Wavelets og signalbehandling. Kris2an Ranestad Matema2sk ins2tu8 Universitetet i Oslo Faglig pedagogisk dag

Transkript

1 Wavelets og signalbehandling Kris2an Ranestad Matema2sk ins2tu8 Universitetet i Oslo Faglig pedagogisk dag

2 Signalbehandling Signaler er funksjoner (av 2d) Signalanalyse: analyse av disse funksjonene Teori: Fourieranalyse/wavelets Anvendelser: Lagring, formidling og analyse av lyd, bilde, gravitasjonsbølger etc

3 Signal som funksjon av 2d Lyd er variasjon i luqtrykk lydbølger Lyden kan representeres av en funksjon: f(t) = luqtrykket målt i N/m^2 Grafen 2l f gir oss et bilde av lyden:

4 grafen 2l et lydsignal trykk trykkavvik

5 Grafen 2l et annet lydsignal: Et halvt sekund

6 0.015 sekunder

7 0.002 sekunder

8 Jean Bap2ste Joseph Fourier

9 Sinusfunksjon med frekvens 1 sin(2πt)

10 Sinusfunksjoner med ulik frekvens Fourier: Sinus- og cosinus funksjoner danner basis for alle periodiske funksjoner

11 f 20 er en 2lnærming 2l f f f 20 = (4/π)sin(2πt)+(4/3π)sin(2π3t)+ +(4/19π)sin(2π19t)

12 Fourier

13 Filtrering/komprimering Fourier koeffisientene gir mulighet 2l å analysere, filtrere og komprimere en funksjon. Ta bort støy i signalet Ta bort ikke hørbar lyd i signalet

14 Analyse: Amplitude som funksjon av 2d, frekvens sin(2πt) og 2sin(6πt) sin(2πt)+2sin(6πt) (1,1) og (3,2)

15 2d- frekvens analyse (Fourier) Amplitude: 5=gul 4=oransje 3=rød 2=fiole8 1=blå 0=hvit

16 Tid- frekvens analyse Fourier- analysen passer for periodiske signal. I Fourier- analysen er det vanskelig å studere 2d og frekvens med samme nøyak2ghet. Wavelets gir grunnlag for en bedre 2d- frekvens analyse. Overganger/brudd kan bestemmes med større nøyak2ghet.

17 Yves Meyer (Abelprisen 2017) for his pivotal role in the development of the mathema2cal theory of wavelets.

18 Meyers wavelet

19 Basisfunksjoner Meyer konstruerte ved hjelp av sin wavelet- funksjon m en basis m (i,j) i,j hele tall for alle reelle L 2 - funksjoner. Koeffisientene 2l en funksjon f i denne basisen kan beregnes på samme måte som Fourier koeffisientene.

20 Daubechies wavelet

21 Filtrering/komprimering med wavelets Ved å velge passe basisfunksjoner og filtrere ut passe koeffisienter, brukes wavelets i signalbehandling: MP3: Komprimering av (musikk- ) lyd for lagring JPEG- 2000: Komprimering av bilder Billedbehandling i medisin (MRI)

22 Gravitasjonbølger Einstein: Gravitasjon har en bølgenatur. Ved sammensmel2ng av svarte hull eller nøytronstjerner endrer det totale massen seg. Endringen forårsaker en tsunami av en gravitasjonsbølge.

23 Observasjon av gravitasjonsbølger Ved hjelp av Einsteins teori har fysikere beregnet hvordan slike tsunamier skulle kunne registreres og laget målestasjoner. Nobelprisen i fysikk 2017: Weiss, Barish, Thorne (LIGO) Det fins nå flere målestasjoner rundt om på jorda og i verdensrommet, som registrerer variasjon i gravitasjon med større og større nøyak2ghet.

24 Hanford, Washington

25 Livingston, Louisiana

26 Måling og nøyak2ghet LIGO: De to målestasjonene er like og ligger 3002 km fra hverandre. De to armene i L- formen er 4 km lange. Med laser måles avstanden langs armene mellom endepunktene av armene med en nøyak2ghet på mindre enn meter. (1/1000 del av en protondiameter) I følge Einstein vil en gravitasjons- tsunami måles som variasjon i denne avstanden.

27 Sammenlikning I målingene er det mye støy. Støyen er ulik på de to målestasjonene. Gravitasjons- tsunamien er den samme.

28 Tsunamien og dens kilde Gravitasjons- tsunamien beveger seg med lysets has2ghet. 14. September 2015 kl 09:50:45 (UTC) ble en gravitasjons- tsunami registrert av de to målestasjonene med sekunders forskjell i 2d (den 2den lyset bruker mellom stasjonene) To svarte hullene hadde smeltet sammen 1.3 milliarder lysår borte.

29 Masse/energi Massene var 36.2 M s og 29.1 M s før sammensmeltningen mens totalmassen e8erpå var 62.3M s, vår sol er 1M s. Endringen i totalmasse i løpet av mindre enn 0.1 sekund 2lsvarer mer energi enn den som produseres av alle stjernene vi ser på himmelen.

30 Rådata Mekanisk støy dominerer i rådata som viser variasjon i størrelsesorden meter over 0.45 sekunder. Gravitasjons- tsunamien er ikke synlige i disse bildene.

31 En 2d- frekvens analyse Sergey Klimenko brukte wavelets som ligner dem som brukes i lydkomprimering standarden MP3, 2l å lete e8er gravitasjons- tsunamier i rådata fra Hansford og Livingston. Hans algoritme fant en gravitasjons- tsunami 3 minu8er e8er at målingen var registrert på de to stasjonene.

32 Tsunami generert av sammensmel2ng av svarte hull

33 LIGO

34 Black hole merger

35 Flere observasjoner Tidspunkt Hendelse Endring i masse : to svarte hull 3 M s : to svarte hull 1.5 M s : to svarte hull 1.0 M s : to svarte hull 2.0 M s : to svarte hull 2.7 M s : to nøytronstjerner M s Flere kandidater enn disse er foreløpig ikke publisert

36 Konklusjon Meyer: Wavelets supplements our senses

37 Referanser B. P. Abbo8 et al.: Observa2on of Gravita2onal Waves from a Binary Black Hole Merger, PHYSICAL REVIEW LETTERS 116, (2016) Lydia Bieri, David Garfinkle, and Nicolás Yunes: Gravita2onal Waves and Their Mathema2cs No2ces of AMS, August 2017 ( ) Yves Meyer: Abel lecture, May Oslo Wikipedia: List of gravita2onal wave observa2ons h8ps://en.wikipedia.org/wiki/list_of_gravita2onal_wave_observa2ons Øivind Ryan: Kompendium 2l MAT- INF2360 Anvendelser av lineær algebra. UiO

38 Takk for oppmerksomheten