g() og g() = 2. => f (g()) = e (g() = e 2 2 og g ()= 2 => y =e 2 2=2e Elastisitet Ikke skrevet ennå 2 Marginal betyr svært liten, og «grense» henspiller også på at man ser på en økning i K som er så «liten som mulig». 4