Gammastråling. Nicolai Kristen Solheim

Gammastråling Nicolai Kristen Solheim Abstract Med denne praktiske øvelsen ønsker vi å gjøre oss kjent med Geiger-Müller-telleren og gammaspektroskopi. Formålet for GM-telleren er å se på statistisk spredning, usikkerhet og effektivitet, mens vi for et vanlig gammaspektrometer ønsker å studere responsfunksjonen og foreta en energikalibrering. Med dette vil vi kunne gjøre enkle kjernespektroskopiske studier. 1 Introduksjon Denne praktiske øvelsen gjør oss kjent med Geiger-Müller-telleren og gammaspektroskopi, og består av 5 oppgaver. Disse er hhv. undersøkelse av statistisk spredning, Poisson-fordeling og usikkerhet, GM-tellerens effektivitet for -stråler, skjerming av en radioaktiv -kilde, energikalibrering og -overganger i Ni og etter -desintegrasjoner av Co. Først gjør vi oss kjent med GM-tellerens oppbygning og virkemåte gjennom de tre første oppgavene og prøver dette i praksis. Deretter vi går skrittet videre mot gammaskeptroskopi og kjernepektroskopiske studier i de to siste oppgavene. Vi ønsker først å forklare kort hvordan GMtelleren og spektroskopet fungerer i praksis. Figur 1: Skisse av to vanlige typer GM-rør. Det øverste har et tynt vindu, og kan brukes for alle typer stråling. Det nederste har tykke vegger, og brukes for -stråling. Denne figuren tilsvarer figur 18.1 i oppgaveteksten. Side 1 av 12

GM-telleren består av et sylindrisk rør av et ledende materiale og en lineær anode langs sylinderaksen som vist på figur 1 over, som viser to typer GM-rør. Fra figuren kan vi se at anoden er ført inn i røret gjennom en isolator, og denne anoden har en positiv spenning i forhold til rørveggen. Røret inneholder også en gass med et trykk på 10 10 0.1 1. Prosessen vi her betrakter er en ioniserende partikkel som beveger seg gjennom gassen og på denne måten produserer elektroner og positive ioner. Elektronene blir akselerert inn mot anoden under stadige sammenstøt med gassmolekylene, og ved anoden blir det elektriske feltet så sterkt at hvert elektron utløser en mengde nye elektroner ved støtionisasjon. Dette medfører at man for hver enkelt ioniserende partikkel som er kommet inn i kammeret, får en kortvarig ladningspuls som er stor nok til å kunne registreres med en pulsteller. Et GM-rør med tilkoblet pulsteller er hva vi kjenner som en Geiger-Müller-teller. Man kan også i stedet for å registrere pulsene med en teller, lade en kondensator som utlades gjennom en stor motstand, der utladningsstrømmen er proporsjonal med pulsraten (tellinger pr. tidsenhet). Kondensatoren og motstanden virker på denne måten som differensiator og kalles et ratemeter. Instrumentet som benyttes i denne praktiske øvelsen kan benyttes på begge måter, altså enten som pulsteller eller som ratemeter. Videre vil all stråling som lager ioner i gassen i røret vil bli registrert. Her må - og - partikler trenge inn i GM-røret med tilstrekkelig energi for å ionisere gassmolekyler, men da disse partiklene har kort rekkevidde i materialet må GM-røret ha en tynn vegg hvor partiklene kan passere. Samtidig må strålekilden plasseres tett inntil denne veggen. Det må også understrekes at GM-røret er følsomt for partikkelstråling, og at alle ladde partikler som kommer inn blir registrert. Likevel er det slik at at -stråling ikke vil kunne lage ioner direkte. For at dette skal skje må -kvantet først slå løs et elektron ved compton- eller fotostøt i rørveggen så nær den indre veggflaten at elektronet kommer inn i røret og ioniserer gassen. De fleste -stråler går derfor gjennom røret uten å bli registrert. Fra oppgaveteksten har vi derfor gitt at sannsynligheten for at en strålen som passerer gjennom telleren skal bli registrert (effektiviteten) er tilnærmet 1%. Figur 2: Spektrometer med NaI(Tl) scintillator. Tilsvarer figur 18.4 i oppgaveteksten. Når det kommer til -spektrometeret kan dette ta utgangspunkt i en GM-teller. Figur 2 viser hvordan et slik spektrometer kan være satt sammen, men vi må merke oss at vi i denne øvelsen bruker et spektrometer der forsterkerne og ADC er bygget sammen med høyspenningskilden til fotomultiplikatoren. Prosessen vi nå betrakter er hvordan -kvantene vekselvirker i et følsomt volum eller et fast stoff. Det er nemlig slik at -kvantene avsetter energien helt eller delvis i det følsomme stoffet og som gjennom dette vil gi en elektrisk ladningspuls dersom det brukes en halvleder. Dersom instrumentet har en scintillator vil vi få den elektriske ladningspulsen fra lyssignalet. Deretter forsterkes og omformes ladningspulsen til en spenningspuls i en forforsterker, og sendes videre til en kombinert forsterker og pulsformer. Til slutt registreres og lagres informasjonen i pulsene. I spektrometeret som vi benytter oss av i denne øvelsen brukes det en PC med et spesielt tilkoblingskort for pulshøydeanalyse. Side 2 av 12

2 Teori Mye av teorien i denne øvelsen dreier seg om statistikk, karakteristikk og effektivitet. Vi kan aller først understreke at telleraten for et GM-rør er avhengig av spenningen mellom anoden og rørveggen, og således at en kurve som viser i forhold til er GM-rørets karakteristikk. For er 0, og fra til øker raskt. I området fra til er økningen i telleraten svært liten og med god tilnærmelse lineært. Vi betrakter her et platå. For øker telleraten igjen raskt. Det er vanlig å karakterisere et GM-rør ved å definere nedre og øvre grenseverdier. Altså og for platået og platåhelningen gitt ved. 1 Videre kan vi se på statistisk spredning eller Poissonfordeling som er den fordelingen vi forventer for observert data for radioaktiv stråling. Denne er gitt ved! 2 der er sannsynligheten for å observere tallet, og hvor er det gjennomsnittllige antall pulser i tiden. Vi definerer her ved 3 hvor er antall forskjellige -verdier (inkludert 0) og er antall ganger verdien er observert. Totalt antall observasjoner er gitt ved. 4 Som mål på spredningen brukes standardavviket, som er definert på formen. 5 For Poissonfordelingen kan standardavviket skrives på formen 6 men dersom vi kun gjør én observasjon er den observerte verdien det eneste estimatet vi har for middelverdien slik at vi kan skrive standardavviket på formen 7 Standardavviket på telleraten blir 8 dersom vi ser bort fra usikkerheten i. Vi kan videre se på GM-tellerens effektivitet. Denne effektiviteten er definert som forholdet mellom det antall -kvant som registreres og det antall -kvant som treffer telleren. Vi uttrykker dette på formen Side 3 av 12

Ω 9 der er antall kvant som registreres pr. sekund, er antall registrerte tellinger pr. sekund som skyldes bakgrunnsstråling, Ω er romvinkelen og er aktiviteten til kilden. Oppsettet for dette er vist i figur 3. Figur 3: Geometri for måling av GM-tellerens effektivitet. Tilsvarer figur 18.3 i oppgaveteksten. Når det kommer til bakgrunnsstråling korrigeres dette ved å trekke fra den observerte telleraten. Vi bruker da telleraten 10 der er telleraten gitt ved bakgrunnsstråling fra naturlige radioaktive kilder og er den observerte telleraten fra prøven. Dersom vi nå går steget videre, kan vi nå se på aspektet rundt absorpsjon av -stråling. Vi har at når -stråling går gjennom et sjikt av infinitesimal tykkelse, avtar intensiteten med, som er proporsjonal med tykkelsen og med intensiteten,. 11 Integreres denne ligningen fra 0 til, altså fra til, får vi 12 der vi kjenner konstanten som svekkingskoeffisienten. Til slutt ser vi på aspektet ved energikalibrering, som blir relevant for de siste oppgavene. Ved hjelp av dette vil vi kunne beregne dispersjonen Δ og nullpunktsenergien. Uttrykket som brukes er Δ 13 hvor er energien i kanal. 3 Eksperimentelt 3.1 Undersøkelse av statistisk spredning, Poisson-fordeling og usikkerhet Den første oppgaven er delt inn i 3 mindre oppgaver, og den første deloppgaven går ut på å måle aktivitet fra en radioaktiv kilde. Vi bruker her et GM-rør som vist i figur 1, men her tilkoblet en teller. Spenningen mellom sentraltråden og rørveggen til GM-røret er stilt inn på cirka 600, og Side 4 av 12

kilden blir plassert på en avstand slik at tellinger i tiden 10 sekunder blir cirka 40, dvs. 40. Vi finner dette ved å prøve oss frem. Deretter måler vi antall pulser i en tidsperiode 1, og gjentar dette så vi for minst 100 målinger. Denne dataen bruker vi i en tabell som viser hyppighet versus. Vi lager også et histogram for dette. I den andre deloppgaven beregner vi og, før vi sammenligner med. Vi bruker her MATLAB for å beregne, da dette er mer praktisk da vi har en array med data. Vi bruker også stdfunksjonen vi finner i MATLAB til å beregne. Vi kan her merke oss at std tilsvarer 5. I den siste deloppgaven sammenligner vi den teoretiske fordelingen med den eksperimentelle dataen vi har funnet, og kommenterer på dette. 3.2 GM-tellerens effektivitet for -stråler I denne oppgaven plasserer vi en Cs -kilde med aktivitet 190 (data fra 2005) cirka 15 foran GM-telleren. Fra dette bestemmer vi GM-tellerens effektivitet ved 9. Vi bruker her forholdet 14 slik at 9 og 14 kombinert gir 15 der er radiusen på GM-røret og er avstanden mellom GM-røret og den radioaktive prøven som vi betrakter. Oppsettet for denne oppgaven er vist i figur 4 under. GM-rør Radioaktiv prøve Teller 00 Figur 4: Oppsett for beregning av effektivitet. 3.3 Skjerming av en radioaktiv -kilde I denne tredje oppgaven betrakter vi skjerming av en radioaktiv kilde. Oppsettet vi her bruker er enkelt da vi kun bruker en GM teller, en radioaktiv prøve og et varierende antall blyplater. Oppgaven er delt inn i fire deloppgaver, hvor vi i den første og andre deloppgaven skaffer dataen som skal brukes videre. I den første deloppgaven setter vi alle blyplatene foran GM-røret og måler bakgrunnsstrålingen i 10 minutter, denne verdien brukes som bakgrunn ved alle blytykkelser. I oppgave to setter vi en Cs -kilde foran GM-røret i en slik avstand at det er plass til alle blyplatene. Deretter foretar vi 1000 tellinger for 0,1, og 5 blyplater og tar tiden på dette. Blyplantene plasseres mellom kilden og GM-røret. Side 5 av 12

I den tredje deloppgaven korrigerer vi så verdiene med hensyn på bakgrunnsstråling og fremstiller telleraten i et plott med ln langs den verdikale aksen og blytykkelsen som abscisse. Usikkerheten i telleraten avsettes i diagrammet, og for denne oppgaven har vi anslått den til å være 5 tellinger. Vi foretar også en grafisk utjevning til en rett linje som plottes i samme figur. Til slutt finner vi svekkingskoeffisienten fra linjens stigningstall. Når er kjent, ser vi i siste deloppgave på hvor tykt blylaget rundt kilden må være for at 90% av gammakvantene skal bli absorbert, og hvor tykt det må være for at 99% skal bli absorbert. Vi bruker her 12 for å bestemme disse tykkelsene. 3.4 Energikalibrering I denne oppgaven ønsker vi å kalibrere spektrometeret. Dette gjøres ved å finne konstantene og i 13. Da relasjonen mellom energi og kanal er lineær kan vi bruke to kilder for å kalibrere. Vi bruker en kilde med lav energi og en kilde med høy energi, hhv. Cs og Na. Vi bruker også programmet Windas som er installert lokalt på en Windows-PC. Denne er koblet til en GDM- ADC/AMPLIFIER som skal slås på før programmet åpnes. Fremgangsmåten er å først ta separate målinger av kildene, før vi sammenligner og kalibrerer ved hjelp av programmet, Windas. Tiden vi bruker til å ta målinger varierer, men vi lar programmet samle data til fordelingen i de to spekterene virker oversiktlig. Vi bør merke oss at Na -spekteret har to topper, der vi skal bruke den med høyest energi. Fra oppgaveteksten har vi at den lavenergetiske (men intense) linjen skyldes annihilasjon av som gir 511 gamma. Når spektrometeret er kalibrert ved hjelp av programmet, kan vi finne og ved hjelp av verdiene vi leser av. Vi vil få en for de to radioaktive kildene, mens vi vil få to forskjellige. er gitt ved 16 der er avlest energi og er kanal. Videre finner vi for de respektive kildene ved å skrive om 13. Vi finner da ved 17 hvor er dispersjonen og er den avleste energien fra programmet Windas. Som i 16 er kanal, og i figur 5 under er desintegrasjonsskjemaene for kildene vist. Vi vil her se at for den enkelte kilde svarer til første energinivå ulik 0. Altså skal være rundt 662 og 1275. Figur 5: Desintegrasjonsskjema for Cs og Na. Energinivåene er avsatt relativt til grunntilstanden, med -overganger som vertikale piler. -overganger er tegnet som piler nedover mot hhv. høyre for og mot venstre for. Alle energier er i. -energien er maksimal energi, og for er også elektronmassen 511 angitt. Denne figuren tilsvarer figur 18.7 i oppgaveteksten. Side 6 av 12

3.5 -overganger i etter -desintegrasjon av Til slutt ønsker vi å ta skrittet videre mot enkle kjernespektroskopiske studier. Vi ser først på desintegrasjonsskjemaet for Ni (etter-desintegrasjon av Co ) som er vist i figur 6, og finner forventningsverdier for -energien. Deretter måler vi -spekteret fra en Co -kilde og finner de forventete toppene i spekteret. Vi angir så de målte energiene. Vi bruker i denne øvelsen tre Co - prøver da det går raskere å måle -spekteret. Figur 6: -desintegrasjon av Co, med nivåskjema for datterskjernen Ni. Alle energier er oppgitt i. Denne figuren tilsvarer figur 18.8 i oppgaveteksten. 4 Resultater 4.1 Oppgave 1 I første delen begynte vi med å finne en passende avstand mellom den radioaktive kilden og GM-telleren, og vi foretok noen målinger for å se at gjennomsnittet var tilnærmet 40 tellinger. Dataen for dette er vist i tabell 1. Tabell 1: Målinger for tilpassning av avstand 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 39 32 40 45 37 44 35 46 45 45 33 38 49 40.6 Fra dataen i tabell 1 ser vi at gjennomsnittet for tellinger i tiden 10 er 40.6. Med andre ord er ~4. Deretter ble det målt antall pulser i tidsperioden 1 111 ganger. Dataen for dette er presentert i figur 7 som viser et histogram med hyppighet med hensyn på. Side 7 av 12

Figur 7: Resultatene fra oppgave 1.1 med som abscisse ( -akse). Videre har vi beregnet 3.44 og 1.79. Vi ser her at 1.85 slik at forskjellen på og er tilnærmet 0.07. Fra dette har vi at. Til slutt har vi sammenlignet den teoretiske fordelingen med den eksperimentelle dataen som er samlet. Denne sammenligningen er vist i figur 8. Figur 8: Den teoretiske Poissonfordelingen sammenlignet med den eksperimentelle fordelingen. Side 8 av 12

Den teoretiske Poissonfordelingen er beregnet på måten foreslått i oppgaveteksten. Vi bruker altså,,,, 18 hvor er antall pulser, er antall talte -verdier og er gjennomsnittlige antall pulser. 4.2 Oppgave 2 Vi går så videre til GM-tellerens effektivitet. Vi fikk oppgitt at halveringstiden til Cs - prøven vi bruker er 30 år, og at den har en aktivitet på 190. Denne dataen er fra 2005, så helt nøyaktig kan den ikke tenkes at den er. Vi tar ikke hensyn til det her. Videre måler vi diameteren på sensoren til å være 25.6, noe som inkluderer en kant på cirka 2. Vi anslår med dette en omtrentlig diameter på 21.6 (trekker fra kanten på hver side, altså 2 2 4 ). Den målte avstanden mellom sensoren og kilden er målt til å være 120.0. Vi tar så data over 60. Dette gjøres to ganger, en gang med en radioaktiv kilde, og en gang uten. Fra dette får vi at totalt antall tellinger 218 og 43. er er her antall registrerte tellinger som skyldes bakgrunnsstråling. For tellinger per sekund, får vi at 3.63 og at 0.72. Dersom vi nå bruker denne informasjonen i uttrykket vi utledet i 15, får vi at GM-tellerens effektivitet 0.8 %. 4.3 Oppgave 3 Deretter ser vi på skjerming av en radioaktiv -kilde. Det første vi gjorde i denne oppgaven var å måle bakgrunnen 655. Med hensyn på sekunder, får vi så 1.09. I neste deloppgave ble det målt tiden det tok for å oppnå cirka 1000 tellinger. Vi har anslått en usikkerhet på 5 tellinger med hensyn på tiden da denne ble foretatt med en stoppeklokke. Daten for dette er vist i figur 2 under. Tabell 2: Data for forskjellige blyplatetykkelser # blyplater # tellinger ( 5) # sekunder 0 1004 80 s 1 1002 125 s 2 1001 169 s 3 1030 244 s 4 1001 325 s 5 1004 386 s Vi har også målt den gjennomsnittlige blyplatetykkelsen til å være..... 3.54 19 og avstanden mellom kilden og GM-røret ble målt til å være 14.50. Vi fremstiller deretter telleraten med ln langs den vertikale aksen, og med antall blyplater som abscisse. En blyplate tilsvarer 3.54. Denne grafen alene er vist i figur 9, mens vi i figur 10 har foretatt en grafisk utjevning for å få rett linje. Fra linjens stigningstall har vi at svekkingskoeffisienten 0.41. Side 9 av 12

Figur 9: Telleraten vist som ln med hensyn på antall blyplater. Figur 10: Telleraten vist som ln med hensyn på antall blyplater. Det er også tegnet på en linjetilpassing med feilestimat. Til slutt ønsker vi å finne ut hvor tykt blylaget må være for at 90% av gammakvantene skal bli absorbert, og tilsvarende for 99%. Vi tar her utgangspunkt i 12 og løser for. Vi bruker her at Side 10 av 12

intensiteten er 100% 90% 10% og 100% 99% 1%. Med dette får vi at vi trenger 5.8 blyplater for at 90% av gammakvantene skal bli absorbert, mens vi trenger 11.5 plater for at 99% av gammakvantene skal bli absorbert. Uttrykket som er brukt for å løse dette er 20 der 100%. 4.4 Oppgave 4 Når det kommer til energikalibrering tar vi data fra to forskjellige radioaktive kilder. Gjennom dataprogrammet Windas får vi kalibrert spektrometeret slik at vi kan lese av både energi og kanal fra toppene. Daten vi får fra dette er vist i tabell 3. Tabell 3: Data fra Windas Cs 622.0 317.235 Na 1275 597.636 Vi bruker så 16 og 17 for å beregne hhv. og. Fra disse uttrykkene får vi at dispersjonen 0.002 og at nullpunktsenergien for Cs og Na hhv. er 655 og 1273. 4.5 Oppgave 5 Helt til slutt ser vi på desintegrasjonsskjemaet for Ni (etter-desintegrasjon av Co ) som er vist i figur 6. Verdiene for -energien som vi kan forvente fra dette skjemaet vil her være rundt 827, 953, 1173 og 1332. Kanskje vi også vil kunne finne for så høye verdier som 2159. Ved å måle -spekteret fra Co -kilden og fant vi tre klare topper med energi 1178, 1340 og 829. Vi ser at disse tilsvarer de fleste forventede verdiene for -energien. 5 Diskusjon I denne praktiske øvelsen har vi samlet data og sammenlignet forskjellige aspekter. Vi kan likevel påpeke at det er tatt lite, eller ingen, høyde for feilestimater og usikkerheter, noe som kanskje burde vært gjort. Fra oppgave en ser vi at den eksperimentelle fordelingen, svarer godt til den teoretiske Poisson-fordelingen. Vi ser også at. Et annet aspekt er dataen på kilden vi brukte i oppgave 2. Vi har her brukt data fra 2005, noe som betyr at dataen ikke er helt oppdatert. Det kan derfor være avvik fra den oppgitte dataen og den faktiske dataen. Hvor mye dette har å si for resultatene er ikke kjent, men det kan uansett tenkes at det vil ha en påvirkning. Det kan likevel understrekes at prøven vi brukte har en halveringstid på 30 år, noe som vil si at den faktiske dataen ikke bør være langt fra den oppgitte. Videre kunne det vært interessant å beregne dagens verdier ut fra oppgitt data, og se hvordan dette påvirker resultatene. Når de gjelder gammaspektroskopien, kunne det vært interessant å se dette i praksis før vi skulle prøve det selv. Selvom denne prosessen var godt forklart i oppgaveteksten, tok det noen forsøk å få det riktig. Dette førte til at mye tid som kunne vært brukt annerledes gikk tapt. Side 11 av 12

6 Konklusjon Fra denne praktiske øvelsen har vi gjort oss kjent med Geiger-Müller-telleren og gammaspektroskopi. Vi har også sett på statistisk spredning, usikkerhet og effektivitet i forhold til radioaktive kilder og GM-telleren. Når det gjelder gammaspektroskopien har vi fått innsyn i enkle kjernespektroskopiske studier, studert responsfunksjoner og foretatt en energikalibrering av spektrometeret. Side 12 av 12

1 % Oppgave 1 2 3 % Deloppgave 1 4 data = [0 2 2 0 4 5 1 5 3 3 2 3 2 1 6 2 7 3 3 5 2 3 1 3 0 1 4 5 1 4 3 6 2 7 3 5 2 3 7 3 4 3 5 2 3 6 2 2 6 7 1 6 1 6 2 2 7 2 6 6 6 4 3 4 7 4 3 4 3 2 5 1 6 2 4 3 3 4 4 4 4 5 4 2 1 4 3 2 2 5 6 6 3 3 5 2 3 2 2 1 6 2 2 4 3 5 3 5 4 3 1]; 5 len = length(data); 6 7 % Histogram 8 figure(1); hist(data, (max(data)+1)); 9 title('oppgave 1.1'); xlabel('pulser (k)'); ylabel('hyppighet'); 10 11 % Deloppgave 2 12 s = std(data) 13 m = sum(data)/len 14 ms = sqrt(m) 15 d = abs(s - ms) 16 17 % Deloppgave 3 18 N = length(data); 19 kval = linspace(0,7,8); 20 y = zeros(1,max(data)+1); 21 y(1) = N*exp(-m); 22 23 for k=1:(max(data)) 24 y(k+1) = (m/k)*y(k); 25 end 26 27 % Histogram + teoretisk data 28 figure(2); 29 hold('on'); hist(data, (max(data)+1)); plot(kval,y, 's-k'); 30 title('oppgave 1.3'); xlabel('pulser (k)'); ylabel('hyppighet'); 31 legend('eksperimentell data','teoretisk fordeling'); 32 hold('off');

1 % Oppgave 3 2 3 % Variabler 4 b = 655; b = 655/600; 5 t = [80 125 169 244 325 386]; 6 ni = [1004 1002 1001 1030 1001 1004]; ni = ni./t; 7 n = ni-b; 8 ln = log(n); 9 x = [0,1,2,3,4,5]; 10 11 % Plott 12 figure(1); plot(x,ln,'s-k'); 13 legend('data'); 14 xlabel('antall blyplater'); ylabel('ln(n)'); 15 title('oppgave 3.3'); 16 17 % Grafisk utjevning 18 y=ln; 19 n=length(x); 20 D = sum(x.^2)-(1/n)*(sum(x))^2; 21 E = sum(x.*y)-(1/n)*sum(x)*sum(y); 22 F = sum(y.^2)-(1/n)*(sum(y))^2; 23 avx = (1/n)*sum(x); 24 avy = (1/n)*sum(y); 25 26 m = E/D 27 c = avy-m*avx 28 d = m.*x+c; 29 30 % Hher beregnes feilestimatene 31 dm = m*sqrt((1/(n-2))*(d*f-e^2)/d^2); 32 dc = c*sqrt((1/(n-2))*(d/n+avx.^2)*(d*f-e^2)/d^2); 33 34 % Usikkerhet i d 35 dd = sqrt(dm.^2+dc.^2); 36 dd = zeros(1,length(x))+dd; 37 38 % Plot ny figur 39 figure(2); 40 plot(x,y, 's-k'); 41 hold('on'); 42 plot(x,d, '-b'); 43 errorbar(x,d,dd,'.'); 44 hold('off'); 45 legend('data','linjetilpassing','feilestimat'); 46 xlabel('antall blyplater'); ylabel('ln(n)'); 47 title('oppgave 3.3');