Funksjoner oppgaver Innhold 3.1 Funksjoner... 3. Kontinuitet, grenseverdier og asymptoter til funksjoner... 3 Grenseverdier... 3 Rasjonale funksjoner og asymptoter... 6 Kontinuitet... 8 Funksjoner med delt forskrift... 11 3.3 Derivasjon... 1 Hvordan regne ut verdien for den deriverte ved å bruke definisjonen... 1 Den deriverte til en konstant funksjon... 13 Den deriverte til en potensfunksjon... 13 Den deriverte til summer og differenser av funksjoner og til en funksjon multiplisert med en konstant... 14 Den deriverte til et produkt av to funksjoner... 14 Den deriverte til en kvotient (brøk)... 15 Kjerneregelen... 16 Den deriverte til eksponentialfunksjoner og logaritmefunksjoner... 17 Likningen for tangenten i et punkt på grafen... 18 Deriverbarhet... 19 3.4 Drøfting av funksjoner på grunnlag av derivasjonsregler... 0 Drøfting av polynomfunksjoner... 0 Krumningsforhold, vendepunkt og vendetangent... 4 Drøfting av rasjonale funksjoner... 6 Drøfting av logaritmefunksjoner... 6 Drøfting av en sammensatt funksjon... 6 3.5 Tolke den deriverte i modeller av praktiske situasjoner... 7 3.6 Vektorfunksjoner med parameterframstilling for en kurve i planet... 9 Aktuelle eksamensoppgaver du finner på NDLA... 33 Øvingsoppgaver og løsninger Stein Aanensen og Olav Kristensen 1
3.1 Funksjoner 3.1.1 Til hver av de tre funksjonene som er gitt nedenfor skal du; - Lage en verditabell med 3 ulike -verdier. - Markere punktene du finner i et koordinatsystem - Tegne en rett linje gjennom punktene. a) f 0,5 b) g c) h 3.1. Per jobber som telefonselger. Lønnen er basert på en grunnlønn på 105 kroner per time. I tillegg får han 10 kroner for hver enhet han selger. a) Finn et funksjonsuttrykk L for timelønnen i kroner. La s være antall enheter han selger per time. b) Lag en verditabell og marker punktene i et koordinatsystem. La s variere mellom 0 og 15. c) Tegn grafen til funksjonen L ved å trekke en rett linje gjennom punktene. Husk at funksjonen bare gjelder for s -verdier mellom 0 og 15. d) Finn verdimengden til funksjonen L. 3.1.3 På en terminprøve i matematikk har Trine med seg en flaske kaldt kildevann. Temperaturen i vannet er 5 C ved starten av prøven og stiger jevnt med 5,4 C i timen de 3 første timene. a) Lag en funksjon T for temperaturen i vannet etter antall minutter. b) Hva er temperaturen i vannet etter 1,5 timer? c) Hva er definisjonsmengden til funksjonen? d) Lag verditabell og tegn grafen til funksjonen T. e) Finn verdimengden til funksjonen T.
3. Kontinuitet, grenseverdier og asymptoter til funksjoner Grenseverdier 3..1 1 Tegn grafen til funksjonen f 1 i GeoGebra. Bruk verktøyet Flytt grafikkfelt og la -verdien gå mot uendelig. a) Hva oppdager du? b) Blir funksjonsverdien noen gang 0? c) Skriv det du fant i a) med matematiske symboler. Se side 6 i teorien dersom du er usikker. d) La -verdien nærme seg 1. Hva oppdager du? e) Skriv observasjonen du gjorde i d) med matematiske symboler. f) Forklar med dine egne ord hvorfor funksjonen f ikke har noen verdi for 1. 3.. Morten har et mobilabonnement der han betaler 59 kroner i fast avgift per måned. I tillegg betaler han 0,49 kroner per samtaleminutt. La være antall samtaleminutter en måned. Totalkostnadene skrives som K a) Tegn grafen til K for verdier mellom 0 og 1400. 0,49 59 K, i kroner, per samtaleminutt kan b) Hva nærmer Kseg når Morten ringer svært mye? 3
3..3 Finn grenseverdien. a) lim 3 b) lim 3 8 c) d) lim lim 3..4 Finn grenseverdien dersom den eksisterer. a) b) c) lim 0 lim 9 lim 3 d) lim 4 4
3..5 Finn grenseverdien dersom den eksisterer. 3 9 a) lim 3 9 b) 4 lim 8 c) 3 6 lim 1 d) 3 lim 0 6 3..6 Finn grenseverdien dersom den eksisterer. a) 4 lim 16 16 4 b) lim 4 16 c) 4 lim 3..7 Finn grenseverdien dersom den eksisterer. 3 6 a) lim 56 b) c) d) lim lim lim 3 6 5 6 3 6 3 5 6 3 3 6 3 56 5
Rasjonale funksjoner og asymptoter 3..8 Gitt funksjonen f 1. a) Fyll ut resten av tabellen. verdi -1 0 1 1,5 1,9 1,99,01,1,5 3 4 5 f 1 3 b) Skriv med dine egne ord hva som skjer med funksjonsverdien når -verdien nærmer seg fra venstre. c) Skriv med dine egne ord hva som skjer med funksjonsverdien når -verdien nærmer seg fra høyre. d) Tegn grafen til funksjonen f. e) Tegn inn linja i samme koordinatsystemet som grafen til f. Hva kalles denne linja? 3..9 Gitt funksjonen f 1. a) Fyll ut resten av tabellen. verdi -1000-100 -10-1 -0,5 0,5 1 10 100 1000 f 1,01 0,9 b) Skriv med dine egne ord hva som skjer med funksjonsverdien når -verdien nærmer seg. c) Skriv med dine egne ord hva som skjer med funksjonsverdien når - verdien nærmer seg. d) Tegn grafen til funksjonen f. e) Tegn inn linja y 1 i samme koordinatsystemet som grafen til f. Hva kalles denne linja? 6
3..10 Finn eventuelle asymptoter til funksjonen. Lag deretter en skisse av grafen til funksjonen. a) f b) f c) f d) f 1 4 3 1 3..11 Finn eventuelle asymptoter til funksjonen. Tegn deretter grafen til funksjonen. a) f b) f c) f 4 3 9 3 d) f 7
Kontinuitet 3..1 Avgjør hvor funksjonene er kontinuerlige. f 4 a) b) g 4 3..13 På en flervalgspøve ble karakteren satt etter følgende poengsummer: Poengsum 0, 5 5, 45 45, 60 60, 80 80, 95 95, 100 Karakter 1 3 4 5 6 Her kan vi oppfatte karakteren som en funksjon av poengsummen. Avgjør om funksjonen er kontinuerlig i hele området fra 0 poeng til 100 poeng. 3..14 Gjennom et vinterdøgn ble det målt følgende temperaturer. Tidspunkt 0:00 06:00 10:00 14:00 18:00 :00 Temperatur 8,0 C 10,8 C 7,4 C 4,9 C 6,5 C 7,8 C Her kan vi oppfatte temperaturen som en funksjon av tiden. Avgjør om funksjonen er kontinuerlig gjennom hele døgnet. 8
3..15 Figuren viser grafen til funksjonen f. a) Finn grenseverdien dersom den eksisterer lim f b) Finn grenseverdien dersom den eksisterer lim f c) Finn f dersom den eksisterer d) For hvilke verdier av er funksjonen kontinuerlig? 9
3..16 Figuren viser grafen til funksjonen g. a) Finn grenseverdien dersom den eksisterer lim g b) Finn grenseverdien dersom den eksisterer lim g c) Finn g dersom den eksisterer d) For hvilke verdier av er funksjonen kontinuerlig? 3..17 Avgjør ved å tegne grafene i hvilke områder funksjonene f og g er kontinuerlige. 1) f ) g 1 10
Funksjoner med delt forskrift 3..18 Undersøk om funksjonene er kontinuerlige. Tegn grafene. a) f b) f c) f 0 0 1 1 d) f 9 1 9 1 11
3.3 Derivasjon Hvordan regne ut verdien for den deriverte ved å bruke definisjonen 3.3.1 f 3 a) Tegn grafen til funksjonen gitt ved b) Tegn tangenten til f og finn stigningstallet til tangenten når 1) 3 ) 1 3) 0 c) Hva er den deriverte til f når 3? d) Hva er den momentane vekstfarten til f når 1? 3.3. Bruk definisjonen av den deriverte til å finne den deriverte til følgende funksjoner: a) f f b) f c) 3 1
Den deriverte til en konstant funksjon 3.3.3 Deriver funksjonene. a) f 5 b) y e c) g 5 h 5 d) 3 Den deriverte til en potensfunksjon 3.3.4 Deriver funksjonene. f a) b) y g 5 5 c) 7 d) y 5 3.3.5 Deriver funksjonene. f a) 0 1 b) y 5 c) g 5 d) y 1 13
Den deriverte til summer og differenser av funksjoner og til en funksjon multiplisert med en konstant 3.3.6 Deriver funksjonene a) 3 f 5 4 b) y 3 5 g t t 5t c) d) f 3 Den deriverte til et produkt av to funksjoner 3.3.7 Deriver funksjonene a) f 5 3 4 1 b) y 3 1 c) 3 g 3 14
Den deriverte til en kvotient (brøk) 3.3.8 Deriver funksjonene. a) f 1 b) 1 y c) g 6 3.3.9 Deriver funksjonene. a) f 3 4 3 b) y 1 15
Kjerneregelen 3.3.10 Deriver funksjonene. a) f 4 3 y 4 3 b) c) 3 g 3 3.3.11 Deriver funksjonene a) f 4 b) f 3.3.1 Deriver funksjonene. a) f 3 3 b) y 3 16
Den deriverte til eksponentialfunksjoner og logaritmefunksjoner 3.3.13 Deriver funksjonene a) ln f e b) y e ln c) g e ln 3.3.14 Deriver funksjonene a) f ln b) y 5 5 g e c) 4 d) f e 3 17
Likningen for tangenten i et punkt på grafen. 3.3.15 f Funksjonen f er gitt ved 3. a) Finn f b) Finn ved regning likningen for tangenten i (1, f (1)). c) Tegn grafen til f og tangenten i et koordinatsystem. 3.3.16 Funksjonen f er gitt ved f a) Finn den momentane vekstfarten til funksjonen i punktene 0,, 1, 3 og,. b) Finn likningene for tangentene i de tre punktene. c) Tegn grafen til f og de tre tangentene i et koordinatsystem. d) Ser du noen sammenheng mellom fortegnet til den momentane veksthastigheten og forløpet til grafen? 18
Deriverbarhet 3.3.17 a) Undersøk om funksjonen f er deriverbar for 0. Tegn grafen. f 0 0 b) Undersøk om funksjonen f er deriverbar for. Tegn grafen. f c) Undersøk om funksjonen f er deriverbar for 1. Tegn grafen. f 9 1 9 1 d) Undersøk om funksjonen f er deriverbar for 0. Tegn grafen. f 0 0 e) Undersøk om funksjonen f er deriverbar for 1. Tegn grafen. f 1 1 1 f) Undersøk om funksjonen f er deriverbar for 1. Tegn grafen. f 1 1 19
3.4 Drøfting av funksjoner på grunnlag av derivasjonsregler Drøfting av polynomfunksjoner 3.4.1 Finn ved regning når grafen til funksjonen Finn også eventuelle topp- og bunnpunkter. Tegn grafen. f 1 16 stiger og når den synker. 3.4. Finn ved regning, når grafen til funksjonen eventuelle topp- og bunnpunkter. Tegn grafen. f 3 stiger og når den synker. Finn også 3.4.3 Finn ved regning når grafen til funksjonen 3 også eventuelle topp- og bunnpunkter. Lag en skisse av grafen. f 3 9 10 stiger og når den synker. Finn 3.4.4 Finn ved regning når grafen til funksjonen 3 eventuelle topp- og bunnpunkter. Lag en skisse av grafen. f 3 stiger og når den synker. Finn også 3.4.5 3 Finn ved regning når funksjonen f vokser, og når den avtar. 3 3 Finn også eventuelle topp- og bunnpunkter. Lag en skisse av grafen. 0
3.4.6 Finn ved regning når funksjonen 3 f 3 vokser, og når den avtar. Finn også eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen. Lag en skisse av grafen. 3.4.7 Figuren viser grafen til en funksjon f. Tegn fortegnslinjene til f og f. 3.4.8 Gitt en funksjon g. Fortegnet til funksjonsuttrykket og den deriverte av funksjonen varierer som vist nedenfor Skisser i et koordinatsystem hvordan grafen til g kan se ut. 1
3.4.9 Ved en bedrift blir det produsert treningsdresser. Ledelsen ved bedriften har funnet ut at O 40000 400 0,4 der er antall overskuddet i kroner er gitt ved funksjonen treningsdresser som produseres pr år. Hvor mange treningsdresser er det mest lønnsomt for bedriften å produsere per år? 3.4.10 Vi skal lage en eske uten lokk av en rektangelformet papplate med sider 50 cm og 40 cm. Vi gjør dette ved å klippe ut et kvadrat med side i hvert hjørne. Deretter bretter vi opp kantene og får en eske med høyde. Se figuren nedenfor. a) Finn et uttrykk for volumet av esken som en funksjon av. b) Finn ved regning hvilken verdi av som gir størst volum av esken. c) Hva blir det største volumet til esken?
3.4.11 For de to funksjonsuttrykkene nedenfor skal du ved regning i CAS finne nullpunktene, summen av nullpunktene og produktet av nullpunktene a) f 7 1 b) g 4 Gjør det samme med den generelle andregradsfunksjonen h a b c. Stemmer resultatet med det du fant for funksjonene f og g? 3
Krumningsforhold, vendepunkt og vendetangent 3.4.1 Figuren viser grafen til en funksjon f. a) Finn fortegnslinjene til f, f og f b) Hva forteller fortegnslinjene? 3.4.13 Funksjonen f er gitt ved f 3 Df 3,5. 6 a) Drøft monotoniegenskapene til f b) Finn ved regning eventuelle stasjonære punkter. c) Drøft krumningsforholdene til f. d) Regn ut eventuelle vendepunkter e) Finn ved regning likningene for eventuelle vendetangenter. f) Lag en skisse av grafen og tegn vendetangenten til f. 4
3.4.14 Funksjonen h er gitt ved h 3 ( ) 6 1 a) Finn h ( ) b) Tegn fortegnslinja til h ( ) c) Finn vendepunktet. d) Finn likningen for vendetangenten e) Lag en skisse av grafen til h med vendetangenten. 3.4.15 4 Funksjonen f er gitt ved f 1. 4 a) Finn ved regning når funksjonen vokser og når den avtar. b) Finn koordinatene til topp- og bunnpunktene. c) Drøft krumningsforholdene. d) Finn vendepunktene. e) Lag en skisse av grafen. 5
Drøfting av rasjonale funksjoner 3.4.16 Funksjonen f er gitt ved f 1 a) Finn eventuelle nullpunkter og asymptoter til f. b) Drøft monotoniegenskapene til f og finn eventuelle topp- eller bunnpunkter. c) Bestem ved regning krumningsforholdene og eventuelle vendepunkter til f. d) Lag en skisse av grafen. Drøfting av logaritmefunksjoner 3.4.17 Funksjonen f er gitt ved f ln. a) Bestem definisjonsområdet til f. Finn nullpunktene. b) Drøft monotoniegenskapene til f og finn eventuelle topp- eller bunnpunkter. c) Drøft krumningsforholdene til f. Finn eventuelle vendepunkter. d) Tegn en skisse av grafen. Drøfting av en sammensatt funksjon 3.4.18 Drøft den generelle funksjonen f gitt ved k 0, f a e D f hvor a og k er tall som ikke er negative. 6
3.5 Tolke den deriverte i modeller av praktiske situasjoner 3.5.1 Anders kaster en stein rett opp i lufta. Høyden til steinen over bakken målt i meter etter t sekunder er gitt ved 5 4.9 0,6 h t t t t a) Finn ved regning når steinen er i sitt høyeste punkt. b) Hva er steinens maksimale høyde over bakken? c) Finn et uttrykk for farten til steinen. d) Finn et uttrykk for akselerasjonen til steinen. 3.5. Aleksander driver med svømming. Han har notert hvor mye han hadde trent hver dag de åtte første ukene i år. Han fant at lengden på treningen Treningslengden er i minutter. er ukenummer, dvs. at T per dag var gitt ved funksjonen 3 T 0,6 8 8 4 1,9 T er treningsmengden ved starten av uke. a) Når trente Aleksander mest? Hvor mange minutter trente han da? b) Når sank treningslengden per dag mest? 7
3.5.3 Gitt en sylinder med et volum på én liter. a) Vis at radius i sylinderen kan uttrykkes som r 1 h b) Vis at overflata av sylinderen kan uttrykkes som O( h) h h Du skal lage en sylinderformet boks som skal romme én liter. c) Bruk CAS til å vise hvor høy boksen må være, og hvor stor radius den må ha, dersom overflata skal bli minst mulig? d) Hva er forholdet mellom diameter og høyde i denne boksen? Neste gang du er i butikken, kan du ta med en linjal og måle diameter og høyde på noen litersbokser. Hvordan er målene i forhold til resultatene du har funnet her? 8
3.6 Vektorfunksjoner med parameterframstilling for en kurve i planet 3.6.1 En linje l har parameterframstillingen t l : y t a) Velg verdiene 1, 0 og for t og regn ut verdiene for og y. b) Tegn linja. c) Finn skjæringspunktene mellom linja l og koordinataksene ved regning. 3.6. En kurve m har parameterframstillingen t m: y t a) Velg t-verdier mellom 3 og 3 og tegn kurven. b) Finn skjæringspunktet mellom kurven m og y-aksen ved regning. c) Finn skjæringspunktene mellom kurven m og -aksen ved regning. 9
3.6.3 En spydkaster kaster spydet i en parabelbane gitt ved parameterframstillingen 0t s: y 0t 4,9t Her er t antall sekunder etter at spydet er kastet. -aksen er langs bakken, og lengdene er målt i meter. a) Tegn kurven som viser spydets bane b) Finn ved regning hvor lang tid det tar før spydet treffer bakken og lengden av spydkastet. c) Finn når spydet er på sitt høyeste og hvor høyt det er da. 3.6.4 a) En parameterframstilling for en rett linje er gitt på koordinatform ved t1 y t Lag en tabell hvor du velger noen heltallige t-verdier fra -3 til 5, og hvor du regner ut tilhørende verdier for - og y-koordinatene. b) Tegn linjen i et koordinatsystem. c) En annen kurve er gitt ved parameterframstillingen s1 1 y s 4 Gjør tilsvarende for denne kurven som for kurven i a). Velg s-verdier mellom -5 og 4. d) Tegn kurven sammen med linjen du tegnet i b). e) Regn ut koordinatene til eventuelle skjæringspunkter mellom kurvene. Sjekk om du har regnet riktig ved å finne skjæringspunktene grafisk. f) Finn ved regning hvor kurvene skjærer koordinataksene. Sjekk også her grafisk om dine beregninger stemmer. g) Finn likningsframstillingene for kurvene i a) og c). 30
3.6.5 To båter starter samtidig og båtenes reiseruter kan beskrives ved vektorfunksjonene t1, t og 1 s1, s 4. Parameterne t og s står begge for tiden i timer som har gått etter at båtene startet. Enhetene på aksene er gitt i nautiske mil. a) Framstill grafisk reiserutene for båtene de 5 første timene. b) Finn ved regning om båtenes reiseruter krysses, og i tilfelle hvor. c) Vil båtene kollidere? Begrunn svaret. d) Finn fartsvektorene til hver av båtene. Hva forteller disse vektorene? 3.6.6 a) Finn parameterframstillingen på vektorform for den rette linjen som går gjennom punktene,1 og,7. b) Tegn linjen. c) Finn grafisk og ved regning linjens skjæringspunkter med aksene. d) Finn grafisk og ved regning linjens stigningstall. 3.6.7 En rett linje har retningsvektor,3 og går gjennom punktet, 3 a) Finn parameterframstillingen for linjen på koordinatform.. b) Tegn linjen i et koordinatsystem. c) Hva er linjens stigningstall? 31
3.6.8 Ole står på en mur en viss høyde over bakken og hopper «stille lengde». Som modell for Oles hoppkurve kan vi bruke vektorfunksjonen r 3 t, 1 4t 5t, hvor t står for tiden i sekunder etter at Ole forlater hoppkanten. Vi lar -aksen gå langs bakken i hoppretningen og y-koordinaten viser Oles høyde over bakken. Enheten på aksene er meter. a) Hva er Oles posisjon i hoppøyeblikket? Hvordan tolker du denne posisjonen? b) Regn ut hvor lang tid det tar før Ole lander. c) Hvor langt hopper Ole? d) Finn fartsvektoren. e) Bruk fartsvektoren til å finne ut når Ole er i sitt høyeste punkt. Hvor høyt er han da? f) Hva er fartsvektoren og farten til Ole når han forlater hoppkanten? g) Hva er vinkelen mellom Oles fartsretning og -aksen når han forlater hoppkanten? h) Hva er akselerasjonen i - og y -retningen? i) Tegn hoppkurven. 3
Aktuelle eksamensoppgaver du finner på NDLA Bruk farger og marker de eksamensoppgaver du har regnet! Jo mere farger, jo bedre eksamenskarakter! Oppgaver del 1 Oppgaver del Høst 015 1,, 3 og 5 1, 3 og 4 Vår 015 1 og 7, 3, 4 og 5 Høst 014 1, 4, 5 og 8 1 og 4 Vår 014 1, 4 og 7 3, 4 og 5 Høst 013 1 og 6 1,, og 3 Vår 013 1,, 5 og 6 1 og 3 Høst 01 1, 3 og 4 3 og 4 Vår 01 1a, 1c, 1e, og 3 6, 7 og 9 Høst 011 1a, 1e og 1f Vår 011 1a, 1b, 1d og 1f 3 og 6 Høst 010 1a, 1c og 1f 3 og 6 Vår 010 1a og 4 og 5(alt 1 og alt ) Høst 009 1a, 1b, 1e, 1f og 1h 4(alt 1) og 5 Vår 009 1a og 1b 4(alt 1 og alt ) 33