TMA4123 - Kræsjkurs i Matlab. Oppgavesett 3 Versjon 1.2 07.03.2013 I dette oppgavesettet skal vi se på ulike måter fouriertransformasjonen anvendes i praksis. Fokus er på støyfjerning i signaler. I tillegg skal vi se på datakompresjon og bilderekonstruksjon fra MR-scannere. Fellesnevneren for disse anvendelsene er bruk av fouriertransformasjonen til å analysere og manipulere signaler i frekvensdomenet. Målet er at dere skal få enda bedre følelse for dens nytteverdi (og gjerne få lyst til å lære mer). Merk: Deler av oppgavesettet vil bli gjennomgått på forelesningen. Oppgave 1: Signaler og støy De fleste reelle signaler vil være befengt av støy. I denne oppgaven skal vi se hvordan man kan bruke fouriertransformasjonen til støyfjerning. Metoden er basert på at støy svarer til høye frekvenser, og disse kan filtreres bort i frekvensdomenet før signalet så rekonstrueres ved hjelp av den inverse fouriertransformasjonen. (a) Vi danner først signalet s = sech(t) vi ønsker å rekonstruere. Bruk linspace til å danne domenet [ 10, 10] til signalet, samplet i n + 1 punkter der n = 128. Som vanlig fjerner vi siste punkt i domenet (pga. periodisitet). Plot s. Fouriertransformer s og plott resultatet. Husk fftshift. (b) Vi legger på hvit støy (gaussisk støy) ved å addere tilfeldige (normalfordelte) tall til hver frekvens i s. Bruk den fouriertransformerte til s og randn(0,1) for å oppnå dette. Husk å legge til både reelle og imaginære komponenter, og lag en støyparameter som styrer mengden støy (noise*(randn(1,n)+ i*randn(1,n))). Det støyfulle signalet fås ved å bruke ifft. Plott dette. 1. Lag et plot av den fouriertransformerte til det støyfulle signalet 1 I praksis er det et slikt signal vi starter ut med: vi kjenner ikke det opprinnelige, ideelle signalet 1
(c) Vi ønksker nå å fjerne mest mulig støy. Siden vi vet nøyaktig hvilken frekvens vi er ute etter kan vi filtrere rundt denne. Dette kan gjøres ved hjelp av et gaussisk filter. Det vil si, vi lager filteret filter=exp( bredde... * kˆ2) og henter ut frekvensene som ligger i overlappet mellom filteret og signalet (ved punktvis multiplikasjon). 2 (d) Lag en rekonstruksjon av det opprinnelige signalet ved å bruke ifft. Underveis har du dannet figurer som ligner på disse: 2 Dette kan også formuleres som en konvolusjon mellom signalet og en gaussisk funksjon: multiplikasjon i frekvensdomenet svarer til konvolusjon i romdomenet, og den fouriertransformerte av gaussisk er gaussisk. 2
Merk: Siden vi legger til tilfeldig normalfordelt støy vil dine figurer sannsynligvis være noe annerledes. (e) Flytt filteret til et annet sted i signalet (f.eks. ved å erstatte k med k 5 i filteret) og plott rekonstruksjonen du da får. Legg merke til forskjellen: det er ikke noe tydelig signal skjult i denne delen av frekvensbåndet. Oppgave : Bilder og støy I Matlab er det meste matriser og vektorer, og bilder er intet unntak. I denne oppgaven skal vi laste inn et bilde som en matrise i Matlab og deretter finne den fouriertransformerte ved hjelp av funksjonen fft2. 3. Vi skal også se hvordan filtrering i frekvensdomenet kan brukes til støyfjerning. (a) Matlab kan lese de fleste bildeformater ved hjelp av funksjonen imread. Last ned bilde.jpg fra kursnettsiden og les inn i Matlab. Kall den resulterende matrisen for image. Vis bildet med imshow(image). Lag en gråtoneversjon av bildet ved hjelp av rgb2gray og kall denne im. Det er 3 fft2 er den todimensjonale varianten av fft. Den beregner først fft over radene i den todimensjonale matrisen, etterfulgt av fft over søylene. 3
dette bildet vi kommer til å jobbe med fra nå av. Finn størrelsen på bildet med [m,n]=size(im). (b) Finn den fouriertransformerte imt ved å bruke fft2. Plott resultatet i gråtoner ved hjelp av imagesc(log(abs(fftshift(imt)))) (vi bruker log10 for å få med de mindre dominante frekvensene). Bruk axis image for å bevare proporsjonene i bildet. 4 (c) Lag en støyfull versjon av bildet ved å bruke addere normalfordelt støy i romdomenet. Bruk en parameter noise til å styre mengden støy. (imn=... double(im)+ noise*randn(m,n)). I første omgang setter vi noise=30. Vi skal forsøke å rekonstruere en mindre støyfull versjon av dette bildet ved å filtrere i frekvensdomenet. (d) Finn den fouriertransformerte imnt av det støyfulle bildet. Lag følgende plot: 4 Du vil se ulike rette linjer i frekvensspektrumet. Disse kommer av kantene i bildet, feks kanten på boken og kanten av bordet. Skarpe kanter gir tydelige linjer i frekvesspektrumet (perpendikulære til kantene). Tenk på det slik: det trengs mye kraft i frekvensene for å følge en skarp kant. 4
(e) Ved å filtrere med et gaussisk filter i frekvensdomenet kan vi redusere støyen. Filteret har formen F (w 1, w 2 ) = exp( σ 1 (w 1 a) 2 σ 2 (w 2 b) 2 ), der σ 1 og σ 2 gir bredden på filteret, og (a, b) er senter-frekvensene. For å konstruere denne funksjonen i Matlab, bruk først meshgrid(w1,w2) der w1=1:n og w2=1:m for å konstruere domenet. Lag deretter funksjonen over dette domenet. Figur 1: Gaussisk filter Sentrum av frekvensområdet er i a = n/2 + 1, b = m/2 + 1. Lag en parameter bredde som styrer bredden i både x og y-retning, og sett denne til 0.0001. Lag et filtrert frekvensspektrum imntf ved å (punktvis) multiplisere imnt med F. Plott det resulterende frekvensspekteret og det rekonstruerte bildet. (e) Eksperimenter med filterbredden og mengden støy. Hvor mye støy kan du legge til og fortsatt få en OK rekonstruksjon? 5
Oppgave: FT og MRI Du kjenner sikkert til MR-scannere. Disse benytter sterke magnetfelt og radiobølger til å avbilde f.eks. innsiden av kroppen (http://en.wikipedia.org/ wiki/magnetic_resonance_imaging). Figur 2: En MR-scanner og et MR-bilde (fra Wikipedia) Maskinen bruker superledere til å danne et kraftig, stabilt magnetfelt 5 som får protoner i kroppen til å spinne i retning av magnetfeltet. (Kroppen inneholder mye hydrogen og dermed mange protoner/hydrogenkjerner). Ved å så sende inn en puls med radiobølger (RF-puls) presses protonene til å endre spinnretning. Når RF-pulsen skrus av vil de sakte returnere til retningen bestemt av magnetfeltet (dette kalles relaksasjon). Hvor raskt dette skjer avhenger av vevstypen, og slik får en et signal som forteller oss hva som er hvor. En ender opp med et todimensjonalt frekvensspektrum (i det MR-fysikere kaller k-space, som for oss er frekvensdomenet). Ved å bruke den inverse fouriertransformasjonen kan en konstruere et bilde av objektet som ble scannet (f.eks. hodet). 6 Vi skal gjennomføre en slik bilde-konstruksjon. (a) Start med å laste inn rådataene : load brain.mat. Matrisen k data som inneholder frekvensdataene. 7. Plot dette ved hjelp av imagesc, log, colormap gray og axis image. (b) Konstruer bildet i romdomenet fra frekvensdomenet ved å bruke ifft2. (NB: prøv med og uten ifftshift). Du kan rotere det resulterende bildet med rot90, og plotte det med imagesc. (c) En ekstra utfordring: I reelle data er det ofte støy. For å simulere dette har vi datasettet noisy brain.mat. Last det inn og plott i både frekvens- 5 en relativt standard sykehusscanner kan ha et magnetfelt på opptil 3 tesla. Dette er omtrent 100 000 ganger sterkere enn jordens magnetfelt! 6 Dette er en smart teknikk, og gav oppfinnerne Nobelprisen i fysiologi og medisin i 2003 7 Dataene er hentet fra et kurs gitt ved Oxford: http://www.fmrib.ox.ac.uk/education/graduate-training-course/programme/ mri-physics/mri-physics-course 6
og romdomenet. Ved hjelp av filtrering i frekvensspekteret, forsøk å redusere støyen slik at bildet blir gjenkjennelig. Du kan bruke det gaussiske filteret fra forrige oppgave. Ekstra: Lyd og komprimering I denne oppgaven skal vi underdsøke hvor mye vi kan fjerne fra frekvensspekteret til et lydsignal uten at det blir ugjenkjennelig. Denne ideen kan brukes til datakompresjon, dvs. til å redusere antall bits som må til for å lagre signalet. 8 (a) Last inn en snutt av Händels Messias ( Halleluhja ) med load handel. Snutten følger med Matlab og krever ingen nedlasting. Lytt til klippet ved hjelp av sound. Plott signalet. Få x-aksen til å vise antall sekund. (b) Fouriertransformer lydklippet og plott resultatet. (c) Vi ønsker nå å kappe høye og lave frekvenser fra signalet. Dette kan gjøres ved å sette høye og lave frekvenser lik 0 (et skarpt cut-off ). Etter at dette er gjort, bruk den inverse fouriertransformasjonen til å konstruere et lydsignal og lytt til resultatet (husk å bruke real på det rekonstruerte signalet: ifft gir (små) imaginære komponenter). Hvor mye kan du kappe av før det blir ugjenkjennelig? Hint: Det er kanskje lettere å kutte frekvenser fra den fftshiftede versjonen. Husk å ifftshifte tilbake. 8 Dette danner en inngangsport til en hel verden av smarte metoder og algoritmer for datakompresjon. En idè du kan eksperimentere med: kompresjon av lyd eller bilde ved å bevare kun en brøkdel av de største frekvenskomponentene, og forkaste resten (sette lik 0). Denne ideen ligger bak f.eks. bildeformatet JPEG. 7