DEL 1 Uten hjelpemidler Hjelpemidler: vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler Oppgave 1 6,3 millioner 6,3 1 000 000 6,3 10,63 10 10 6,63 10 7 6 16,5 10 1,65 10 10 8 8 1,65 10 7 Oppgave 8 8 3,5 10 3,5 10 7,0 10 0,5 10 7,0 0,5 10 10 5 6 5 6 3,5 10 3,5 10 3,5 10 3,5 1 10 3 0,001 8 5+ 6 8 (5 + 6) Oppgave 3 135 135 135 + 115 50 135 4 50 4 540 1000 0,54 54 % av elevene er jenter. Aschehoug www.lokus.no Side 1 av 0
Oppgave 4 Vi setter prisen i butikkene til å være en tilfeldig verdi x. I butikk A blir den nye prisen ( x 1,10) 0,90 x 1,10 0,90 I butikk B blir den nye prisen ( x 0,90) 1,10 x 0,90 1,10 Siden faktorenes orden er likegyldig, blir dette samme verdi. Påstand 3 er korrekt. Merk: Vi kan her bruke en verdi i stedet for x, for eksempel verdien 100, og vise at man ender opp med samme pris. Oppgave 5 10 104 Etter 7 uker har beløpet blitt halvert 7 ganger. 10 10 7 3 8 7 Jeg vil ha igjen 8 kr etter 7 uker. Oppgave 6 a Vi tegner en rett linje som passer best til linjediagrammet. Vi velger to punkter på linja (1, 8000) og (3, 7000), markert med piler, og regner ut funksjonsuttrykket. y y1 a x x1 7000 8000 3 1 1000 500 Vi kan lese av konstantleddet fra linjediagrammet, eller ved regning som vist her. y 500x+ b 8000 500 1 + b 8000 + 500 b b 8500 Den lineære funksjonen som beskriver utviklingen, er gitt ved y 500x+ 8500. Aschehoug www.lokus.no Side av 0
b Siden år 010 tilsvarer x 0, vil år 018 tilsvare x 8. Vi setter dette inn i funksjonsuttrykket fra oppgave a. y 500 8 + 8500 4000 + 8500 4500 I 018 vil det være 4500 dyr igjen i området. c Vi setter antall dyr lik null og løser likningen. y 0 500x + 8500 0 500x 8500 8500 x 500 x 17 I 07 vil det ikke være flere dyr igjen i området ifølge funksjonen. Aschehoug www.lokus.no Side 3 av 0
Oppgave 7 a Vi regner i følgende rekkefølge, se tabell for utregning: 1) Kumulativ frekvens for intervallet 100,150 ) Frekvens for intervallet 150, 00 3) Frekvensen for intervallet 0,50 4) Kumulativ frekvens for intervallet 0,50 er lik frekvensen for samme intervall. 5) Frekvensen for intervallet 50, 100 6) Alle de resterende relative frekvensene Antall kunder Frekvens Relativ frekvens Kumulativ frekvens [0,50 0 0,05 1 0,05 1 [50,100 6 1 5 5 1 0, 5 0 4 [100,150 8 8 0, 40 0 5 [150, 00 0 14 6 6 3 0,30 0 10 6 6 + 8 14 b En av verdiene som er skjult, må være i intervallet 0,50 siden vi skal ha én verdi i dette intervallet og ingen av de synlige verdiene er i dette intervallet. De to andre verdiene som er skjult, må være i intervallet 150, 00 siden vi skal ha 6 verdier i dette intervallet og bare 4 av de synlige verdiene er i dette intervallet. Mulige verdier som er skjult, kan da for eksempel være (47,153,184). Oppgave 8 a Tallet 50 000 forteller oss verdien av bilen da Siri kjøpte den. Tallet 0,9 forteller oss at bilen vil avta i verdi med 10 % for hvert år som går. Vi viser dette ved bruk av vekstfaktor. p 0,9 1 + 100 p 0,9 1 100 p 0,1 100 p 10 Negativ p-verdi forteller oss at verdien avtar med 10 % per år. b Etter ett år er verdien på bilen redusert med 10 %. 50 000 50 000 0,10 50 000 5 000 5 000 Bilens verdi etter ett år er 5 000 kr. 0 Aschehoug www.lokus.no Side 4 av 0
Oppgave 9 a klassemidtpunkt frekvens Gjennomsnitt sum frekvens,5 4 + 7,5 1 + 1,5 10 + 17,5 0 +,5 4 4 + 1 + 10 + 0 + 4 10 + 90 + 15 + 0 + 90 30 315 30 105 10 10,5 Gjennomsnittet for det klassedelte materialet er 10,5 poeng. b Medianen vil ligge der den kumulative frekvensen passerer 15. Dette er i intervallet 5,10. Siden 10 poeng er i neste intervall, så kan Per bruke dette argumentet til å begrunne påstanden sin. Oppgave 10 Situasjon 1: Her passer graf D best. Eline vil i starten øke tempoet, og graf D blir brattere de første sekundene. Hun holder så samme tempo (samme stigning på grafen) før hun snur og løper tilbake med en konstant fart. Situasjon : Eline starter med å løpe hjemmefra. Da må grafen være bratt i begynnelsen. Så venter hun på bussen. Da vil grafen være flat siden hun ikke endrer avstanden hjemmefra. Så vil hun gå hjem igjen. Da vil grafen være slakere med negativt stigningstall. Dette tilsvarer graf B. Situasjon 3: Eline starter med å gå opp en bakke. Da er stigningstallet positivt, og avstanden hjemmefra øker sakte. Hun tar så en pause. Da er grafen flat siden hun ikke endre avstanden hjemmefra. Så løper hun ned bakken og hjemover. Da vil grafen være brattere med negativt stigningstall. Dette svarer til graf A. Situasjon 4: Her padler Eline hele tiden lenger vekk hjemmefra. Til begynne med så går det sakte, svak stigning. Deretter går det raskere når vinden avtar, som tilsvarer raskere stigning. Dette svarer til graf C. Aschehoug www.lokus.no Side 5 av 0
DEL Med hjelpemidler Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Oppgave 1 Vi skriver oversikten over tidsbruken inn i Excel. Vi velger så Sektordiagram fra Sett inn-menyen. Minutter brukt på massemedier per dag 015 16 83 16 17 Internett TV Radio Papiraviser Bøker Ukeblader 107 Oppgave a Vi starter med å sette opp et uttrykk for utviklingen av verdien til eiendommen etter t år. Vt ( ) 6 500 000 1,05 t Vi kan løse denne oppgaven på forskjellige måter. Vi viser først ved utregning på kalkulator. V (8) 6 500 000 1,05 7 919 619 8 Aschehoug www.lokus.no Side 6 av 0
Vi viser så med GeoGebra, der vi først skriver inn uttrykket og deretter skriver inn «x 8», og markerer skjæringspunktet. Til slutt viser vi løsning i CAS, der vi setter inn t 8 i uttrykket. Alle løsningene gir at eiendommen er verdt ca. 7,9 millioner kroner om 8 år. b V kan løse denne oppgaven på forskjellige måter, viser først ved utregning på kalkulator. V ( 8) 6 500 000 1,05 5 334 853 8 Vi viser så med GeoGebra, der vi først skriver inn uttrykket og deretter skriver inn «x 8», og markerer skjæringspunktet. Aschehoug www.lokus.no Side 7 av 0
Til slutt viser vi løsning i CAS, der vi setter inn t 8 i uttrykket for å regne 8 år bakover i tid. Alle løsningene gir at eiendommen var verdt ca. 5,3 millioner kroner for 8 år siden. c Vi viser først grafisk løsning, der vi skriver «y 10 000 000», og finner skjæringspunktet. Aschehoug www.lokus.no Side 8 av 0
Vi løser deretter i CAS, der vi setter Vt ( ) 10 000 000. I alle løsningene vil verdien av eiendommen passerer 10 millioner kroner i løpet av det 18. året. Oppgave 3 a Vi plotter inn tabellen i regnearket i GeoGebra. Vi trykker på knappen for regresjonsanalyse. Aschehoug www.lokus.no Side 9 av 0
Vi ser at funksjonen f( x) 1600 0,85 x er en god modell for utviklingen. b c Vi kan løse på flere måter. Vi viser først grafisk løsning. Aschehoug www.lokus.no Side 10 av 0
Vi skriver inn «x 45» og bruker deretter «Skjæring mellom to objekt». Dette kan også løses ved å skrive uttrykket inn i CAS, og regner ut for x 45. Begge løsningene gir at når prisen er 45 kr, er antall solgte enheter lik 63. d Dette kan løses på flere måter. Vi viser først grafisk løsning. Aschehoug www.lokus.no Side 11 av 0
Vi skriver inn «y 100» og bruker deretter «Skjæring mellom to objekt». Dette kan også løses ved å skrive f( x ) 100 inn i CAS, og trykker Løs. Begge løsningene gir at når antall solgte enheter er lik 100, er prisen per vare ca. 6 kr. e Vi finner vekstfarten ved å finne skjæring med grafen for «x 0», markere punktet og velger «linje mellom to punkter». Vi drar likningen for den rette linja ut i grafikkfeltet som vist under. Aschehoug www.lokus.no Side 1 av 0
Linja gjennom punktene har stigningstall,5. Den gjennomsnittlige vekstfarten er derfor,5 enheter/krone. For hver krone prisen øker i dette intervallet, synker antall solgte enheter i gjennomsnitt med,5. Oppgave 4 a Vi skriver alle tallene inn i et Excel-ark og bruker kommandoene gjennomsnitt og median. b Vi tar for oss påstandene hver for seg. Påstand 1: 7 Median 1 0 0,93 18, 6 100 Aschehoug www.lokus.no Side 13 av 0
Påstand 1 er korrekt. Gjennomsnittet er 7 % lavere enn medianen. Påstand : 7,5 Gjennomsnitt 1 + 18, 6 1, 075 19,995 0 100 Påstand er korrekt innenfor en rimelig avrunding. c Vi bruker kommandoen stdav i Excel og regner ut standardavviket. Standardavviket er på 8,6 poeng. c Klasse B har samme gjennomsnitt som klasse A, men har et mye lavere standardavvik. I klasse A er det større forskjell mellom resultatene på prøven, men i klasse B har elevene fått mindre spredning på poengsummene. Oppgave 5 a Vi skriver tabellen inn i regnearket i GeoGebra. Vi markerer så tallene og trykker på regresjonsanalyseknappen. Aschehoug www.lokus.no Side 14 av 0
En eksponentiell modell for konsentrasjonen av virkestoffet i blodet etter x timer er f( x ) 0,553 0,905 x b Vi bruker regresjonsanalysen i GeoGebra og skriver inn x 10, se figur under. Konsentrasjonen av virkestoffet etter 10 timer er på 0, mikrogram per milliliter. c Pasienten tar en tablett hver 1. time. Den første tabletten pasienten tok, virker i 30 timer. Den neste pillen tar pasienten 1 timer seinere, og den virker da i 30 1 18 timer. Neste pille blir tatt 1 timer seinere og virker i 30 4 6 timer. Vi regner ut disse mengdene hver for seg og legger dem så sammen. Aschehoug www.lokus.no Side 15 av 0
Summen av disse konsentrasjonene er 0,417. Pasienten har etter 30 timer en mengde på 0,4 mikrogram per milliliter i kroppen. Oppgave 6 Aschehoug www.lokus.no Side 16 av 0
Oppgave 7 a På figur F 1 er det ingen bokser i hjørnene ( 0), men det er 1 bokser i midten. På figur F er det 1 bokser i hjørnene og 3 bokser i midten. På figur F 3 er det 4 bokser i hjørnene og 3 4 bokser i midten. På figur F 4 må antall bokser i hjørnene være 9, og boksene i midten må være 4 5. På figur F 5 blir det 16 bokser i hjørnene og 5 6 bokser i midten. Nummer Utregning av antall bokser Totalt antall bokser F1 0 + (1 ) F 1 + ( 3) 8 F3 4 + (3 4) 0 F4 9 + (4 5) 38 F5 16 + (5 6) 6 b Vi kan løse denne oppgaven ved regresjon. Vi viser dette først, deretter en alternativ måte å løse på. Vi skriver inn nummeret i kolonne A og antall bokser i kolonne B. Aschehoug www.lokus.no Side 17 av 0
Vi trykker på regresjonsanalyse og velger polynom av grad. Vi får da at uttrykket er F n n n 3 3 +. Alternativt kan vi skrive om utregningene i tabellen over noe. Nummer Utregning av antall bokser Totalt antall bokser F1 0 + (1 ) F 1 + ( 3) 8 F3 + (3 4) 0 F4 3 + (4 5) 38 F5 4 + (5 6) 6 F ( n 1) + nn ( + 1) n Vi trekker uttrykket sammen. Aschehoug www.lokus.no Side 18 av 0
4 Fn n n+ + n + n 3 3 n n+ c Vi kan løse oppgaven på flere måter. Vi viser først grafisk løsning. Vi skriver inn uttrykket over inn i GeoGebra, tegner linja «y 1000» og finner skjæringspunktet. Vi ser at man kan lage figur nummer 18 med 1000 klosser. Vi regner så ut hvor mange klosser Snorre har til overs. F + 18 3 18 3 18 90 1000 90 80 Etter å ha bygd figur nummer 18 har Snorre 80 klosser til overs. Vi kan også skrive uttrykket inn i CAS, og setter det lik 1000 for å finne hvilken figur Snorre kan klare å lage. Aschehoug www.lokus.no Side 19 av 0
Vi ser at man kan lage figur nummer 18 med 1000 klosser. Vi regner så ut hvor mange klosser Snorre har til overs. Etter å ha bygd figur nummer 18 har Snorre 80 klosser til overs. Aschehoug www.lokus.no Side 0 av 0