Løsningsforslag, Ukeoppgaver 10 INF2310, våren 2011 kompresjon og koding del II

Transkript

1 Løsningsforslag, Ukeoppgaver 10 INF2310, våren 2011 kompresjon og koding del II 1. En fax-oppgave: a. Et ark med tekst og enkle strektegninger skal sendes pr digital fax over en modemlinje med kapasitet på biter/sekund. Vi bruker en standard fax med 1728 fotosensorer per linje og 1075 linjer per side. Faxmaskinen gjør en terskling av bildet av siden. Hvor lang tid tar det å overføre en side uten kompresjon? Etter terskling trenger vi selvsagt 1 bit per piksel for å representere 0 og 1. 1 bit/piksel * 1728 piksler/linje * 1075 linjer/side = bits/side bits/side / bits/sekund = 387 sekunder = 6 min 27 s. b. Anta at vi hadde kunnet gjøre tekstgjenkjenning på den delen av arket som inneholder tekst, og representert symboler og mellomrom med 7 bits ASCII. Anta at det maksimalt er 60 tegn pr linje og 50 linjer pr side. Anta også at vi kunne beskrevet strektegningene som maksimalt 500 rektangler per side, og at sidene på rektanglene er parallelle med kantene på siden. Gi et worst case estimat av hvor mange biter du vil trenge for å beskrive innholdet på siden med en oppløsning som svarer til faxens oppløsning, og hvor lang tid det vil ta å overføre dette over modemlinjen. For å representere et rektangel og dets plassering trengs følgende: en koordinat for et punkt på rektanglet, f eks øverste venstre hjørne rektanglets bredde og rektanglets høyde Kordinatene for øvre venstre hjørne til et rektangel vil ligge mellom (0,0) og (1728,1075). Det betyr at begge koordinatene krever 11 biter (2048). Det samme gjelder høyde og bredde. Til sammen blir dette 4 * 11 biter = 44 biter. Da blir regnestykket slik: 500 rektangler: 44 biter/rektangel* 500 rektangler = biter 50*60 tegn: tegn * 7 biter/tegn = biter Worst case er altså at vi trenger biter pr side. Med en overføringskapasitet på bits/sekund tar dette t = biter / biter/s = 4,6 sekunder.

2 c. Vi vil gjerne undersøke hvor mye det er å spare på å separere ASCIItegn fra alt annet i en fax, og sende 7 bits ASCII kode for hvert tegn, mens resten sendes ukomprimert uansett hva det er. Hvis halvparten av hver side i gjennomsnitt er ASCII-tegn, hvor mye sparer vi da i forhold til ordinær fax? (7 biter/tegn * 3000/2 tegn + 1 bit/pixel *1728*1075/2 piksler)/(1728*1075) = ( ) / = 0,5056 Vi sparer altså 100%-50.56% = 49.43%. 2. Teorioppgave: Løpelengdekoding i binært bilde med naturlig binærkode: Du skal gjøre en løpelengde ( run-length ) transform på et 2 n 2 n piksels binært bilde. Anta at du gjør dette linje for linje i bildet, ved å angi første pikselverdi, deretter løpelengdene, og verdien 0 to ganger etter hverandre som EOL-markør. Anta også at du bruker en felles naturlig binærkode for både pikselverdiene og løpelengdene. a. Finn et uttrykk for det høyeste antall løpelengder, N, som du med disse forutsetningene kan ha i en linje i bildet hvis løpelengdetransformen skal gi noen kompresjon i forhold til det binære bildet? Svar: Det er den maksimale løpelengden vi kan ha i bildet som bestemmer ordlengden (i biter) til den naturlige binærkoden. Siden bildet er 2 n piksler bredt, må vi ha en ordlengde på n biter. Hvis vi har N runs per linje kommer vi til å bruke n(n+3) biter til å representere dette med en n-biters naturlig binærkode, mens en linje i det binære bildet krever 2 n biter. For å få kompresjon må run-length representasjonen ta et mindre antall biter enn den originale. Altså n(n+3) < 2 n eller N < (1/n) 2 n - 3.

3 b. Hva blir den høyeste verdien av N for hhv. n = 4, n = 8 og n = 10? Er forholdet mellom det maksimale antall løpelengder vi kan ha og fortsatt oppnå kompresjon, og bredden av bildet konstant etter hvert som vi øker størrelsen på bildet? Svar: For n=4 får vi N < (1/4)2 4 3 = 16/4 3 =1 => N < 1. For n=8 får vi N < (1/8)2 8 3 = 256/8 3 =29 => N < 29. For n=10 får vi N < (1/10) = 1024/10 3 = 99.4 => N < 99. Forholdet mellom det maksimale antall løpelengder (N) vi kan ha og fortsatt oppnå kompresjon og størrelsen på bildet (2 n ), er omtrent 2 n / n / 2 n = 1/n. Så dette forholdet er slett ikke konstant: For store bilder kan vi tillate oss å ha mange runs, men forholdet mellom det maksimale antall runs og antall piksler per linje avtar (langsomt) med bildestørrelsen. 3. Huffman-koding av løpelengder i binært bilde: Utsnittet på 25 * 10 piksler av et binært bilde nedenfor kan representeres med 250 biter. Ser vi på runlength-representasjonen av det samme utsnittet, finner vi at det består av 82 runs med lengder mellom 1 og 8 piksler. Hvis vi bruker 3 biter på hver, blir dette 246 biter. Imidlertid er det mulig å gjøre dette litt mer kompakt ved å Huffman-kode de 82 løpelengdene. Ved løpelengdetransformasjon av binære bilder trenger vi ikke å lagre tallpar (gråtone, løpelengde) slik som for gråtonebilder. Vi trenger bare løpelengdene, for det er bare to mulige intensitetsverdier. Løpelengdene finnes i tabellen til høyre Finn Huffmann-koden til løpelengdene i tabellen til høyre over, og finn det totale antall biter etter koding av løpelengdene.

4 Nedenfor har vi løpelengde, lengden på hvert kodeord, kodeordet, og antall forekomster av hver løpelengde. Og helt til høyre kodetreet Og det totale antall bits etter koding blir 36*1+21*3+20*4+5*5= =204 biter. 4. Transformasjoner og kompresjon av et gråtonebilde. a. Anta at vi har et piksels gråtonebilde med 8 bitplan. Pikselverdien er 0 langs venstre kant av bildet, og øker med 32 i jevne trappetrinn mot høyre, slik at det dannes 8 vertikale striper som vist i figuren nedenfor. Hvor mange biter vil vi måtte bruke per linje hvis vi løpelengdetransformerer dette gråtonebildet og bruker en felles naturlig binærkode for både pikselverdier og løpelengder, og bruker verdien 0 to ganger etter hverandre til å indikere slutten av en linje (EOL)? Hver linje vil bestå av 8 løpelengder. Alle løpelengdene er lik 512/8 = 64. Pikselverdiene trenger 8 biter. Altså får vi (8 * 2 + 2) * 8 = 18*8 = 144 biter.

5 b. Vis kodetreet og finn kodeboken for en Huffman-koding av resultatet av løpelengde-transformen ovenfor. Anta fortsatt at vi bruker (0 0) til å indikere EOL. Svar: Bildet inneholder 512 like linjer. Hver linje kommer til å bli beskrevet som Et sortert histogram for hver linje vil gi følgende hyppigheter. En mulig trestruktur og kodebok er slik: c. Finn en omtrentlig verdi for det gjennomsnittlige antall biter per piksel (i det opprinnelige bildet) når du bruker denne Huffman-koden. Angi også den omtrentlige kompresjonsfaktoren. Svar: Vi ser kodeordlengdene i tabellen ovenfor. Multipliserer vi hver kodeordlengde med de tilsvarende hyppighetene får vi det totale antall biter som blir brukt til å representere løpelengdetransformen og EOL-merket: 1*9+3*3 + 6*(4*1) = = 42 biter per linje. Men det er 512 piksle per linje i det opprinnelige bildet. Altså har vi 42/ biter per piksel (fordi 8*5 = 40). Siden det var 8 biter per piksel i det opprinnelige bildet får vi CR 8/0.08 = 100. Hvis vi hadde bedt om den gjennomsnittlig kodeordlengde for løpelengdetransformen, inklusive EOL-merket, ville svaret vært 42/ biter/kodeord.

6 d. Anta at vi hadde gjort en differansetransform av gråtonebildet som er vist i del-oppgave a. Bruk et enkelt resonnement til å forklare hvorfor kompresjonsraten ved kompresjon av enkeltpiksler etter differansetransformen er nøyaktig 3 ganger så høy som den kompresjonsraten vi kan oppnå ved kompresjon uten differansetransform. Svar: I det opprinnelige bildet er det åtte forskjellige gråtoner, og alle er like sannsynlige. 8 verdier krever 3 biter. Her kunne vi ha argumentert med at entropien til dette bildet er eksakt 3, uttrykt i biter: 8*(-(1/8)log 2 (1/8)) =8*3/8 =3. Men vi trenger ingen entropi-koding med ulik lengde på kodeordene for å oppnå dette. Når alle 8 sannsynlighetene er like er jo en naturlig binærkoding med 3 biters kodeord optimal, og vi får CR=8/3. I det differansetransformerte bildet vil vi finne sju verdier lik -32 (ved overgangen mellom trappetrinnene ). Alle de andre verdiene (i alt 505 verdier) vil være 0. Her kunne vi også ha argumentert med entropi: Hvis alle verdiene hadde vært like, ville differansebildet hatt en entropi lik 0, og i dette tilfellet må vi være ganske nær denne verdien (entropien er 0.104). Men vi trenger ikke å se på entropien. For når det bare finnes to verdier i bildet, vil vi bruke én bit: 0 på den mest sannsynlige og 1 på den minst sannsynlige verdien, eller omvendt. Altså en kompresjonsrate CR =8/1= 8. Altså er kompresjonsraten 3 ganger så høy etter differansetransformen..