. Polyomdivisjo Oppgave. ( 5 + ) : = + + ( + ):( ) 6 + 6 8 8 = + + c) ( + 5 ) : = + 6 6 d) + + + = + + = + + + 8+ ( ):( ) + + +
Oppgave. ( + 5+ ):( ) 5 + + = + ( 5 ): 9 + + + = + + + 5 + 6 9 c) ( 8 66 ): ( 5) 8 6 6 6 6 6 = + + 8
d) 5 + + + + : = + + + + + + + 5 Oppgave. + + : + = + + + + + + + 6 + 6 5 6 : + + = + + c) ( + ) 6 : + 6 6 ( ) + = +
d) e) f) ( ):( ) + + + = + + 9 + ( 5 ):( ) + 8 7 8 + + 7 8 7 + + + + + = + + = + + 8 + 8 6+ 8 + + 5 + + + + + + + = + + + ( ) ( ) : ( + ) + = + + + ( + ) ( ) + + + + + + = + + +
Oppgave. 5 + + : = + 6+ P() = + + = + 8+ = 5 6+ P() = r 6 5 + + = + ( ): P() + = + + = + = P r c) + 6 : = + + 6 () 6 8 8 () 8 + + = P = + = + 8 = P = r
.8 Flere likiger med flere ukjete Oppgave.8 I + y+ z = II y + z = I z = y III + y + z = 5 Ii i II y+ y = y+ 6y = + 7 y = IV = 7y Ii i III + y+ y = 5 + y+ 6 6 9y = 5 V 5+ 7 y = IV i i V 5 7 y + 7 y = 5 5y + 7 y = 8y = 8 y = IV = 7 = = Iz= = 9 = =, y= og z= Oppgave.8 I+ y+ z= 6 II + y z = I = 6y z III y z = Ii i II 6 y z + y z = y 6z+ y z = y+ 7z = 9 9 y IV z = 7 Ii i III 6 yz y z = 8 6y9z y z = V 7y+ z = 8 IV i i V 9 y 7 7 y + = 8 7 7y 7 + 9 y y =5 5 y = = 9 9+ IV z = = = = 7 7 7 I= 6 = 6+ 8 9= 5 = 5, y= og z= = 8 7 9y+ 8 6y = 56
Oppgave.8 I+ y+ z= II + 5y + z = 5 I z = y III + y + 5z = 6 Ii i II + 5y+ y = 5 + 5y+ y = 5 + 5y = 5 IV y = Ii i III + y+ 5 y = 6 + y+ 5 5 5y = 6 V + y = IV i i V + = + = = IV y = = 8 = Iz= = Det må være sjokolader av type og, og av type.
Oppgave.8 I + + + = 6 II + + = III + + + = 8 6 IV + + + = I = 6 Ii i II 6 + + = + + 6 + + + = V 5 + 7 + 7 = I i i III + 6 + = VI = + + = 8 + 6 + + = 8 Ii i IV + 6 + + = 6 + 6 + + = 6 VII + + = 6 VI i i V 5 + 7 + 7 = 5 + VIII 6 =6 + 7 = VI i i VII + + = 6 + 6 + = 6 7 7 = IX = 7 IX i i VIII 6 =6 ( 7 ) =6 8 =6 7 = = 7 IX = = = VI = = = I = 6 = 6 + = =, =, = og =
Oppgave.8 Type : gram Type : gram Type : Type : gram gram Eske Eske Eske Eske I + 7 + 7 + = II 5+ 5 + 5+ 5 = III + + 8+ 5 = 5 IV + + 7 + 8 = 5 Type veier 5g, type veier 8g, type veier g og type veier 5g.
.7 Isettigsmetode Oppgave.7 I + y = II 5 + y = I y = settes i i II 5+ = 5+ 6 = I y = = + = 7 = og y = 7 = Oppgave.7 I + 5y = 7 II + y = 5 75y 75y I= settes i i II + y = 5 ( 7 5y) + y = 5 5y+ y = y = y = 75 I = = = og y = I + y = II + y = y y I= settes i i II + y = ( y) + y = 6y+ 9y = 7y = 7 y = I = = = og y =
c) I + y = II y = y y I= settes i i II y = ( y) y = 9y y = y = 9 y = I = = 5 = 5 og y = d) I + 5y = 5 I + 5y = 5 9 II y = II y = 9 II = 9 + y settes i i I 9 + y + 5y = 5 8 + 8y + 5y = 5 y = y = II = 9+ = 5 = 5 og y = Oppgave.7 dl skummet melk blades med ydl helmelk I+ y= II, +,9 y =,5 I= ysettes i i II, y+,9 y= 5,y+,9 y= 5,8y = y =, 7,8 I =, 7 = 6, 6,dl skummet melk blades med, 7 dl helmelk.
Oppgave.7 + y = y = = og y = + y = + y = = og y = c) + y = 7 = 5 =, og y = =, y = 5 d),+ y =,, + y =, = og y = =,6 5
.6 Rasjoale likiger Oppgave.6 + = + = Fellesever = Betigelser: og ( ) + = ( ) ( ) ( ) ( ) + ( ) = ( ) ( ) + = = = Dette strider mot betigelsee. Derfor: Likige har ige løsig. = = Fellesever = Betigelser: og ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) = = + = c) + = + = + + + Betigelser: ( ) ( ) Fellesever = + og + = ( + ) ( ) + + ( ) ( + ) ( ) ( ) + ( + ) ( ) ( + ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) = + + = + + = 5= 5 = Svaret strider mot betigelsee, slik at Likige har ige løsig.
Oppgave.6 8 8 Fellesever = + + = + = + + + + Betigelser: og 8 + = ( + ) + + ( + ) ( + ) + ( + ) ( + ) 8 = ( ) + ± ± ± + 8= + 6 + = = = = = eller = ( ) 9 9 Fellesever = = = Betigelser: og 9 = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 9 = ± ± 6 ± + 6= 9 = = = = = Ulovlig verdi eller = =
c) Nullpukter = og = ( + ) ( ) 8 8 Fellesever + = + = + 8 + ( + ) ( ) Betigelser: og 8 + = ( + ) ( ) + + ( + ) ( ) ( + ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) 8 + ( + ) ( ) ( ) = ( ) ( ) + 8= + 8 6 7 7 ± 7 7± + = + + = = = = Ulovlig verdi eller = = d) Nullpukter = og = 5 ( + ) ( 5) 5 5 Fellesever + = + = 5 + 5 ( + ) ( 5) + 5 Betigelser: og 5 5 + = ( + ) ( 5) + 5 + 5 ( + ) ( 5) ( + ) ( 5) 5 + ( + ) ( 5) ( + ) = ( + ) ( 5) ( 5) ( ) ( ) + 5 5 = + 5 5 5 ± ± + = + + + = = = = Ulovlig verdi eller = 5 Ulovlig verdi Ige løsig. 5 6 ± 6 =
Oppgave.6 + = + + + + + = V. S = = = + + 5 + 5 HS. = + = + = = + 5 5 5 VS. = HS. og da er = e løsig.
Nullpukter = og= ( ) ( + + Fellesever + = + = + + + ( ) ( + ) + Betigelser: og ) + = + ( ) ( + ) + + ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( + ) = ( ) ( + ) ( + ) + ( ) ( + ) ( ) + = + + + = = er e løsig, derfor ka vi utføre polyomdivisjoe: + : = + + 6 + = + + = = eller + + = ± ± ± = eller = = = =, = og = De adre løsigee er = og =.
.5 Forkortig av rasjoale uttrykk Oppgave.5 Sjekker om tellere P = + blir lik ull for = : P = + = + = () Tellere ieholder faktore ( ) og ka derfor forkortes: + = Nullpukter = og = ( + ) ( ) ( ) = + Sjekker om tellere 6 blir lik ul P( ) = + 6 = 8 6 = Tellere ieholder faktore P = + ( + ) l for =: og ka derfor forkortes: = og = + + = + 6 Nullpukter ( ) ( ) ( + ) = c) Sjekker om tellere P = + 5 blir li P () = + 5 = + = Tellere ieholder faktore ( ) k ull for = : og ka derfor forkortes: + 5 = Nullpukter = og=7 ( ) ( + 7) ( ) = + 7 d) Sjekker om tellere 6 blir lik ull for som er ullpuktet til P () 6 8 8 6 Tellere ieholder ikke faktore P = + = = + = + = ( ) Me alle ledd i både teller og ever ka deles med. Derfor: evere.,og brøke ka derfor ikke forkortes med. + 6 6 = + ( ) = +
Oppgave.5 Sjekker om tellere P = + blir lik ull for = : P () ( ) ( ) Tellere er da delelig med : + + : = + + = + = + = + + = + + Sjekker om tellere P = + 6 + + 6 blir lik ul ( ) ( + ) P( ) = + 6 + + 6 = 7 + 5 + 6 = Tellere er da delelig med : l for =: + 6 + + 6 : + = + + + + + 9 + 6 + 6 + 6 + + 6 = + + +
c) d) Sjekker om tellere P = 9 blir lik ull for = som er ullpukte P( ) = 9 = 8+ 8= 9 Tellere er ikke delelig med ( + ) og derfor: ka ikke forkortes. + 6 Sjekker om evere blir lik ul P = + + + ( + ) P( ) = + + + = + + = Nevere er da delelig med : l for =: t til evere. + + + : + = + + + + + + + + = + + + ( + ) + ( + + ) = + + Oppgave.5 Brøke + 5+ a + ka forkortes år tellere blir lik ull for = : + 5 + a = + a = a = 6 Brøke ka forkortes år a = 6.
Oppgave.5 + + + =.kvadratsetig (kojugatsetige) brukt på evere Sjekker om tellere = + blir lik ull for P( ) = + = 8+ + = P = + = + = () 8 8 ( ) P =± : ( Tellere er da delelig med + me ikke med : + + : + = + + + + ) + + = = + ( ) ( + ) + ( + ) ( ) = +
Nullpukter for tellere = og = + + ( + ) ( + ) = + + Sjekker om evere P blir lik ull for ( ) ( ) ( + ) = + = P( ) = + = + + =6 P( ) = + = 7+ 7+ = Nevere er delelig med. + : + = + og/eller =: + + ( + ) ( + ) = + ( ) + = + Oppgave.5 + 6+ a + 6+ a = + Nullpuktee til evere = og = For å kue forkorte bøke må tellere bli lik ull for = og/eller = : P = + + = + + = () 6 a 7 6 8 a = P() 6 a 6 a + + = + + = a =9 a = For at brøke skal kue forkortes, må a= 9 eller a=
. Tredjegradslikiger Oppgave. + + 6= P = + + 6 P( ) = + + 6= = er e løsig av likige. + 6= + + 6= Fordi, vil 6 være delelig med : + + 6 : + = 5 + 6 + P = + + + 5 + 5 5 6 + 6 6 + 6 + + 6 = + 5+ 6 = + = eller 5 ± 5 6 5± = eller = = =, = og 5+ 6 = = Oppgave. P = + P ( ) er e faktor i () = + = 8+ 86 = er e faktor i P. P() =
er e faktor i P() P = + Når er e faktor i,er deleli + : = + + 5 P + 8 5 5 + = + + 5 = + +5 Ige ullpukter = c) P ( )( ) ( ) g med - : = + = + + 5 = = eller ± + + 5 = = eller = = 5 ± Umulig = Oppgave. = + a+ = er e løsig av likige 8. Det betyr at a + + 8= 88 a+ 8= a =8 a =
Likige blir: 8 + = ( ) Vi vet at = - er e løsig, derfor er polyomet delelig med + : + 8 : + = + + 8 + 8 + 8 + 8= + + = ± ± + = eller = = = eller = Oppgave. + + 6 = har løsigee =, = eller = + = = har løsige c) + = har løsigee =, = eller = 5
. Faktoriserig av polyomer Oppgave. + = ( ) ( ) Fier og som ullpuktee til uttrykket: ± ± = = + = + = ( )( ) = og = ± ± = = = = + = = c) + 6 9= ( ) ( ) 6 6 9 6 6 ± ± ± = = = 6 6 = og = 6 9 + = + d) + 8+ = ( )( ) 8 8 6 6 ± ± = = Ige ullpukter Ka ikke faktoriseres + + = + + 8 5
Oppgave. = ( ) = ( ) ( ) Faktoriserigsformele brukt på adregradspolyomet 6 ± ± ± = = = = = = + + = ( + ) = ( ) ( ) Faktoriserigsformele brukt på adregradspolyomet ± ± = = 6 + = + Ige ullpukter c) + = ( + ) = ( ) ( ) Faktoriserigsformele brukt på adregradspolyomet ± ± = = = = + = = d) + = ( 5+ 6) = ( ) ( ) Faktoriserigsformele brukt på adregradspolyomet 5 ± 5 6 5± 5± = = = = = + =
Oppgave. ( ) er e faktor i P P() = P () 6 = + + = + + 6= ( ) er e faktor i P = + + 6 Når ( ) er e faktor i P, betyr det at P er delelig med ( ) + + 6 : = + 5 + 6 5 + 5 5 6 6 6 6 ( ) ( ) + + 6= + 5 + 6 = 5± 5 6 5± 5± = = = = og = + + 6= ( )( + )( + ) Oppgave. P = + 6 P () 6 5 8 = + = + 8 =
Når P() =, betyr det at P er delelig med ( ) + = + + 6 : 8 8 6 8 6 8 8 8 ( ) ( ) 6 8 8 8± 8 8 8± = = = = + = ( ) 6 + = + + = + + = ( )( + ) Oppgave. ( + ) er e faktor i P P( ) = P( ) = + =8 8+ 6+ = er e faktor i + P = +
Når ( + ) er e faktor i P, betyr det at P er delelig med ( + ) + : + = + 5 + 8 5 + 5 + ( + = + + 5 = + ± 5 ± = = + = + + 5 Ige ullpukter )
. Reste ved e polyomdivisjo Oppgave. P = + og = P = + = + = () + = + ( ): + + P = + = P 5 7 og () 5 7 = + = 8+ 7= + = + 9+ ( 5 7 ): 9 7 9 8 c) P = + = og P( ) = + =7 8 = 5 5 + : + = 5 + 6 + + + 5 5 5 6 6 + 8 5
d) = + og = P P( ) = + = + + = Divisjoe går opp! : + + = + OBS! Trekker ed to siste ledd. Oppgave. P = + og = P () = + = + = Side P() =, vil divisjo med ( ) gå opp. P = + + og = P( ) = + + =8 + = Side P( ), vil divisjo med ( + ) ìkke gå opp. c) P = + og P = + = + () 6 6 Side P() =, vil divisjo med ( ) gå opp. = = d) P = + 8 og = P( ) = + 8 = 89 + 8 = Side P( ), vil divisjo med ( + ) ikke gå opp. Oppgave. P = + 6 og = P () 6 8 8 6 = + = + Side P(), er ikke ( ) e faktor i P. =
P = + 6 og P () 6 8 = + = + = Side P() =,er ( ) e faktor i P. = c) P = + og P() = + = 8 = + 6 = Side P() =,er ( ) e faktor i P. d) P = + + og P () = + + = 6 Side P(),er ( ) ikke e faktor i P. = + 8+ = Oppgave. ( = ) = + og = eller P P () = + = + = P( ) = + = + 8+ = 5 ( ) er e faktor i P, mes ( + ) ikke er det. c) ( er =) = + og = ell P P () = + = + = P( ) = + =8+ 8+ = Både ( ) og ( + ) er faktorer i P. ( =) = + + og = eller P P () = + + = + + = P( ) = + + =6 + = Verke ( ) eller ( + ) er faktorer i P. d) P = + + og ( = eller = ) P = + + = + + = () P( ) = + + = 6+ 6+ 8 = 6 ( ) er faktorer i P, mes + ikke er det.
Oppgave. ( + a ):( ) = + og = P a Når divisjoe skal gå opp, betyr det at P() =. Dette gir likige: + a = a = + a = For at divisjoe skal gå opp, må a =. ( + + :( + 5) P = + + a = og 5 a = = 5 + 5 + a = 5 5 + a = a= 5 + 5 = For at divisjoe skal gå opp, må a =. c) ( + a + a+ ):( + ) P = + a + a+ = og + a + a + = 8+ a a+ = For at divisjoe skal gå opp, må a =. a= a = d) ( a + a + ):( + ) og P = a + a + = a + a + = a a+= = Divisjoe går ikke opp for oe verdier av a. e) ( 5+ 6 ):( P = + = a 5 6 og ( 5) ± ( 5) 6 5± a 5a+ 6 = a = = a For at divisjoe skal gå opp, må a = eller a =. = eller a =
. Polyomdivisjo Oppgave. ( 5 + ) : = + + ( + ):( ) 6 + 6 8 8 = + + c) ( + 5 ) : = + 6 6 d) + + + = + + = + + + 8+ ( ):( ) + + +
Oppgave. ( + 5+ ):( ) 5 + + = + ( 5 ): 9 + + + = + + + 5 + 6 9 c) ( 8 66 ): ( 5) 8 6 6 6 6 6 = + + 8
d) 5 + + + + : = + + + + + + + 5 Oppgave. + + : + = + + + + + + + 6 + 6 5 6 : + + = + + c) ( + ) 6 : + 6 6 ( ) + = +
d) e) f) ( ):( ) + + + = + + 9 + ( 5 ):( ) + 8 7 8 + + 7 8 7 + + + + + = + + = + + 8 + 8 6+ 8 + + 5 + + + + + + + = + + + ( ) ( ) : ( + ) + = + + + ( + ) ( ) + + + + + + = + + +
Oppgave. 5 + + : = + 6+ P() = + + = + 8+ = 5 6+ P() = r 6 5 + + = + ( ): P() + = + + = + = P r c) + 6 : = + + 6 () 6 8 8 () 8 + + = P = + = + 8 = P = r
.9 Kovergete rekker Oppgave.9 5 Gitt de uedelige rekka: 65 + 5 + 5 + 5 +... Geometrisk rekke med kvotiet k = = 65 5 (( 5) ) ( 5) 5 5 s = 65 = 65 = = 5 5 5 5 5 5 ( 5 ) s Rekka kovergerer og har summe. Gitt de uedelige rekka: + 5 + 8 + +... Aritmetisk rekke med a = og d = ( ( ) ) + + ( ) + + + s = = = s Rekka divergerer. c) + + + Gitt de uedelige rekka:,,... Geometrisk rekke med kv otiet k =,,, s = = =,,,, s Rekka divergerer. d) Gitt de uedelige rekka: +,9 +,9 +... Geometrisk rekke med kv otiet k =,9,9,9 s = = =,9 =,9,9,,9 s Rekka kovergerer og har summe.
Oppgave.9 5 Gitt de uedelige rekka: + 5 + 5 +... Geometrisk rekke med kvotiet k = = k, Rekka kovergerer. Summe blir: s = =, 5 Gitt de uedelige rekka: +,5 +,5 +... Geometrisk rekke med kvotiet k = =,5 k, Rekka divergerer. c) 9 9 Gitt de uedelige rekka: 9 + 8, 7,9 +... Geometrisk rekke med kvotiet k = = k, Rekka kovergerer. Summe blir: s = = = 9 9 9 d) Gitt de uedelige rekka: +,, +... Geometrisk rekke med kvotiet k = =, k, Rekka divergerer. Oppgave.9 Beløpee blir ei geometrisk rekke med a = og k =,99 a =,99 895 Det.beløpet er 895 kr. s,99 = 6 Det første året får Heidi totalt 6 kr.,99 c) k, koverget rekke s = = = Heidi får totalt kr.,99, d) Hvis måedsbeløpet hadde økt med %, ville rekka blitt diverget da k =,. Da ville Heidi fått 'uedelig' mye peger totalt.
Oppgave.9 Gitt de uedelige rekka: + + + +... Geometrisk rekke med kvotiet k = 8 6 k, Rekka kovergerer. Summe blir: s = = = Hele kvadratet har sidekater med legde. Arealet av hele kvadratet er dermed = Vi deler så kvadratet som forklart i oppgave. Arealet av rutee med tall på er til samme + + + + + 8 6 6 Dee summe er arealet av hele kvadratet bortsett fra ruta ederst til vestre. Summe er dermed arealet av de lille ruta ederst til vestre. Nå fortsetter vi oppdelige av kvadratet. Ved å dele lege ok, ka vi få arealet av ruta ederst til vestre så ær ull vi bare vil bare ved å dele mage ok gager. Vi ka dermed få summe + + + + + +... 8 6 6 så ær vi vil bare ved å ta med ok ledd. Summe av de uedelige rekke er dermed. Oppgave.9 Gitt de uedelige rekka: + + + +... Geometrisk rekke med kvotiet k = 6 6 56 k, Rekka kovergerer. Summe blir: s = = =
De mørkeste rutee har samlet areal + + +... = + + +... 8 8 6 6 La S være summe av dee rekke. Me de rutee som ligger uder de mørke rutee har samlet areal + + +... 6 6 Samlet areal av disse er dermed også S. De rutee som ligger over de mørke rutee har også samlet areal + + +... 6 6 Dee summe blir også S. Alle rutee til samme utgjør hele kvadratet, som har arealet. Dermed må S + S + S = S = S =
.7 Logistisk vekst Oppgave.7 f () = = =,5 +,5e,5 Folketallet på Fatasia er i dag millioer. f () =,5 +,5e 5, Om år vil folketallet på Fatasia være 5, millioer. c) d),5,5,5 = + e = e =,5 5,5,5, e =, +,5e 5 l,,5= l, = 8, Om 8, år vil folketallet på Fatasia være 5 millioer.,5 Oppgave.7 f () = = = Reistamme er å på dyr., e f () = 8 Om år vil reistamme være på 8 dyr., e c)
d),,, e e e 5 = 5 = =,,6, e = l,6,= l,6 = 5, Om 5, år vil reistamme være på 5 dyr., Oppgave.7 N f =, + ae og f 6 + 6 N har verdie 6.,, e ae N 6 6 6 f() =, 66 =, 66 + a=,,66 + ae a=,66, 56 c) d) 6 f () =,5, +, 56e Modelle stemmer bra år det faktiske atallet var, mill. 6 f (7) = 5,, 7 +, 56e Modelle stemmer bra år det faktiske atallet var 5, mill. 6 e) 6, 6,,6 =,6 +,56e =,,6 e =, l,5 +, 56e, 56 l,5 =, Atallet passerte,6 millioer i begyelse av februar.,
.8 Auitetslå Oppgave.8 Reter: 8 kr,9 = 6 kr Det første året: Avdrag: 7 kr 6 kr = 59 kr Restlå: 8 kr 59 kr = 5 kr Reter: 5 kr, 9 = 59 kr Det adre året: Avdrag: 7 kr 59 kr = 598 kr Restlå: 5 kr 598 kr = 6559 kr Det tredje året: Reter: 6559 kr,9 = 587, kr Avdrag: 6559 kr Totalt betaler Hege: 7 kr + 6559 kr + 587, kr =, kr Oppgave.8 s (,6 ) (,6 ) 99 kr = 99995 kr Lået til Kut er på, mill kr.,6 Oppgave.8 T T s = = =, 57, 57 ( ) (,57 ) ((,57 ) ),57,57 T,57, 57 ( ) 68 = T =, 57 T 898, 77,57,57 Termibeløpee er 898,77 kr. Totalt betaler familie: 898,77 kr = 5 96, kr
Oppgave.8 5 T T s = = =, 8,8 5 ( ) (,8 ) 5 ((,8 ) ) 5,8,8 T,8 5,8 ( ) 6 = T =, 8 T 59, 9,8 5,8 Termibeløpee er 5 9, 9 kr. Totalt betaler Frida: 59, 9 kr 5 = 556, 5 kr
.6 Geometriske rekker Oppgave.6 Gitt e geometrisk rekke med a =, k = og = s = = = Gitt e geometrisk rekke med a =, k = og = s = = =,998 5 c) a Gitt e geometrisk rekke med a =, a = og = 5 k = = =, a s 5 5,, = 7,,, Oppgave.6 Gitt de geometrisk rekka + + 9 + 7 + 8+ a =, k = = og = 6 s 6 6 79 = = = 6 9 Gitt de geometrisk rekka 8 9 + 96 8 + a = 8, k = = og = 6 8 s 6 6 6 = 8 = 8 = 5 c) Gitt de geometrisk rekka + + + 7,8 + 7,6 a =, k = =, og = 5 s 6 5, = = 7,6,
d) Gitt de geometrisk rekka 5 + + +... + 6 a = 5, k = = 5 a = 6 5 = 6 = = 8 = = 7 = 8 6 7 5 s 8 8 56 = 5 = 5 = 75 e) 9 Gitt de geometrisk rekka 5 + 5, 5 +... + 5, 5 a = 5, k =, 5 og = s, 5 = 5 65,, 5 Oppgave.6 Omsetige blir ei geometrisk rekke med a = mill kr og k =,7. Omsetige om ti år: mill kr, 7 9, mill kr, 7 Samlet omsetig i tiårsperiode: mill kr 76mill kr, 7 Oppgave.6 Utslippet blir ei geometrisk rekke med a = 6 to og k =,95. Utslipp om år: 6 to,95,9 to,95 Samlet utslipp i tyveårsperiode: 6 to 6 to,95
Oppgave.6 Beløp r. 5 6 kr 5 år kr år kr år kr år kr år kr år Iskuddee blir ei geometrisk rekke med a = og k =,5. 6, 5 s6 = 6 Otto ka ta ut 6 kr., 5 Oppgave.65 Iskuddee blir ei geometrisk rekke med a =5, k =, og ledd. s, = 5 67,76 Mari hadde da 67,76 kr i bake.,,, s = 5 5 = 5 =, =,, lg 5, = 5 lg, = lg5 lg, = lg 5 =, lg, Etter år vil Mari ha 5 kr i bake. Oppgave.66 Iskuddee blir ei geometrisk rekke med k =,5 og a =5,5. s, 5 =, 5 5759 Ole har da 57 59 kr i bake., 5
.5 Serielå Oppgave.5 kr Årlige avdrag: 5 = kr Termibeløp.året: kr +, 8 kr = 56 kr Termibeløp.året: kr +, 8 6 kr = 58 kr Termibeløp.året: kr +, 8 kr = 9 6 kr Termibeløp.året: kr +,8 8 kr = 6 kr Termibeløp 5.året: kr +, 8 kr = kr Sum termibeløp: 56 kr + 58 kr + 96 kr + 6 kr + kr = 8 kr Frida betaler i rete de 5 åree: 8 kr kr = 8 kr Oppgave.5 Låebeløp: 55 kr = kr Termibeløp.året: 55 kr +,6 kr = 5 kr Termibeløp.året: 55 kr +,6 5 kr = 88 kr c) Restlå like før termi r. i : r = + i 55 = 55i+ 55 = 55 55i i ( i) Termirete er da gitt ved:,6 r =,6 55 55 = 79 5i i ti = 55 + 79 5i = 89 5i Termibeløpet for termi i blir: t = 89 5i i d) Siste termibeløp: t = 89 5 = 585 ( 5 + 585) s = = 89 Til samme betalte familie 89 kr. e) Totale reteutgifter: 89 kr kr = 79 kr
Oppgave.5 kr Årlige avdrag: = kr Termibeløp.året: kr +, 57 kr = 8 kr Termibeløp.året: kr +, 57 6 kr = 6 kr Restlå like før termi r. i : r = + i = i+ = i i ( i) Termirete er da gitt ved:,57 r =,57 = 768 8i i t = + 768 8i = 68 8i i Termibeløpet for termi i blir: t = 68 8i i c) Siste termibeløp: t = 68 8 = 8 s 8 + 8 = = 6 Til samme betalte familie 6 kr. d) Totale reteutgifter: 6 kr kr = 6 kr
. Aritmetiske rekker Oppgave. Gitt a =, d = 5 og = ( 6) + a = a + ( ) d = + 9 5 = + 5 = 6 s = = 5 Gitt a =, d = og = ( ) + a = a + ( ) d = + 9 ( ) = 87 = s = = 695 c) Gitt a = 5, a = og = d) ( 5 7) + d = a a = 5 = 5 a = 5 + 5 = 5 + 55 = 7 s = Gitt a = 5, a = og = 5 = 5 d a a 5 9 9 = = = a5 = 5 + 9 = 5 98 = 8 s5 = ( + ( 8) ) 5 5 = 5 Oppgave. Gitt de aritmetiske rekka: + + 7 +... + 8 a = og d = ( ) ( + 8) + = 8 + = 8 = = s = = 5 a = + = + =
Gitt de aritmetiske rekka: + 98 + 96 +... + 5 a = og d = ( ) + = 5 + = 5 ( 5) 6 + = 5 = 6 s6 = a = + = + = = 95 c) Gitt de aritmetiske rekka: + + + +... + a = og d = og = s + = = 55 a = + = + = Atall ledd (=) er for stort for lommeregere d) Gitt de aritmetiske rekka: + + +... + a = og d = ( ) + = + = + = = s = a = + = + = ( ) = 55 Oppgave. Gitt de aritmetiske rekka: + + +... + 9999 a = og d = og = 9999 Summe av de aturlige tallee som er midre e : 9999 + 9999 = 9995
Gitt de aritmetiske rekka: + + 5 +... + 9999 a = og d = 9999 = + 9999 = + = = 5 Summe av oddetallee som er midre e : 5 + 9999 = 5 c) Summe av alle partall midre e = Summe av alle aturlige tall midre e Summe av alle oddetall midre e Summe av alle partall midre e = 9995 5 = 995 Oppgave. Gitt de aritmetiske rekka: + + 5 + 7 +... a = og d = a = + = + = s ( ) + = = = Oppgave. Gitt a = og d = 7 a = + 7= + 7 7= 76 ( ( 7 6) ) + s = = ( ) = 5 5 7 5 7 7 5 5 ± 5 7 7 5 ± 7565 5 ± 75 = = = 7 Det er ledd i rekka. 7 = = 9,
Oppgave.5 Gitt a = og d = a = + = + = + 98 98 ( ( 98) ) + + s = = ( + 98) = 98 ± 98 ( ) 98 ± 99 ± + = = = 6, 6, 98 6, Etter 6 uker har hu passert kroer utbetalt. Oppgave.6 Gitt a = mill kr og d = 5mill kr a = + 5 = + 5 5 = 5+ 85 s a = 5 + 85 = 5 + 5 = = 675 Samlet omsetig i periode 8 7 blir 675 millioer kroer. Oppgave.7 s ( ( )) ( ) ( ( ) d) a + a a + a + d a + a + d a + = = = = s = a ( ) d ( ) ( ) + = a + d s = a + d
. Rekker Oppgave. Gitt rekka: + + 5 + 7 + + + 7 + 9 s s s s 5 6 7 8 = + + 5+ 7+ = 8 = + + 5 + 7 + + = = + + 5 + 7 + + + 7 = 58 = + + 5 + 7 + + + 7 + 9 = 77 Oppgave. = a a = = a = = a = = 7 a = = a5 = 5 = a6 = 6 = 6 s 6 = + + 7+ + + 6= 5 s = 59 Oppgave. a = a = = a = = 8 a = = 8 s5 = + 8 + 8 + + 5 = a = = a5 = 5 = 5
s 5 = 8 Oppgave. Gitt rekka: + + + +... 8 6 7 s = s = + = s = + + = s = + + + = 5 8 8 8 6 6 Tellere i s er e midre e evere og evere er lik. s = = = c) A = = A = A = A = A = A = A = s = A = s = A = s = A = = = = s
. Geometriske følger Oppgave. a = 5 og k = a = 5 = a = = De fem første leddee i tallfølge er 5,,,,8. a = = a5 = = 8 a = 6 og k = a = 6 = 8 a = 8 = a = = a 5 = = De fem første leddee i tallfølge er 6,8,,,. c) 5 ( ) ( ) ( ) a = 8 og k = a = 8 =5 a =5 = 6 a = 6 = a 6 = = De fem første leddee i tallfølge er 8, 5,6,,6. Oppgave. Gitt de geometriske tallfølge:,,9,7,... ai 9 7 k = = = = = 9 ai Gitt de geometriske tallfølge: 65, 5, 5, 5,... ai 5 5 5 k = = = = = 65 5 5 5 ai
c) 9 7 8 Gitt de geometriske tallfølge:,,,,,... ai 9 7 8 9 ai k = = = = = = Oppgave. Gitt de geometriske tallfølge:,,9,7,... k = a = = a = = = 968 9 Gitt de geometriske tallfølge: 65, 5,5, 5,... k = 5 a 9 = 65 a = 65 = 65 = 5 5 955 5 Gitt de geometriske tallfølge:,,,,,... 9 7 8 k = a 9 968 656 = a = = = 5 56 Oppgave. 8 6 9 Gitt tallfølge: 9, 6,,, 8 6 a 9 8 a 6 a a 5 ai = = = = = = = = = kostat a 9 a 6 a a a i Tallfølge er geometrisk med kvotiet k =.
Gitt tallfølge:,9, 6,, a 9 a 6 a a5 ai = = = = = = = kostat a a 9 a 6 a a i Tallfølge er ikke geometrisk. c) Gitt tallfølge:,,,, a a a = = = = = = = = a a a a a 5 ai = = = = = kostat a i Tallfølge er geometrisk med kvotiet k =. Oppgave. % rete per år k =, 98 Saldo i : a98 =, = 658, 6 millioer % rete per år k =, Saldo i : a =,,7 98 98 7
. Tallfølger Oppgave. a = 5 = 5 = a = 5 = = 8 a = 5 a = 5 = = 8 a5 = 5 5 = 5 = a = 5 = 5 = a6 = 5 6 = = 8 De seks første leddee i følge er,8,,8,,8. Oppgave. a = = a = a = = 8 = = = 5 = 5 = 6 = 7 = 7 = 98 a5 a = = 8 a6 a7 a De sju første leddee i følge er,8,8,,5,7,98. Oppgave. a = a = + = 5 ai = ai + oga = a = + = 7 a5 = 5+ = 9 a = 7+ = De fem første leddee i følge er,7,,5,9. Oppgave. a = 6 a i = ai og a = 6 a = 6 = 8 a = 8= 5 a = = a = = De fem første leddee i følge er 6,8,,,.
Oppgave. a = og d = 5 a a a a 5 = + 5 =7 = 7+ 5= = + 5= = + 5= 8 De fem første leddee er, 7,,,8. a = og d = a a a a 5 = + = = + = = + = 8 = 8 + = 6 De fem første leddee er,,,8,6. Oppgave.5 5,,7,,... d = 6 og a = 5 + 6 = 5 + 6 6 = 6 8,6, 7,,... d = 7 og a = 8+ 7 = 8 7+ 7 = 98 7 Oppgave.6 a d a ( ) = og = = + = + = + 98 Beløpet i uke er gitt ved a = + 98. Ukepeger om to år: a = + 98 = 6 kr Oppgave.7
a5 = og d = a = a + d a = a d a = = 6 = 5 5 a a ( ) d a ( ) = + = + = + = 7 c) a = 5 7 = 5 = 5 + 7 = = 8 Leddet 5 er ummer 8 i tallfølge.
.6 Ekspoetialregresjo Oppgave.6 f = e,9 y miutter 9 8 7 6 5 år etter - 5 6 Modelle passer bra. c),9 76 % f() = e 76 5% 65 6 I vil hver ordma prate i mobiltelefo vel 7 miutter per år. Dette tilsvarer ca. 5% av tide. d) timer = 6 = 6 miutter 6,9,9 l 6 6 e = 6 e =,9= l =,9 I følge modelle vil hver ordma årlig sakke timer i telefoe i.
Oppgave.6 T =,56 e,56 T() = e 55 Etter miutter viser geigertellere 55. c),56,56 l e e = =, 56 = l =,7, 56 Etter,7 timer viser geigertellere. Oppgave.6 B = 59e,79,79,79 e ( e ) =,8 Vekstfaktore er,8 Befolkige økte,8% per år i dee periode.,79 56 c) B(56) = 59e 696 Modelle gir for høyt folketall side det var vel 6,5 milliarder meesker på jorda..6.,79 7 d) B(7) = 59e 89 Folketallet vil i følge modelle bli vel 8,9 milliarder i.
.5 Ekspoetialfuksjoer Oppgave.5 y 9 8 7 6 5 - - - e e e =,7 =, =,7 Oppgave.5 y 9 8 7 6 5 - - - 5 6 7 8 9 f = e + Når øker over alle greser, ærmer f seg verdie. Oppgave.5,6 5 f(5) = 8 e I 9 var kosetrasjoe av CO ppm.,6 5 f(5) = 8 e 56 Modelle gir for lav kosetrasjoe av CO i.
c),6 5 d) f(5) = 8 e 8 I vil kosetrasjoe av CO i følge modelle bli 8 ppm. e),6,6 l 7 e e 8 7 8 = =,6 = l =,9,6 I følge modelle vil kosetrasjoe av CO være ppm på slutte av 7. Oppgave.5, 5 B(5) = e 7 Etter 5 timer er bakterietallet ca. 7. c) Grafisk løst: Det er 5 bakterier etter 8 timer. Ved regig: l 5 e = e = t = t =, Det er 5 bakterier etter vel 8 timer.,t,t 5 5, l 5 8, 5
. Likiger og l Oppgave. 5e = 5 e = l e = l = l e e e e e e = = = = l e = l e l = ll = l = c) = 6 = 8 l = l8 l = l8 l l = = l l = l 8 = l d) 5 = 5 5 = 5 5 = l5 5 l l5= l = l5 = l Oppgave. ± e e + = e e + = e = ± = e = eller e = l e = l eller l e = l = l eller = e + e = 7 e + = 7 e ( e ) + = 7e ( e ) 7e e + = e 7 ± 7 7± = = e = eller e = l e = l eller l e = l = l eller = l
Oppgave. l 9 = l = 9 l = = e l + l l = 5 l + l l = 5 l = = e = e 5l = 5 c) l + = l l + = l + = = 7 = 6 = d) ( ) ( ) ( ) l + l + = l l + = l l + = l Umulig pga l l og l l = ( ) ( + ) = ( ) ± ± + = + = = = = eller = 6 ± = Oppgave. l 6l + 8 = l 6l + 8 = l =8 l = = e 6 ± 6 8 6± 6± ( l ) 6l + 8 = l = = = l = eller l = = e eller = e
. De aturlige logaritme Oppgave. Svaret ærmer seg,78888 Oppgave. l e = fordi e = e l e = fordi e = e c),5,5,5 l e =,5 fordi e = e Oppgave. l l = l l = l l 8 l = l 8 + l l + l = l + l l l = l + l l l = l
. Likiger og lg Oppgave. lg,5, =,5 lg, = lg,5 lg, = lg,5 =, lg, 5 5 5 5 lg = 5 = lg = lg lg = lg =,8 lg : c), =, =, lg, = lg, lg, = lg, lg, =,6 lg, : d),96 = 8,96 =,8 lg,96 = lg,8 lg,96 = lg,8 lg,8 = 5, 7 lg,96 Oppgave. = lg = lg lg + lg = lg lg + lg = lg lg = = = = lg lg lg lg lg lg lg lg lg,58 5 = lg 5 = lg lg 5 + lg = lg + lg lg 5 + lg = lg + lg lg lg = lg lg 5 lg lg 5 ( lg lg ) = lg lg 5 =, 6 lg lg c),, =,, = lg, = lg,, lg, = lg, + lg, lg, = lg, + lg, lg, lg, = lg, lg, lg, = lg, lg, = 9,9 lg, lg,
d),75,85 =,75,85 = lg,85 = lg,,75 lg,85 = lg, + lg,75 lg,85 = lg, + lg,75 lg,85 lg,75 = lg, lg,85 lg,75 = lg, lg, =, 6 lg,85 lg,75 Oppgave. 5 A = 5,5 = 5,5 = lg,5 lg, 5 = lg,5 lg, 5 = lg,5 = 8, lg, 5 Beløpet har vokst til 5 kr etter 8, år.,5 =,5 = lg, lg,5 = lg, lg,5= lg, =, lg, 5 Beløpet har vokst til kr etter, år. c) Med % rete har Bjørs kr etter år vokst til B =,., A = B, 5 =,, 5 =,5 =,, lg,5 = lg,, lg,5 = lg, + lg, lg, 5 = lg, + lg, lg, 5 lg, = lg, ( lg, 5 lg, ) = lg, lg, = 9, lg, 5 lg, Etter 9, år har Ae og Bjør like mye peger i bake. Oppgave. 6lg+ = lg 6lg lg= lg= lg= = =
7lg = lg+ 8 7lg lg= 8+ 5lg= lg= = = c) lg lg = lg lg = lg = = = d) lg + lg + 8 = lg + lg =8 lg =8 lg = = = Oppgave. lg lg + = lg lg = lg = lg = = = ± ± lg lg + = lg = = lg = eller lg = = = eller = = c) lg lg lg lg = = = = ± ± 5 ± 5 = = = = eller = d) lg 6 lg lg 6 lg 6 6 + = + = + = + + = Umulig pga lg på høyre side ± 6 ± 5 ± 5 = = = = eller =
. Briggske logaritmer Oppgave. lg = fordi = 5 lg = 5 fordi = 8 8 8 c) lg = 8 fordi = d) lg, = fordi = = =, e) 6 lg, = 6 fordi = = =, 6 9 9 9 f) lg = 9 fordi = Oppgave. 9 8 7 6 5 - -,8 -,6 -, -,,,,6,8 y, lg, fordi,7 lg 5,7 fordi 5
Oppgave., y,8,6,, -, 5 6 7 8 9 -, -,6 -,8 - -, -, -,6 lg 6,78 Oppgave. lg + lg = ( lg + lg ) + ( lg lg ) = lg + lg + lg lg = lg 8 + = ( ) + ( ) = + lg lg lg lg lg 8 lg lg lg lg lg = lg lg + lg lg = lg + lg c) lg y + lg y = lg + lg y + lg + lg y = lg + lg y+ lg + lg y = lg + lg y d) y y ( y ) ( y ) ( y ) lg + lg + lg = lg lg + lg lg + lg lg y = lg lg y+ lg y lg + lg y lg =
. Polyomdivisjo Oppgave. ( 5 + ) : = + + ( + ):( ) 6 + 6 8 8 = + + c) ( + 5 ) : = + 6 6 d) + + + = + + = + + + 8+ ( ):( ) + + +
Oppgave. ( + 5+ ):( ) 5 + + = + ( 5 ): 9 + + + = + + + 5 + 6 9 c) ( 8 66 ): ( 5) 8 6 6 6 6 6 = + + 8
d) 5 + + + + : = + + + + + + + 5 Oppgave. + + : + = + + + + + + + 6 + 6 5 6 : + + = + + c) ( + ) 6 : + 6 6 ( ) + = +
d) e) f) ( ):( ) + + + = + + 9 + ( 5 ):( ) + 8 7 8 + + 7 8 7 + + + + + = + + = + + 8 + 8 6+ 8 + + 5 + + + + + + + = + + + ( ) ( ) : ( + ) + = + + + ( + ) ( ) + + + + + + = + + +
Oppgave. 5 + + : = + 6+ P() = + + = + 8+ = 5 6+ P() = r 6 5 + + = + ( ): P() + = + + = + = P r c) + 6 : = + + 6 () 6 8 8 () 8 + + = P = + = + 8 = P = r
.8 Logistisk regresjo Oppgave.8 Casio gir her galt svar, - uvisst av hvilke gru. Teas gir det riktige svaret. 9,7 Folketallet t år etter 98 er gitt ved f( t) = +, 87,5t e,5t c) t e y 9,7 Ifølge modelle vil folketallet etter lag tid ærme seg 9,7 millioer. d) 9,7 y = 6,9 I vil folketallet ifølge modelle bli 6,9 millioer.,5 +, 87e e) 9,7,5t 9,7,5t e e,5t +,87e l,86,5 9,7 5 = 5 +, 87 = 5 =,86,87,5t = l,86 t = 8,5 I midte av 998 vil folketallet være 5 millioer. Oppgave.8 Atall fjellrever t år etter 99 er gitt ved 95 y = + 7,,6t e
,6t c) t e y 95 Ifølge modelle vil atall fjellrever etter lag tid ærme seg 95. d) 95 y = 5 I vil atall fjellrever ifølge modelle være 5.,6 + 7,e e) 95,6t 95,6t e e,6t + 7,e l,5,6 95 75 = 75 + 7, = 75 =,5 7,,6t = l,5 t = 6 Atall fjellrever vil ifølge modelle være 75 i 6. Oppgave.8 Også her gir Casio helt galt svar. Rett svar er: Når Peder er år gammel er has høyde gitt ved: 8 f = +,7,65 e
,65t c) t e y 8 Ifølge modelle vil Peder bli 8cm høy. d) 8 f (6) = 78 På si 6-årsdag vil Peder etter modelle være 78cm høy.,656 +,7e e) 8,65t 8,65t e e,65t +,7e l,6,65 8 79 = 79 +, 7 = 79 =, 6,7,65t = l,6 t = 7, Peder vil i følge modelle være 8 cm høy år ha er 7 år.