Geometri R, Prøve løsning Del Tid: 90 min Hjelpemidler: Skrivesaker Oppgave Gitt punktene A,, B 0, og D,6 a) Bestem koordinatene til AB og lengden til AB AB 0, 8, AB 8 68 7 A, B og D er hjørner i parallellogrammet ABCD b) Bestem koordinatene til C OC OD DC OD AB,6 8, 9,8 Koordinatene til C 9,8 c) Undersøk ved regning om parallellogrammet ABCD er et rektangel Dersom parallellogrammet er et rektangel, må alle vinklene være rette Og siden to og to vinkler i et parallellogram er like og vinkelsummen er 60, vet vi at dersom en vinkel er rett, må alle vinklene være rette Vi undersøker om A er rett AB AD AB AD 0 AB AD 8,,6 8 8 0 Parallellogrammet er et rektangel
Oppgave Gitt to vektorer u og v Du får oppgitt at uv 9, u = og v a) Vis at v u u 0 v u u v u u u 9 0 b) Bestem v u v u v u v v u u 9 c) Bruk resultatene fra a) og b) og tegn trekanten utspent av u og v Resultatet fra a) viser at trekanten er rettvinklet Resultatet fra b) viser at trekanten er likebeint
Oppgave Til høyre ser du trekanten ABC Punktet D ligger på AC, DE er parallell med AB og DF er parallell med BC a) Forklar at trekantene DEC og AFD er formlike med trekanten ABC Trekantene DEC og trekanten ABC har C felles I tillegg er både CED og CBA og CDE og CAB samsvarende vinkler ved parallelle linjer og er dermed like Vi har da vist at alle vinklene er parvis like og trekantene er formlike Vi kan bruke samme resonnement for trekantene AFD og ABC Her er det A som er felles Sett arealet til trekanten ABC lik A b) Vis at dersom D ligger midt på AC, så er arealet til parallellogrammet FBED lik A Dersom D ligger midt på AC, så er det lineære forholdet mellom trekantene AFD og ABC lik Da er AF AB Dermed er FB AF AB Høyden i parallellogrammet er lik høyden i trekanten AFD Den er hafd habc Arealet til parallellogrammet er AFBED FB hafd AB habc AB hab C A AD c) Bestem arealet til parallellogrammet FBED uttrykt ved A dersom forholdet AC Da er det lineære forholdet mellom trekantene AFD og ABC lik Da er AF AB Dermed er FB AB Høyden i parallellogrammet er lik høyden i trekanten AFD Den er hafd habc Arealet til parallellogrammet er AFBED FB hafd AB ha BC AB habc A 8
Oppgave Til høyre ser du en sirkel med sentrum i C Punktene sirkelperiferien Trekanten ABC er likesidet a) Forklar at D 0 (se figuren) A, B og D ligger på Siden ABC er likesidet, vet vi at alle vinklene i trekanten er 60 C er sentralvinkel til buen AB D er periferivinkel til denne buen D 60 0 b) Hva er det geometriske sted for toppunktet til vinkler på 0 som har vinkelbein som går gjennom Aog B? Det geometriske stedet for toppunktet er sirkelperiferien mellom Bog A Alle disse vinklene blir periferivinkler til buen AB og er dermed like store som D 0 I firkanten ABCD er diagonalen AC 6 cm, BC CD 5 cm, D 0 og B 90, se figuren c) Start med diagonalen AC og konstruer firkanten Jeg tegnet opp 6 cm AC Jeg konstruerte en sirkel med sentrum i A med radius lik AC og en like stor sirkel med sentrum i C Jeg fant S som skjæringspunktet mellom disse sirklene
Jeg konstruerte en sirkel med sentrum i S og med radius lik SA Sirkelbuen CA på denne sirkelen er nå det geometriske sted for toppunktet til vinkler på 0 med vinkelbein gjennom A og C Jeg konstruerte en midtnormal på AC og fant midtpunktet E Så konstruerte jeg en sirkel med sentrum i E og med radius lik EC Denne sirkelen er det geometriske stedet for toppunktet for rette vinkler med vinkelbein gjennom A og C (Thales setning) 5 Jeg slo en sirkel med sentrum i C og radius 5 cm Jeg fant D som skjæringspunktet mellom denne sirkelen og sirkelen i og B som skjæringspunktet mellom denne sirkelen og sirkelen i 5
Del Tid: 0 min Hjelpemidler: Alle hjelpemidler Ikke Internett eller andre former for kommunikasjon Oppgave 5 Gitt punktene A,, B, og C, a) Undersøk, ved regning, om CA CB CA,, CB,, CA CB CA CB 0 CB CB,, Regnet med CAS i GeoGebra: CA står ikke normalt på CB Punktene A, B og C gitt ovenfor er hjørner i ABC b) Bestem A ved regning AC CA, AB,,0 Vi finner vinkelen med CAS i GeoGebra: 6
A 6, c) Vis, ved regning, at koordinatene til skjæringspunktet mellom midtnormalene i trekanten er 5 0, Vi vet at alle tre midtnormalene skjærer hverandre i samme punkt Siden A, og B, har samme andrekoordinat, må midtnormalen være parallell med y-aksen og ligge midt mellom A, og B, Denne midtnormalen får likningen x 0 Vi finner midtpunktet, E på AC : OE OA AC,,, E, Midtnormalen på AC må stå normalt på AC, En retningsvektor for midtnormalen er, Vi vet at skjæringspunktet mellom midtnormalene har x-koordinat lik 0 Vi kaller skjæringspunktet S og får,, OS OE ES t t, t Vi setter x-koordinaten lik 0: t 0 t y-koordinaten blir da: 5 5 Punktet S som er skjæringspunktet mellom midtnormalene har koordinatene 0, d) Bestem radius til trekantens omskrevne sirkel Den omskrevne sirkelen har sentrum i skjæringspunktet mellom midtnormalene, altså i S 5 0, 7
og går gjennom hjørnene i trekanten 5 Radius AS 0,, 65 Regnet ut med CAS i GeoGebra: Radius AS,0 8