Norges tekisk aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag MA0 Grukurs Aalyse I Høst 07 Løsigsforslag Øvig..b) Vi skriver om 7 = 4 4 7 Korollar.. gir at 7 4 er irrasjoal (side vi vet 7 4 er rasjoal er irrasjoal). Da gir Korollar.. så at 7 4 er irrasjoalt. Altså er tallet irrasjoalt...c) Vi forekler uttrykket 6( 4) = 6( 4) = 6 + 6 4 = + 4 = 4 Altså er tallet rasjoalt...c) Vi må løse de to likigee x < 6 (x ) = x + < 6 Løsigee er x < 9 x >. Vi ser at for x [, 9] er x 6, med likhet hvis bare hvis x = eller x = 9. Vi ser så at for x < x > 9 er x > 6. Altså er miste øvre skrake lik 9 største edre skrake er...6 a) Vi merker oss først at side A B er ikke-tomme, begresede megder, fies både supremum sup (miste øvre skrake) ifimum if (største edre skrake) til både megde A til megde B. Per defiisjo har vi at sup A a for alle a A, sup B b for alle b B. Fra dette får vi umiddelbart at sup A + sup B sup(a + B). Vi øsker å å vise at disse størrelsee er like. For dette vil vi bruke et bevis ved motsigelse. Ata derfor at sup(a + B) < sup A + sup B. La d = sup A + sup B sup(a + B). Ved defiisjoe av sup A ka vi å fie a 0 A med a 0 sup A < d/. Vi ka gjøre det samme for B, altså vi ka fie e b 0 B med b 0 sup B < d/. Da er a 0 + b 0 A + B ved trekatulikhete får vi a 0 + b 0 (sup A + sup B) a 0 sup A + b 0 sup B < d/ + d/ = d. 8. september 07 Side av 5
Løsigsforslag Øvig Me dette betyr jo at vi har fuet a 0 + b 0 A + B med avstad stregt midre e d fra sup A + sup B. Atakelse var jo at alle elemeter i A + B hadde avstad mist d fra sup A + sup B, så dette er e motsigelse. Atakelse sup(a + B) < sup A + sup B må da være feil, så vi kokluderer med at sup(a + B) = sup A + sup B. b) Dee oppgave er este helt lik de forrige oppgave. Per defiisjo har vi at if A a for alle a A if B b for alle b B. Vi får da umiddelbart at if A + if B if(a + B). Ata så at if(a + B) > if A + if B. Igje øsker vi å komme frem til e selvmotsigelse. La d være det positive tallet d = if(a + B) (if A + if B). Ved defiisjoe av if A ka vi fie a 0 A med a 0 if A < d/. På samme måte ka vi ved defiisjoe av if B fie b 0 B med b 0 if B < d/. Ved trekatulikhete får vi da a 0 + b 0 (if A + if B) a 0 if A + b 0 if B < d/ + d/ = d Me a 0 + b 0 A + B. Så vi har fuet et elemet i A + B med avstad stregt midre e d fra if A + if B. Atakelse vår var at alle elemeter i A + B hadde avstad mist d fra if A + if B, så dette er e motsigelse. Atakelse må være feil, så vi kokluderer med at if(a + B) = if A + if B. Bemerkig: I..6 a) b) ka ma vise utsaget direkte. Vi tar for oss a). Som ovefor får vi a+b sup A+sup B for alle a A b B. Så vi får sup(a+b) sup A+sup B som før. La å ε > 0. Da ka vi fie a A med a > sup A ε/ b B med b > sup B ε/. Totalt er da a + b > sup A + sup B ε, følgelig sup(a + B) > sup A + sup B ε. Side ε > 0 var vilkårlig må vi ha at sup(a + B) sup A + sup B, det følger at sup(a + B) = sup A + sup B. 4..a) Vi dividerer med 4 i teller ever bruker regereglee for greseverdier 8 4 + 4 7 8 + 4 7 (8 + ) 4 ( 7 ) 4 8 + + 7 4 = 8 + 0 0 = 8 4..c) Uttrykket slik det står i oppgave er vaskelig å evaluere. Vi multipliserer derfor teller ever med oe lurt" bruker tredje kvadratsetig: ( + ) + + ( + )( + + ) + + + + + 8. september 07 Side av 5
Løsigsforslag Øvig Så ved å multiplisere med + + i teller ever, fikk vi oe vi ka hådtere. Legg merke til at for å bruke tredje kvadratsetig for å bli kvitt kvadratrote i tellere måtte vi multiplisere med akkurat + +. Vi dividerer å med i teller ever for å evaluere uttrykket. Dette er det samme som å dividere med uder rotteget. Dette gir + + + + + + = = ( + + ) + = hvor vi har brukt + =. Totalt har vi at ( + ) =. 4.. Vi deler opp i tre deler: Koverges, diverges mot, diverges mot. Ata først at A <, altså at vi har koverges. Vi må vise at for alle ε > 0 fies et aturlig tall N slik at for alle N er c A < ε. Side a = A vet vi at det fies et aturlig tall N a slik at for alle N a er a A < ε. Tilsvarede, side b = A vet vi at det fies et aturlig tall N b slik at for alle N b er b A < ε. La N = max(n a, N b ). For N er da c A max( a A, b A ) < ε, så vi har at c = A, som var det vi skulle vise. Ata å at både a b divergerer mot. Vi må vise at for alle reelle tall K ka vi fie et aturlig tall N slik at for alle K er c K. Per atakelse om at a = vet vi at vi ka fie et aturlig tall N a slik at for alle N a er a K. Side c a kokluderer vi med at c K for alle N a. Altså er c =. Ata til slutt at både a b divergerer mot. Vi må vise at for ethvert reelt tall K fies det et aturlig tall N slik at for alle N er c K. Per defiisjo, gitt e slik K vet vi at det fies et aturlig tall N b slik at for alle N b er b K. Side c b kokluderer vi med at c K for alle N b, dermed har vi at c =, som var det vi skulle vise. 4.. (Ekstraoppgave) a) Følgee {a } {b } defiert ved a = b = har a b = 0, a b = 0. 8. september 07 Side av 5
Løsigsforslag Øvig b) a = har c) a = har a b = 0, a b = a b = 0 a b = 4..4 (Ekstraoppgave) a) Følgee {a } {b } defiert ved a =, b = har a b = (a b ) ( ) = b) Vi sur bytter bare om på tilfellet i forrige oppgave, si a = b =. Da er a b =, (a b ) ( ) = c) Vi så i oppgave 4..c) at ( + ) =. Vi får da et eksempel ved å sette a = + b =. 4..9 a) Vi viser først at x > x impliserer at følge er stregt voksede, altså at x + > x for alle. Vi gjør dette ved iduksjo, med P : x + > x. P er sa per atakelse. Ata så at P k holder, altså at x k+ > x k. Vi må vise at dette medfører at P k+ holder. Vi merker oss at side a > 0 er x k 0 for alle k (dette ser vi rett fra hvorda vi defierer ledd ummer k). Dette medfører at x k+ > x k impliserer at x k+ > x k (dette kue vi ikke sagt om leddee kue vært egative!) Dermed har vi x k+ = x k+ + > x k + = x k+ som et utsaget P k+. Ulikhete fikk vi fra atakelse om at P k er sa. Dermed holder P for alle. Vi atar å at x < x viser at dette medfører at følge er stregt avtagede. Dette er este samme beviset som over. La å P : x + < x. Vi viser ved iduksjo at P er sa for alle. Igje holder P per atakelse. Ata så at P k holder. Igje er x k 0, så vi vet at x k < x k+ impliserer x k < x k+. Da får vi x k+ = x k+ + < x k + = x k+ 8. september 07 Side 4 av 5
Løsigsforslag Øvig som er utsaget P k+. Ulikhete fikk vi fra atakelse om at P k er sa. Dermed holder P for alle. b) Vi fier først potesielle greseverdier. La x være e greseverdi av {x }. Da har vi x x x + + = x + Vi skriver dette om til likige x x+ = 0, som så ka skrives (x )(x ) = 0 (faktoriser med abc-formele). Fra dette vet vi at dersom følge kovergerer, er greseverdie eller. Vi oterer oss at hvis x = er greseverdie, hvis x = er greseverdie (Sett i verdiee eller se at du får kostate følger). Vi ser å på "alle adre mulige startverdier". For alle adre a > 0 vil x > x eller x < x. (Dette vet vi side hvis x = x ville vi fått kostatfølger, de to eeste kostatfølgee er x = for alle, x = for alle, ved argumetet over) Vi vet fra a) at dette medfører at følge er heholdsvis stregt sykede stregt avtagede. Vi øsker derfor å fie for hvilke a > 0 vi har at x > x, for hvilke a > 0 vi har at x < x. La oss se på x > x først. Dette er ekvivalet med a + > a eller med adre ord a a + = (a )(a ) > 0 For a < er a < 0 a < 0, så produktet er > 0. For < a < er a > 0 a < 0, så produktet er < 0. For a > er a > 0 a > 0, så produktet er > 0. Med adre ord er x > x hvis 0 < a < eller a >. Side de eeste to potesielle greseverdiee er, ka vi å kokludere med at dersom a > er x =. Dersom 0 < a < er følge stregt voksede, vi treger bare å vise at de er oppad begreset av for å kokludere med at da vil x =. Me det er klart at for 0 < a < er a + < + =. Dermed er x <. Me da er jo x = x + < + =, så videre for x, x 4,... Så følge er oppad begreset av vi kokluderer med at x = i dette tilfellet. Til slutt ser vi på tilfellet x < x. Vi må fie hvilke a dette svarer til. Dette er ekvivalet med å løse a + < a, eller med adre ord a a + < 0 Ved akkurat samme aalyse av fortegee til faktoree (a ) (a ) som over fier vi at dette er tilfredsstilt for < a <. Følge er da stregt avtagede edad begreset (leddee ka aldri bli egative). Vi vet at dette betyr at følge er koverget, så eeste mulige greseverdi er. For å oppsummere: Følge {x } kovergerer mot dersom 0 < a <, kovergerer mot dersom a =, divergerer mot dersom a >. 8. september 07 Side 5 av 5