Forelesning i Matte 3 Determinanter H. J. Rivertz Institutt for matematiske fag 1. februar 008
Innhold 1. time 1 Determinanter og elementære radoperasjoner
Innhold 1. time 1 Determinanter og elementære radoperasjoner Inverterbarhet og determinanter
Innhold 1. time 1 Determinanter og elementære radoperasjoner Inverterbarhet og determinanter 3 Determinanter av matriseprodukter
3 Innhold. time 1 Kramers regel
3 Innhold. time 1 Kramers regel Den adjungerte til en n n-matrise
3 Innhold. time 1 Kramers regel Den adjungerte til en n n-matrise 3 Formel for inverse til n n-matrise
4 Determinanter og elementære radoperasjoner I. A (1/c)R i B A = c B II. A SWAP(R i,r j ) B A = B III. A (c)r i +R j B A = B
5 Inverterbarhet og determinanter Teorem En n n matrise A er inverterbar hvis og bare hvis A 0.
6 Determinanter av matriseprodukter Setning Determinanten til produktet av to matriser er lik produktet av determinantene til hver av dem A B = A B A B C = A B C
7 Kramers regel Teorem Et lineært system med invertibel (n n) koeffisientmatrise: a 11 x 1 + a 1 x + + a 1n x n = b 1 a 1 x 1 + a x + + a n x n = b. a n1 x 1 + a n x + + a nn x n = b n har entydig løsning
7 Kramers regel Teorem Et lineært system med invertibel (n n) koeffisientmatrise: x 1 = a 11 x 1 + a 1 x + + a 1n x n = b 1 a 1 x 1 + a x + + a n x n = b. a n1 x 1 + a n x + + a nn x n = b n b 1 a 1 a 1n b a a n...... b n a n a nn, A har entydig løsning
7 Kramers regel Teorem Et lineært system med invertibel (n n) koeffisientmatrise: x 1 = a 11 x 1 + a 1 x + + a 1n x n = b 1 a 1 x 1 + a x + + a n x n = b. a n1 x 1 + a n x + + a nn x n = b n b 1 a 1 a 1n b a a n...... b n a n a nn,..., x i = A i A A har entydig løsning Der A i er matrisen der vi har byttet ut i-te kolonne i A med b = (b 1, b,..., b n ).
8 Den adjungerte til en matrise Definisjon Den adjungerte til n n-matrisen A. Er lik A 11 A 1 A n1 adj A = [A ij ] T A 1 A A n =...... A 1n A n A nn
8 Den adjungerte til en matrise Definisjon Den adjungerte til n n-matrisen A. Er lik A 11 A 1 A n1 adj A = [A ij ] T A 1 A A n =...... A 1n A n A nn Notasjonen [] T betyr transponert, dvs rader blir kolonner og motsatt.
9 Formel for den inverse til en matrise Teorem Den inverse av en invertibel matrise A er gitt ved A 1 = adj A A
9 Formel for den inverse til en matrise Teorem Den inverse av en invertibel matrise A er gitt ved A 1 = adj A A Idé for bevis. Kramers regel og ekspansjon langs i-te kolonne gir Bruker ogsa at x = A 1 b. x i = 1 A (A 1ib 1 + A i b + + A ni b n ).
10 Eksempel 1 3 Finn den inverse til A = 4. 1 1 A 11 = A 1 = A 13 = A 1 = A = A 3 = A 31 = A 3 = A 33 = A 1 = 1,
10 Eksempel 1 3 Finn den inverse til A = 4. 1 1 A 11 = 1 = A 1 = A 13 = A 1 = A = A 3 = A 31 = A 3 = A 33 = A 1 = 1,
10 Eksempel 1 3 Finn den inverse til A = 4. 1 1 A 11 = 1 = A 1 = 4 1 = 6 A 13 = A 1 = A = A 3 = A 31 = A 3 = A 33 = A 1 = 1 6,
10 Eksempel 1 3 Finn den inverse til A = 4. 1 1 A 11 = 1 = A 1 = 4 1 = 6 A 13 = A 1 = A = A 3 = 4 1 1 = A 31 = A 3 = A 33 = A = a 11 A 11 + a 1 A 1 + a 13 A 13 = 1, A 1 = 1 6 1
10 Eksempel 1 3 Finn den inverse til A = 4. 1 1 A 11 = 1 = A 1 = 4 1 = 6 A 13 = A 1 = 3 1 = 4 A = A 3 = A 31 = A 3 = A 33 = 4 1 1 = A = a 11 A 11 + a 1 A 1 + a 13 A 13 = 1, A 1 = 1 4 6 1
10 Eksempel 1 3 Finn den inverse til A = 4. 1 1 A 11 = 1 = A 1 = 4 1 = 6 A 13 = A 1 = 3 1 = 4 A = 1 1 = 0 A 3 = A 31 = A 3 = A 33 = 4 1 1 = A = a 11 A 11 + a 1 A 1 + a 13 A 13 = 1, A 1 = 1 4 6 0 1
10 Eksempel 1 3 Finn den inverse til A = 4. 1 1 A 11 = 1 = A 1 = 4 1 = 6 A 13 = 4 1 1 = A 1 = 3 1 = 4 A = 1 1 = 0 A 3 = 1 3 1 1 = A 31 = A 3 = A 33 = A = a 11 A 11 + a 1 A 1 + a 13 A 13 = 1, A 1 = 1 4 6 0 1
10 Eksempel 1 3 Finn den inverse til A = 4. 1 1 A 11 = 1 = A 1 = 4 1 = 6 A 13 = 4 1 1 = A 1 = 3 1 = 4 A = 1 1 = 0 A 3 = 1 3 1 1 = A 31 = 3 = A 3 = A 33 = A = a 11 A 11 + a 1 A 1 + a 13 A 13 = 1, A 1 = 1 4 6 0 1
10 Eksempel 1 3 Finn den inverse til A = 4. 1 1 A 11 = 1 = A 1 = 4 1 = 6 A 13 = 4 1 1 = A 1 = 3 1 = 4 A = 1 1 = 0 A 3 = 1 3 1 1 = A 31 = 3 = A 3 = 1 4 = 6 A 33 = A = a 11 A 11 + a 1 A 1 + a 13 A 13 = 1, A 1 = 1 4 6 0 6 1
10 Eksempel 1 3 Finn den inverse til A = 4. 1 1 A 11 = 1 = A 1 = 4 1 = 6 A 13 = 4 1 1 = A 1 = 3 1 = 4 A = 1 1 = 0 A 3 = 1 3 1 1 = A 31 = 3 = A 3 = 1 4 = 6 A 33 = 1 3 4 = 10 A = a 11 A 11 + a 1 A 1 + a 13 A 13 = 1, A 1 = 1 4 6 0 6 1 10