S1-eksamen høsten 017 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (6 poeng) Løs likningene a) x x 80, a 1, b, c 8 b b 4ac 4 1 ( 8) 4 6 1 x 1 a 1 x 1 x 1 4 b) 5 x 1 x 5 1 Fellesnevner er 6. 5x 1 x 5 6 6 61 15x 4x10 6 19x 6 1 19x 19 19 19 x 1 c) lg( x ) 4 lg( x ) 4 lg( x ) lg( ) x 10 10 x 100 x 100 x 10 x 10 Eksamen REA06 Matematikk S1 høsten 017 Side 1 av 16
Oppgave (6 poeng) Skriv så enkelt som mulig a) 7 1 a a b 7 6 a a b 1 7 6 1 4 a b a b ab 4ab x 1 b) x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x x1 x x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 1 x 1 x x 4lg lg lg 4lg 4lg x lg x lg x lg 4lg lg 6lg c) x x 1 Oppgave ( poeng) Løs likningssettet x y 5 x y 4 Bruker innsettingsmetoden. Løser den andre likningen med hensyn på y: y 4x Setter inn i den andre likningen: x x 4 x 5 8 4x 5 0 x 4x 0, a 1, b 4, c ( 4) ( 4) 4 1 4 16 1 4 ( 1) x 1 1 x 1 x 1 1 x : y 4 4 6 x 1 : y 4 1 4 Løsningene blir: x, y x 1, y Eksamen REA06 Matematikk S1 høsten 017 Side av 16
Oppgave 4 ( poeng) Løs ulikheten x x x x 0 Faktoriserer andregradsuttrykket x x, a 1, b, c 4 1 ( ) 4 1 4 1 x 1 1 x 1 1 x 1 Tester så uttrykket x x for x-verdiene 4, 0 og for å sjekke om vi får positivt eller negativt svar: x 4 : 4 4 16 8 5 0 x 0 : 0 0 0 x : 4 4 5 0 Vi tegner fortegnsskjema (trengs egentlig ikke, vi har de opplysningene vi trenger over!): 0 0 Ulikheten er oppfylt når uttrykket x x 0. Vi finner at: x x for x, 1, (eller: x x 1) Eksamen REA06 Matematikk S1 høsten 017 Side av 16
Oppgave 5 ( poeng) Til en fotballkamp ble det solgt 1400 billetter. Supporterne til hjemmelaget kjøpte fire ganger så mange billetter som supporterne til bortelaget. Hvor mange billetter ble solgt til hjemmelagets supportere? Begrunn svaret. Setter x lik antallet billetter som bortelagets supportere kjøpte. Da blir antallet billetter som hjemmelagets supportere kjøpte lik 4x. Til sammen skal det bli 1400 billetter. Dette gir likningen 4x x 1400 5x 1400 5x 1400 5 5 x 80 Hjemmelagets supportere kjøpte 4 80 billetter = 110 billetter. Oppgave 6 (6 poeng) En nøkkelboks er en boks med plass til nøkler. Noen slike bokser har kodelås. For én type nøkkelboks lages en kode ved å stille inn fire tall. Hvert tall velges blant tallene 0 til 9. Et tall kan velges flere ganger. Tallene må være stilt inn i en bestemt rekkefølge. a) Hvor mange ulike koder finnes for denne typen nøkkelboks? Dette er et ordna utvalg med tilbakelegging. Antallet ulike koder blir: 4 10 10000 For en annen type nøkkelboks lages en kode ved å velge et bestemt antall forskjellige tall blant tallene 0 til 9. Tallene trenger ikke å være stilt inn i en bestemt rekkefølge. b) Hvor mange ulike koder finnes det for denne typen nøkkelboks dersom koden skal bestå av fire forskjellige tall? Dette er et uordna utvalg uten tilbakelegging. Antallet ulike koder blir: 10 10! 10 9 4 (10 4)! 4! 8 7 6 5 4 6 5 4 4 1 10 7 10 Eksamen REA06 Matematikk S1 høsten 017 Side 4 av 16
c) Hvor mange tall må koden bestå av for at antall mulige koder skal bli størst mulig? Hvor mange mulige koder er det da? Vi vet fra Pascals trekant at det største tallet er det som er i midten. Det tilsvarer binomialkoeffisienten 10, som betyr at vi må ha 5 tall i koden. Antallet koder blir: 5 10 10! 10 5 (10 5)! 5! 9 8 7 6 5 4 5 4 5 4 1 1 7 6 7 6 5 Oppgave 7 ( poeng) En fotballklubb skal bygge et fotballstadion. For å tilfredsstille Norges Fotballforbunds regler, må tribunene ha en kapasitet på minst 1000 tilskuere. Av disse må minst 800 være sitteplasser, og høyst 40 % av plassene kan være ståplasser. La x være antall sitteplasser og y antall ståplasser. Sett opp ulikheter som beskriver situasjonen ovenfor. Jeg kaller antall sitteplasser for x og antall ståplasser for y. Antall sitteplasser må være større enn eller lik 800. Dette gir x 800. Kravet om minst 1000 tilskuere gir x y 1000. Det siste kravet gir at høyst 40 % av plassene (altså 40 % av summen av x og y) skal være ståplasser. Dette kravet gir 40 y x y 100 y 0,4x 0,4 y y 0,4 y 0,4x 0,6 y 0,4 x 0,6 0,6 y x Eksamen REA06 Matematikk S1 høsten 017 Side 5 av 16
Oppgave 8 (8 poeng) Når du skal sende en rull med Posten, må rullen ikke være for stor. Posten stiller følgende krav til størrelsen på rullen: Lengden kan være inntil 90 cm. Lengde + dobbel diameter må ikke være over 104 cm. La x være radien, og la y være lengden (i cm) på en rull som skal sendes. a) Bruk opplysningene ovenfor til å forklare at x og y må tilfredsstille ulikhetene 0 y 90 og 4x y 104 Lengden skal altså være inntil 90 cm, og den må være positiv. Dette gir den første ulikheten. Hvis x er radien, så er x diameteren. Den doble diameteren må da være 4x. Lengde pluss dobbel diameter blir videre y 4x, som skal være inntil 104 cm. Dette gir den andre ulikheten. b) Begrunn at en rull som skal sendes, må ha radius mindre enn 6 cm. Den andre ulikheten gir: 4x y 104 4x 104 y 4x 104 y 4 4 y x 6 4 Den største verdien x kan ha, er når y er så liten som mulig. Hvis y = 0, kan x være maksimalt 6 (men da har vi ikke noen rull). Derfor må radien, altså x, være mindre enn 6 cm. Eksamen REA06 Matematikk S1 høsten 017 Side 6 av 16
Vi ønsker å lage en rull der summen av lengden og to diametere er 104 cm. c) Vis at volumet V må tilfredsstille V( x) 104x 4x Når summen av lengden og to diametere er 104 cm, har vi at 4x y 104 y 104 4x Bruker formelen for volumet av en sylinder, V r h, og får: V( x) x y x (104 4 x) 104 x 4 x d) Hvilken radius vil gi størst volum? Deriverer volumfunksjonen: V( x) 104 x 4 x 4 x 5 x Den deriverte er null når x 0 og når 5 x 0. Vi vet at volumet er null når x 0, derfor må dette være et minimalpunkt. Siden funksjonen er en tredjegradsfunksjon, må det andre ekstremalpunktet være et toppunkt. Vi får videre 5 x 0 x 5 5 x Radien som gir størst volum blir 5 cm 17, cm Eksamen REA06 Matematikk S1 høsten 017 Side 7 av 16
Oppgave 1 (5 poeng) Funksjonen f er gitt ved 1 f( x) ( x 4), 0 x 4 Under grafen til f er det tegnet inn et rektangel OBCD, slik som figuren nedenfor viser. a) Vis at arealet til rektangelet er gitt ved 1 A( x) x 4x 8 x, 0 x 4 Arealet er lengde x multiplisert med bredde fx. ( ) Vi får 1 x 1 A( x) x f( x) x x 4 x 8x 16 x 4x 8x Ax ( ) må også ha de samme begrensningene som fx, ( ) dvs. 0 x 4. Eksamen REA06 Matematikk S1 høsten 017 Side 8 av 16
b) Bruk CAS til å bestemme x slik at arealet til rektangelet blir 4. Den siste løsningen er utenfor definisjonsområdet. Arealet er 4 når x 5 x c) Bruk CAS til å bestemme x slik at arealet til rektangelet blir størst mulig. Hva er det største arealet rektangelet kan ha? 4 Dobbeltderiverttesten viser at x er et toppunkt. Det største arealet er 18 4,7 når x 4. 7 Eksamen REA06 Matematikk S1 høsten 017 Side 9 av 16
Oppgave (7 poeng) Tabellen nedenfor viser sammenhengen mellom lengde og vekt av laks i et vassdrag. Lengde (i cm) 50 55 60 65 70 75 80 85 90 Vekt (i gram) 140 1905 494 0 806 4600 5610 6760 8041 a) Bruk regresjon til å bestemme en potensfunksjon g som viser vekten til en laks som funksjon av lengden på laksen. Skrev inn tallene i regnearkdelen på GeoGebra og valgte regresjonsanalyseverktøyet med potens som regresjonsmodell, se bildet over. Den potensfunksjonen g som passer best med tallene er g( x) 0,016,91 x der g står for vekten i gram og x står for lengden i cm. Eksamen REA06 Matematikk S1 høsten 017 Side 10 av 16
I et annet vassdrag viser det seg at en god modell f for vekten (i gram) til en x cm lang laks er gitt ved,9 f( x) 0,015 x, 50 x 10 b) Bruk graftegner til å tegne grafen til f. Skrev inn funksjonen f(x) ved hjelp av kommandoen Funksjon, se bildet over. c) Hvor mye veier en laks som er 100 cm lang, ifølge modellen f? Regna ut f(100) = 10 867, se tallet a i algebrafeltet på bildet i b). En laks som er 100 cm lang, veier ca. 10, 9 kg. d) Hvor lang er en laks som veier 15 kg, ifølge modellen f? Løste likningen fx ( ) 15000 med CAS, se bildet i b). Måtte skrive inn selve funksjonsuttrykket fordi GeoGebra ikke ville finne svaret om jeg skrev inn likningen som «fx ( ) 15000». En laks som veier 15 kg, er ifølge modellen f 11 cm lang. Eksamen REA06 Matematikk S1 høsten 017 Side 11 av 16
Oppgave (5 poeng) Jakob har en spilleliste med 0 sanger på mobilen sin. Fire av sangene på spillelisten er med artisten Kygo. Programmet spiller av sangene i tilfeldig rekkefølge (shuffle) med tilbakelegging. Det vil si at samme sang kan bli spilt av flere ganger etter hverandre. a) Forklar at sannsynligheten alltid er p = 0, for at neste sang som blir spilt, er med Kygo. Sannsynligheten er Antall gunstige 4 1 0, Antall mulige 0 5 b) Jakob vil høre på fem avspillinger fra spillelisten. Bestem sannsynligheten for at nøyaktig to av sangene han spiller, er med Kygo. Dette er en binomisk sannsynlighet der vi skal ha to sanger av Kygo og tre andre. P 5 ( av Kygo) 0, 0,8 0,05 c) Hvor mange avspillinger må han høre på for at sannsynligheten for å få høre minst én sang med Kygo skal være større enn 90 %? Den motsatte hendelsen til «minst én sang med Kygo» er «ingen sanger med Kygo». Sannsynligheten for at en sang ikke er med Kygo er 1 0, = 0,8. Sannsynligheten for at n sanger etter hverandre ikke er med Kygo er 0,8 n. Sannsynligheten for at minst én sang er med Kygo blir 1 0,8 n. Oppgaven spør etter når denne sannsynligheten er større enn 0,9. Løser ulikheten med CAS, se bildet til høyre. Måtte løse ulikheten eksakt først, for deretter å finne et tilnærma svar, fordi GeoGebra ikke ville godta NLøs-knappen. Det må spilles av minst 11 sanger for at sannsynligheten for å få minst én sang med Kygo skal være større enn 90 %. Eksamen REA06 Matematikk S1 høsten 017 Side 1 av 16
Oppgave 4 (7 poeng) En bedrift produserer to typer sofaer, A og B. La x være antall sofaer av type A og y antall sofaer av type B som blir produsert per dag. Sofaene må innom tre avdelinger før de er ferdige. Produksjonen av én sofa av type A tar 1 time i avdeling I, timer i avdeling II og timer i avdeling III. Produksjonen av én sofa av type B tar timer i avdeling I, timer i avdeling II og 1 time i avdeling III. Avdeling I har en maksimal kapasitet på 14 timer per dag. Avdeling II har en maksimal kapasitet på 16 timer per dag. Avdeling III har en maksimal kapasitet på 1 timer per dag. a) Forklar at opplysningene ovenfor gir oss ulikhetene xy 14 xy 16 x y 1 x 0 y 0 Antallet sofaer kan ikke være negativt. Det gir de to siste ulikhetene. Begrensninger for avdeling I er at de ikke kan bruke mer enn 14 timer per dag. Summen av antallet timer er 1 time multiplisert med antall sofaer av typen A (x) pluss timer multiplisert med antall sofaer av typen B (y). Dette gir at 1 x y 14 xy14 Ved å gjøre tilsvarende for de to andre avdelingene, ender vi opp med den andre og den tredje ulikheten. Eksamen REA06 Matematikk S1 høsten 017 Side 1 av 16
Skraver det området i planet som er avgrenset av disse ulikhetene. Skrev inn alle ulikhetene i algebrafeltet og fikk tegnet ulikhetene: Fortjenesten i kroner når bedriften produserer og selger x enheter av type A og y enheter av type B, er gitt ved F( x, y) 4500x 6000y b) Hvor stor er fortjenesten på én sofa av type A og på én sofa av type B? Sofa type A: F(1, 0) 4 500 1 6000 0 4 500. Fortjenesten er 4 500 kroner. Sofa type B: F(0, 1) 4 500 0 6000 1 6 000. Fortjenesten er 6 000 kroner. Eksamen REA06 Matematikk S1 høsten 017 Side 14 av 16
c) Hvor mange enheter av type A og type B må bedriften produsere per dag for at fortjenesten skal bli størst mulig? Lager en glider F i GeoGebra. Lar glideren gå fra 0 til 100 000 siden det er i dette området vi har fortjenesten. Skriver inn 4500x + 6000y = F og får den mørkerøde linja f på bildet nedenfor. Glideren er justert slik at vi ser at fortjenesten blir størst når bedriften produserer 5 sofaer av type A og sofaer av type B. Vi kan kontrollere resultatet ved å regne ut skjæringspunktet mellom de to linjene som skjærer der, nemlig linjene x y 16 og x y 1 fra ulikhet nummer to og tre. Skriver likningene inn i CAS, og får at fortjenesten er størst når det blir produsert 5 sofaer av type A og sofaer av type B per dag. (Så får bedriften håpe at etterspørselen etter sofaer også følger dette mønsteret ) Ledelsen i bedriften har funnet ut at det er ressurser til å utvide kapasiteten i én av de tre avdelingene med 1 time. Eksamen REA06 Matematikk S1 høsten 017 Side 15 av 16
d) I hvilken avdeling bør de øke kapasiteten? Vi ser at den største fortjenesten er begrenset av de to linjene som representerer avdeling II og avdeling III. Vi bruker CAS til å se hva produksjonen blir hvis vi øker med én time først i avdeling II, se linje 4 i utklippet fra CAS, deretter med én times økning i avdeling III, se linje 5. Så regner vi ut hvilke av de to alternativene som gir størst fortjeneste. Vi ser av linje 8 og 9 at fortjenesten blir størst dersom kapasiteten økes med én time i avdeling II. Én forutsetning må være at de ikke må gjøre ferdig sofaene den dagen de er påbegynt, men kan fortsette der de slapp neste dag. Eksamen REA06 Matematikk S1 høsten 017 Side 16 av 16